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前言1
第一章普遍法求行列式
11利用行列式的定义直接计算2
12利用行列式的性质计算2
13化为三角形行列式3131直接化为阶梯型3132相同去项化上三角形4
第二章特殊法求行列式
21降阶法按行列展开法5211先简后展5212按第一行列展开6
22递逆推公式法7221等差数列递推7222一路直推9223对角递推9
23利用范德蒙行列式11231变形范德蒙行列式11232系数范德蒙行列式12233利用行列式性质凑范德蒙行列式13
第三章其他方法求行列式
31加边法升阶法143110和字母加边143120和1加边14
32数学归纳法16321第一数学归纳法16322第二数学归纳法17323猜测归纳法17
33拆开法19
331对角拆开19
332按行列拆19
参考文献21
谢辞22
前言在线性代数中行列式是一个函数其定义域为的矩阵值域为一个标量写作在本质上行列式描述的是在维空间中一个线性变换所形成的平行多面体的体积行列式无论是在微积分中比如说换元积分法中还是在线性代数中都有重要应用如判断矩阵的可逆性行列式的一个主要应用是解线性方程组当线性方程组的方程个数与未知数个数相等时方程组不一定总是有唯一解对一个有个方程和个未知数的线性方程组我们研究未知数系数所对应的行列式这个线性方程组有唯一解当且仅当它对应的行列式不为零这也是行列式概念出现的根源
当线性方程组对应的行列式不为零时由克莱姆法则可以直接以行列式的形式写出方程组的解但用克莱姆法则求解计算量巨大因此并没有实际应用价值一般用于理论上的推导行列式概念的最初引进是在解线性方程组的过程中行列式被用来确定线性方程组解的个数以及形式随后行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用于是有了线性自同态和向量组的行列式的定义行列式的特性可以被概括为一个n次交替线性形式这反映了行列式作为一个描述体积的函数的本质
若干数字组成的一个类似于矩阵的方阵与矩阵不同的是矩阵的表示是用中括号而行列式则用线段行列式的值是按下述方式可能求得的所有不同的积的代数和既是一个实数求每一个积时依次从每一行取一个元因子而这每一个元因子又需取自不同的列作为乘数积的符号是正是负决定于要使各个乘数的列的指标顺序恢复到自然顺序所需的换位次数是偶数还是奇数第一章普通法求行列式11利用行列式定义直接计算
例1计算行列式
解中不为零的项用一般形式表示为
该项列标排列的逆序数等于
故总结对上面的例题可以看出行列式中0元素比较多的那么用定义法计算比较简略对于这一类型行列式形状我们为了方便计算逆序数最好把它的个数做成等差或等比数列12利用行列式的性质计算
例1一个n阶行列式的元素满足则称Dn为反对称行列式
证明奇数阶反对称行列式为零证明由知即
故行列式可表示为由行列式的性质
当为奇数时得因而得13化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形其结果为行列式主对角线上元素的乘积因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法化为三角形法是将原行列式化为上下三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法这是计算行列式的基本方法重要方法之一因为利用行列式的定义容易求得上下三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算原则上每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式但对于阶数高的行列式在一般情况下计算往往较繁因此在许多情况下总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形再将其化为三角形行列式
131直接化为阶梯形
例1计算行列式
解这是一个阶数不高的数值行列式通常将它化为上下三角行列式来计算
132相同去项化上三角形
例题2计算n阶行列式
解这个行列式每一列的元素除了主对角线上的外都是相同的且各列的结构相似因此n列之和全同将第23n列都加到第一列上就可以提出公因子且使第一列的元素全是1
第二章特殊法求行列式阶法21按行列展开法降阶法是按某一行或一列展开行列式这样可以降低一阶更一般地是用拉普拉斯定理这样可以降低多阶为了使运算更加简便往往是根据行列式的特点先利用列式的性质化简使行列式中有较多的零出现然后再展开211先简再展
例1计算20阶行列式
[分析]这个行列式中没有一个零元素若直接应用按行列展开法逐次降阶直至化许许多多个2阶行列式计算需进行2020-1次加减法和乘法运算这人根本是无法完成的更何况是n阶但若利用行列式的性质将其化为有很多零元素则很快就可算出结果
注意到此行列式的相邻两列行的对应元素仅差1因此可按下述方法计算
212按第一行列展开
例2计算n阶行列式
解将按第1行展开例3计算nn≥2阶行列式
解按第一行展开得再将上式等号右边的第二个行列式按第一列展开则可得到
22递逆推公式法递推法是根据行列式的构造特点建立起与的递推关系式逐步推下去从而求出的值有时也可以找到与的递推关系最后利用得到的值
注意用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构如果没有的话即很难找出递推关系式从而不能使用此方法221等差数列递推
解将行列式按第列展开有
得
同理得
例2计算
解同理
联立解得
当时222一路直推
例1计算阶行列式
解首先建立递推关系式按第一列展开得
这里与有相同的结构但阶数是的行列式
现在利用递推关系式计算结果对此只需反复进行代换得
因故
最后用数学归纳法证明这样得到的结果是正确的
当时显然成立设对阶的情形结果正确往证对n阶的情形也正确由
可知对n阶的行列式结果也成立根据归纳法原理对任意的正整数n结论成立223对角直递
