与名师对话文椭圆一Word文档下载推荐.docx
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2.已知椭圆+=1(m>
0)的左焦点为F1(-4,0),则m=( )
A.2B.3C.4D.9
[解析] 由4=(m>
0)⇒m=3,故选B.
[答案] B
3.(选修1-1P42A组T1改编)若F1(3,0),F2(-3,0),点P到F1,F2距离之和为10,则P点的轨迹方程是( )
A.+=1B.+=1
C.+=1D.+=1或+=1
[解析] 由题意可知,P点轨迹为椭圆,设椭圆方程为+=1(a>
0),则2a=10,a=5,c==3,得b=4.
所以椭圆方程为+=1.故选A.
[答案] A
4.(选修1-1P40例5改编)设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是( )
A.B.
C.2-D.-1
[解析] 由题意可知,|PF2|=2c,|PF1|=2c.
因为|PF1|+|PF2|=2a,∴2c+2c=2a,
解得=-1.故选D.
[答案] D
5.若方程+=1表示椭圆,则k的取值范围是__________.
[解析] 由已知得
解得3<
k<
5且k≠4.
[答案] (3,4)∪(4,5)
考点一 椭圆的定义及应用
【例1】
(1)(2019·
河北保定一模)与圆C1:
(x+3)2+y2=1外切,且与圆C2:
(x-3)2+y2=81内切的动圆圆心P的轨迹方程为____________________.
(2)(2018·
广东中山一中月考)已知椭圆C:
+=1,F1,F2为椭圆的左、右焦点,点P在C上且∠F1PF2=,则△F1PF2的面积为________.
(3)(2019·
河南郑州三模)椭圆+=1的左焦点为F,直线x=m与椭圆相交于点M,N,当△FMN的周长最大时,△FMN的面积是________.
[思路引导]
(1)→→
(2)→→
(3)→→
[解析]
(1)设动圆的半径为r,圆心为P(x,y),则有|PC1|=r+1,|PC2|=9-r.所以|PC1|+|PC2|=10>
|C1C2|=6,即P在以C1(-3,0),C2(3,0)为焦点,长轴长为10的椭圆上,得点P的轨迹方程为+=1.
(2)由+=1可得a2=16,b2=8,c2=8,
∴a=4,c=2,则|PF1|+|PF2|=2a=8,
|F1F2|=4.
在△PF1F2中,由余弦定理得
cos=
=
==.
解得|PF1||PF2|=,
∴S△F1PF2=|PF1||PF2|sin=.
(3)如图,设椭圆的右焦点为F′,连接MF′,NF′.
因为|MF|+|NF|+|MF′|+|NF′|≥|MF|+|NF|+|MN|,
所以当直线x=m过椭圆的右焦点时,△FMN的周长最大.
此时|MN|==,又c===1,所以此时△FMN的面积S=×
2×
=.
[答案]
(1)+=1
(2) (3)
(1)椭圆定义的应用范围
①确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆.
②解决与焦点有关的距离问题.
(2)焦点三角形的应用
椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”,利用定义可求其周长;
利用定义和余弦定理可求|PF1||PF2|;
通过整体代入可求其面积等.
[对点训练]
1.已知△ABC的顶点B,C在椭圆+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是( )
A.2B.6C.4D.12
[解析] 由椭圆的方程得a=.设椭圆的另一个焦点为F,则由椭圆的定义得|BA|+|BF|=|CA|+|CF|=2a,所以△ABC的周长为|BA|+|BC|+|CA|=|BA|+
|BF|+|CF|+|CA|=(|BA|+|BF|)+(|CF|+|CA|)=2a+2a=4a=4.故选C.
[答案] C
2.设P是椭圆+=1上一点,M,N分别是两圆:
(x+4)2+y2=1和(x-4)2+y2=1上的点,则|PM|+|PN|的最小值、最大值分别为( )
A.9,12B.8,11C.8,12D.10,12
[解析]
如图所示,因为两个圆心恰好是椭圆的焦点,由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=10,易知|PM|+|PN|=(|PM|+|MF1|)+(|PN|+|NF2|)-2,则其最小值为|PF1|+|PF2|-2=8,最大值为|PF1|+|PF2|+2=12.故选C.
考点二 椭圆的标准方程
【例2】 求满足下列条件的椭圆的标准方程:
(1)过点(,-),且与椭圆+=1有相同焦点;
(2)经过两点(2,0),(0,1).
[思路引导]
(1)→→→
(2)→→→
[解]
(1)解法一:
(定义法)椭圆+=1的焦点为(0,-4),(0,4),即c=4.
