三招求圆的切线方程.doc
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三招求圆的切线方程
江西省永丰中学吴全根
求圆的切线方程主要分为已知切线的斜率k或已知切线上一点两种情况,而已知切线上一点又可分为点在圆上和点在圆外两种情况,面对这几种情况各采用什么方法求圆的切线方程呢?
下面教你三招.
一、公式法可求过圆上一点的切线方程.公式如下:
①过圆x2+y2=r2上点P(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2.
②过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上点P(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.
③过圆x2+y2+Dx+Ey+F=0上点P(x0,y0)的切线方程x0x+y0y+D+E+F=0.
点评:
(1)公式②中当a=b=0时即为公式①.
(2)上述公式是利用“圆的切线垂直过切点的半径”这一性质推导的,当切线的斜率不存在时公式也适用.
(3)当你忘记了这些公式,可利用公式推导方法求之.
例1求过点A(4,1)且与圆(x-2)2+(y+1)2=8相切的切线方程.
解一:
(公式法)(4-2)2+(1+1)2=8点A(4,1)在圆上,
圆的切线方程为(4-2)(x-2)+(1+1)(y+1)=8,即x+y-5=0.
解二:
(公式推导法)圆心C(2,-1)k=1过点A的切线的斜率k=-1.
所求切线方程为y-1=-1(x-4),即x+y-5=0.
二、待定系数法可求过圆外一点P(x0,y0)的圆的切线方程或求已知切线的斜率k的切线方程.此时可设圆的切线方程为y-y=k(x-x)或y=kx+b,然后利用“圆心到直线的距离等于半径”这一性质求k.
例2求过点M(2,4)向圆(x-1)2+(y+3)2=1所引的切线方程.
解:
设所求切线方程为y-4=k(x-2)即kx-y-2k+4=0(倾斜角不为900),d=,k=,切线方程为24x-7y-20=0.
当倾斜角为900时,切线方程为x=2.过M点的切线方程为24x-7y-20=0或x=2.
点评:
因为过圆外一点P(x0,y0)引圆的切线有两条,故用此法求切线的斜率k一般有两个值,若k只有一个值,说明还有一条切线,其斜率不存在,方程为x=x0,应补回来.
三、判别式法其依据是圆的切线的定义.
例3已知圆C:
x2+y2+2x-4y+3=0,若圆C的切线在坐标轴上的截距绝对值相等,求此切线方程.
解:
(1)当截距不为0时,设切线方程为y=-x+b或y=x+c分别代人圆C的方程得2x2-2(b-3)x+(b2-4b+3)=0,或2x2+2(c-1)x+(c2-4c+3)=0
直线与圆相切,上述两方程均有等根,=0,由此可得:
b=3或b=-1,c=5或c=1
切线方程为x+y-3=0或x+y+1=0或x-y+5=0或x-y+1=0.
(2)当截距为0时,类似可求此时切线的方程为y=(2±)x.
点评:
(1)此题也可以用方法二求解;
(2)截距相等时别忘了截距为0的情况.
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