例1证明n阶行列式
证明按第一列展开得
其中等号右边的第一个行列式是与有相同结构但阶数为的行列式记作第二个行列式若将它按第一列展开就得到一个也与有相同结构但阶数为的行列式记作
这样就有递推关系式
因为已将原行列式的结果给出我们可根据得到的递推关系式来证明这个结果是正确的
当时结论正确当时结论正确
设对的情形结论正确往证时结论也正确
由可知对n阶行列式结果也成立
根据归纳法原理对任意的正整数n结论成立
分析此行列式的特点是除主对角线及其上下两条对角线的元素外其余的元素都为零这种行列式称三对角行列式[1]从行列式的左上方往右下方看即知Dn-1与Dn具有相同的结构因此可考虑利用递推关系式计算23利用范德蒙行列式
根据行列式的特点适当变形利用行列式的性质如提取公因式互换两行列一行乘以适当的数加到另一行列去把所求行列式化成已知的或简单的形式其中范德蒙行列式就是一种这种变形法是计算行列式最常用的方法231变形范德蒙行列式
解把第1行的-1倍加到第2行把新的第2行的-1倍加到第3行以此类推直到把新的第n-1行的-1倍加到第n行便得范德蒙行列式
例2计算阶行列式其中
解这个行列式的每一行元素的形状都是012n即按降幂排列按升幂排列且次数之和都是n又因若在第i行12n提出公因子则D可化为一个转置的范德蒙行列式即
例3计算行列式解232系数范德蒙行列式
解作如下行列式使之配成范德蒙行列式
易知等于中的系数的相反数而中的系数为因此233利用行列式性质凑范德蒙行列式例1计算n阶行列式解显然该题与范德蒙行列式很相似但还是有所不同所以先利用行列式的性质把它化为范德蒙行列式的类型
先将的第n行依次与第n-1行n-2行2行1行对换再将得到到的新的行列式的第n行与第n-1行n-2行2行对换继续仿此作法直到最后将第n行与第n-1行对换这样共经过n-1n-221nn-12次行对换后得到
上式右端的行列式已是范德蒙行列式故利用范德蒙行列式的结果得
第三章其他方法求行列式31加边法升阶法加边法又称升阶法是在原行列式中增加一行一列且保持原行列式不变的方法它要求1保持原行列式的值不变2新行列式的值容易计算根据需要和原行列式的特点选取所加的行和列加边法适用于某一行列有一个相同的字母外也可用于其第列行的元素分别为个元素的倍数的情况3110字母加边
例1计算阶行列式解312"
0"
和"
1"
加边
例1计算阶行列式其中
解先将添上一行一列变成下面的阶行列式显然
将的第一行乘以后加到其余各行得
因将上面这个行列式第一列加第i列的倍得
32数学归纳法当与是同型的行列式时可考虑用数学归纳法求之一般是利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值再用数学归纳法给出猜想的证明因此数学归纳法一般是用来证明行列式等式因为给定一个行列式要猜想其值是比较难的所以是先给定其值然后再去证明
321第一数学归纳法
解用数学归纳法当时
假设时有则当时把按第一列展开得
由此对任意的正整数有322第二数学归纳法
例1计算行列式解于是猜想
证明对级数用第二数学归纳法证明时结论成立假设对级数小于时结论成立将级行列式按第行展开323猜测归纳例1计算行列式解猜测证明1时命题成立假设时命题成立考察nk的情形
故命题对一切自然数n成立33拆开法拆项法是将给定的行列式的某一行列的元素写成两数和的形式再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和把一个复杂的行列式简化成两个较为简单的使问题简化以利计算331对角拆
解
332按列行拆
例1计算阶行列式
解将按第一列拆成两个行列式的和即
再将上式等号右端的第一个行列式第i列3n减去第一列的i倍第二个行列式提出第一列的公因子则可得到
当n≥3时当时
小结计算行列式的方法很多也比较灵活上面介绍了计算n阶行列式的常见方法计算行列式时我们应当针对具体问题把握行列式的特点灵活选用方法总的原则是充分利用所求行列式的特点运用行列式性质及上述常用的方法有时综合运用以上方法可以更简便的求出行列式的值有时也可用多种方法求出行列式的值学习中多练习多总结才能更好地掌握行列式的计算
参考文献
[1]线性代数--方法导引[m]屠伯埙上海科大出版社1994
[2]高等代数[m]王萼芳石生明高等教育出版社1995
[3]高等代数全程导学及习题全解[m]杜炜马訾伟中国时代经济出版社1998
[4]高等代数辅导及习题全解北大第三版[m]王勇科学技术文献出版社1995
[5]高等代数习题集上下册[m]杨子胥山东科学技术出版社2004
[6]高等代数习题课参考书[m]张均本高等教育出版社2003
[7]高等代数[m]上海财经大学数学系主编复旦大学出版社2008
[8]高等代数[m]王住登国防工业大学出版社2005
[9]IntroductionToHigherAlgebra[m]Doverpublications2004
[10]HigherEngineringMathematics[m]JohnBirdNewnes2004
谢辞本论文设计在老师的悉心指导和严格要求下业已完成从课题选择到具体的写作过程无不凝聚着老师的心血和汗水在我的毕业论文写作期间刘老师为我提供了种种专业知识上的指导和一些富于创造性的建议没有这样的帮助和关怀我不会这么顺利的完成毕业论文在此向刘老师表示深深的感谢和崇高的敬意在临近毕业之际我还要借此机会向在这四年中给予了我帮助和指导的所有老师表示由衷的谢意感谢他们四年来的辛勤栽培不积跬步何以至千里各位任课老师认真负责在他们的悉心帮助和支持下我能够很好的掌握和运用专业知识并在设计中得以体现顺利完成毕业论文同时在论文写作过程中我还参考了有关的书籍和论文在这里一并向有关的作者表示谢意我还要感谢同组的各位同学在毕业设计的这段时间里你们给了我很多的启发提出了很多宝贵的意见对于你们帮助和支持在此我表示深深地感谢
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