由椭圆的定义知,2a=+,解得a=2.
由c2=a2-b2,可得b2=4.
所以所求椭圆的标准方程为+=1.
解法二:
(待定系数法)设所求椭圆方程为+=1(k<
9),将点(,-)的坐标代入,可得+=1,解得k=5或k=21(舍去),所以所求椭圆的标准方程为+=1.
(2)解法一:
当椭圆的焦点在x轴上时,设所求椭圆的方程为+=1(a>
0).
∵椭圆经过两点(2,0),(0,1),
∴解得
∴所求椭圆的标准方程为+y2=1;
当椭圆的焦点在y轴上时,设所求椭圆的方程为+=1(a>
与a>
b矛盾,故舍去.
综上可知,所求椭圆的标准方程为+y2=1.
设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>
0,m≠n).
∵椭圆过(2,0)和(0,1)两点,
求椭圆标准方程的2种常用方法
定义法
根据椭圆的定义,确定a2,b2的值,结合焦点位置可写出椭圆方程
待定系
数法
若焦点位置明确,则可设出椭圆的标准方程,结合已知条件求出a,b;
若焦点位置不明确,则需要分焦点在x轴上和y轴上的两种情况讨论,也可设椭圆的方程为Ax2+By2=1(A>
0,B>
0,A≠B)
1.椭圆以x轴和y轴为对称轴,经过点(2,0),长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的方程为( )
A.+y2=1B.+=1
C.+y2=1或+=1D.+y2=1或+x2=1
[解析] 由于椭圆长轴长是短轴长的2倍,即有a=2b,又椭圆经过点(2,0),则若焦点在x轴上,则a=2,b=1,椭圆方程为+y2=1;
若焦点在y轴上,则a=4,b=2,椭圆方程为+=1,故选C.
2.(2019·
长沙市高三一模)椭圆E的焦点在x轴上,中心在原点,其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点,则椭圆E的标准方程为( )
A.+=1B.+y2=1
C.+=1D.+=1
[解析] 由题意易知,b=c=,故a2=b2+c2=4,从而椭圆E的标准方程为+=1.故选C.
考点三 椭圆的几何性质
椭圆的几何性质是高考的热点,高考中多以小题出现,试题难度一般较大.高考对椭圆几何性质的考查主要有以下三个命题角度:
(1)由椭圆的方程研究其性质;
(2)由椭圆的性质求参数的值或范围;
(3)求离心率的值或范围.
角度1:
由椭圆的方程研究其性质
【例3-1】 (2018·
全国卷Ⅰ)已知椭圆C:
+=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为( )
A.B.C.D.
[解析] 不妨设a>
0,因为椭圆C的一个焦点为(2,0),所以c=2,所以a2=4+4=8,所以a=2,所以椭圆C的离心率e==.故选C.
角度2:
由椭圆的性质求参数的值或范围
【例3-2】
(1)(2019·
贵州质检)已知椭圆+=1的长轴在x轴上,焦距为4,则m等于( )
A.8B.7C.6D.5
(2)如图,焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率e=,F,A分别是椭圆的一个焦点和顶点,P是椭圆上任意一点,则·
的最大值为( )
A.1 B.2
C.4 D.4
[解析]
(1)∵椭圆+=1的长轴在x轴上,
∴解得6<
m<
10.
∵焦距为4,∴c2=m-2-10+m=4,解得m=8.故选A.
(2)设P点坐标为(x0,y0).
由题意知a=2,∵e==,∴c=1,∴b2=a2-c2=3.
所求椭圆方程为+=1.∴-2≤x0≤2,-≤y0≤.又F(-1,0),A(2,0),
=(-1-x0,-y0),=(2-x0,-y0),
∴·
=x-x0-2+y=x-x0+1=(x0-2)2.
当x0=-2时,·
取得最大值4.故选C.
[答案]
(1)A
(2)C
角度3:
求离心率的值或范围
【例3-3】 (2018·
全国卷Ⅱ)已知F1,F2是椭圆C:
+=1(a>
0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°
,则C的离心率为( )
(2)(2019·
安徽皖南八校联考)已知椭圆+=1(a>
0)的左、右焦点分别为F1,F2.若在直线x=2a上存在点P使得线段PF1的垂直平分线过点F2,则椭圆的离心率的取值范围是( )
C.D.
[解析]
(1)由题意可得椭圆的焦点在x轴上,如图所示,设|F1F2|=2c,∵△PF1F2为等腰三角形,且∠F1F2P=120°
,∴|PF2|=|F1F2|=2c.∵|OF2|=c,∴点P的坐标为(c+2ccos60°
,2csin60°
),即点P(2c,c).∵点P在过点A,且斜率为的直线上,∴=,解得=,∴e=,故选D.
(2)∵直线x=2a上存在点P使线段PF1的垂直平分线过点F2,∴根据垂直平分线的性质以及直角三角形的性质可得,|PF2|=|F1F2|=2c≥2a-c,∴2a≤3c,∴e≥.又∵e<
1,∴椭圆离心率的取值范围是.故选B.
[答案]
(1)D
(2)B
(1)求椭圆离心率的3种方法
①直接求出a,c的值,利用离心率公式直接求解.
②列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助于b2=a2-c2消去b,转化为含有e的方程(或不等式)求解.
③数形结合,根据图形观察,通过取特殊值或特殊位置求出离心率.
(2)椭圆中有关范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如,-a≤x≤a,-b≤y≤b,0<
e<
1等,在求椭圆相关量的范围时,要注意应用这些不等式关系.
1.已知椭圆mx2+4y2=1的离心率为,则实数m等于( )
A.2B.2或
C.2或6D.2或8
[解析] 显然m>
0且m≠4,当0<
4时,椭圆长轴在
x轴上,则=,解得m=2;
当m>
4时,椭圆长轴在y轴上,则=,解得m=8.故选D.
广州市高三毕业班综合测试)已知F1,F2分别是椭圆C:
0)的左、右焦点,若椭圆C上存在点P使∠F1PF2为钝角,则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A.B.
C.D.
[解析] 解法一:
设P(x0,y0),由题易知|x0|<
a,因为∠F1PF2为钝角,所以·
<
0有解,即c2>
x+y有解,即c2>
(x+y)min,又y=b2-x,x<
a2,故x+y=b2+x∈[b2,a2),所以(x+y)min=b2,故c2>
b2,又b2=a2-c2,所以e2=>
,解得e>
,又0<
1,故椭圆C的离心率的取值范围是,故选A.
椭圆上存在点P使∠F1PF2为钝角⇔以原点O为圆心,以c为半径的圆与椭圆有四个不同的交点⇔b<
c,如图,由b<
c,得a2-c2<
c2,即a2<
2c2,解得e=>
课后跟踪训练(五十四)
基础巩固练
一、选择题
1.“-3<
5”是“方程+=1表示椭圆”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
[解析] 要使方程+=1表示椭圆,只需满足解得-3<
5且m≠1,因此,“-3<
5”是“方程+=1表示椭圆”的必要不充分条件.故选B.
2.设F1,F2分别是椭圆+=1的左、右焦点,P为椭圆上一点,M是F1P的中点,|OM|=3,则P点到椭圆左焦点的距离为( )
A.4B.3C.2D.5
[解析] 连接PF2,由题意知,a=5,在△PF1F2中,|OM|=|PF2|=3,∴|PF2|=6,∴|PF1|=2a-|PF2|=10-6=4.故选A.
3.已知椭圆+=1的两个焦点分别是F1,F2,点P在该椭圆上,若|PF1|-|PF2|=2,则△PF1F2的面积是( )
A.B.2C.2D.
[解析] 由椭圆的方程可知a=2,c=,且|PF1|+|PF2|=2a=4,又|PF1|-|PF2|=2,所以|PF1|=3,|PF2|=1.又|F1F2|=2c=2,所以有|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2,即△PF1F2为直角三角形,所以S△PF1F2=|F1F2|·
|PF2|=×
1=.故选A.
4.(2017·
全国卷Ⅲ)已知椭圆C:
0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为( )
[解析] 以线段A1A2为直径的圆的圆心为坐标原点(0,0),半径为r=a,圆的方程为x2+y2=a2,直线bx-ay+2ab=0与圆相切,所以圆心到直线的距离等于半径,即:
d==a,
整理可得a2=3b2,即a2=3(a2-c2),2a2=3c2,
从而e2==,椭圆的离心率e===,
故选A.
5.(2019·
上海崇明一模)如图,已知椭圆C的中心为原点O,F(-2,0)为C的左焦点,P为C上一点,满足|OP|=|OF|且|PF|=4,则椭圆C的方程为( )
[解析] 依题意,设椭圆方程为+=1(a>
0),右焦点为F′,连接PF′.
由已知,半焦距c=2.又由|OP|=|OF|=|OF′|,知∠FPF′=90°
.
在Rt△PFF′中,|PF′|===8.由椭圆的定义可知2a=|PF|+|PF′|=4+8=12,所以a=6,于是b2=a2-c2=62-
(2)2=16,故所求椭圆方程为+=1,故选C.
二、填空题
6.(2019·
安徽黄山一模)已知圆(x-2)2+y2=1经过椭圆+=1(a>
0)的一个顶点和一个焦点,则此椭圆的离心率e=________.
[解析] 圆(x-2)2+y2=1经过椭圆+=1(a>
0)的一个顶点和一个焦点,故椭圆的一个焦点为F(1,0),一个顶点为A(3,0),所以c=1,a=3,因此椭圆的离心率为.
[答案]
7.(2018·
北京朝阳模拟)已知椭圆+=1(a>
0)的一个焦点是F(1,0),若椭圆短轴的两个三等分点M,N与F构成正三角形,则此椭圆的方程为__________.
[解析] 由△FMN为正三角形,得c=|OF|=|MN|=×
b=1.解得b=,∴a2=b2+c2=4.故椭圆的方程为+=1.
[答案] +=1
8.从椭圆+=1(a>
0)上一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点F1,A是椭圆与x轴正半轴的交点,B是椭圆与y轴正半轴的交点,且AB∥OP(O是坐标原点),则该椭圆的离心率是________.
[解析] 由已知,点P(-c,y)在椭圆上,代入椭圆方程,得P.∵AB∥OP,∴kAB=kOP,即-=-,则b=c,∴a2=b2+c2=2c2,则=,即该椭圆的离心率是.
三、解答题
9.F1、F2分别是椭圆+=1(a>
0)的左、右焦点,椭圆上的点到F2的最近距离为4,最远距离为16.
(1)求椭圆方程;
(2)P为该椭圆上一点,且∠F1PF2=60°
,求△F1PF2的面积.
[解]
(1)依题意知,
∴a=10,c=6.
∴b=8.
∴所求椭圆方程为:
+=1.
(2)∵∠F1PF2=60°
,
∴|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos60°
即|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·
|PF2|=144.
∴(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1|·
又|PF1|+|PF2|=20,
∴|PF1|·
|PF2|=.
∴S△F1PF2=|PF1|·
|PF2|·
sin60°
=×
×
10.(2019·
湖南长沙望城一中第三次调研)P为圆A:
(x+1)2+y2=8上的动点,点B(1,0).线段PB的垂直平分线与半径PA相交于点M,记点M的轨迹为Γ.
(1)求曲线Γ的方程;
(2)当点P在第一象限,且cos∠BAP=时,求点M的坐标.
[解]
(1)圆A的圆心为A(-1,0),半径等于2.
由已知得|MB|=|MP|,所以|MA|+|MB|=|MA|+|MP|=2,
故曲线Γ是以A,B为焦点,以2为长轴长的椭圆,设Γ的方程为+=1(a>
0),a=,c=1,b=1,
所以曲线Γ的方程为+y2=1.
(2)由点P在第一象限,cos∠BAP=,|AP|=2,得P.
于是直线AP的方程为y=(x+1).
代入椭圆方程,消去y,可得
5x2+2x-7=0,即(5x+7)(x-1)=0.
所以x1=1,x2=-.因为点M在线段AP上,
所以点M的坐标为.
能力提升练
11.(2018·
辽宁大连二模)焦点在x轴上的椭圆方程为+=1(a>
0),短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形,该三角形内切圆的半径为,则椭圆的离心率为( )
[解析] 由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形,又由三角形面积公式得×
2c·
b=(2a+2c)·
,得a=2c,即e==,故选C.
12.(2019·
广西桂林期末)若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·
A.2B.3C.6D.8
[解析] 设点P(x0,y0),则+=1,即y=3-.又因为点F(-1,0),所以·
=x0(x0+1)+y=x+x0+3=(x0+2)2+2.又x0∈[-2,2],所以(·
)max=6.故选C.
13.(2019·
云南昆明质检)椭圆+=1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m,当m取最大值时,点P的坐标是________.
[解析] 记椭圆的两个焦点分别为F1,F2,有|PF1|+|PF2|=2a=10.则m=|PF1|·
|PF2|≤2=25,当且仅当|PF1|=|PF2|=5,即点P位于椭圆的短轴的顶点处时,m取得最大值25.所以点P的坐标为(-3,0)或(3,0).
[答案] (-3,0)或(3,0)
14.已知椭圆+=1(a>
0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB=90°
,求椭圆的离心率.
(2)若=2,·
=,求椭圆的方程.
[解]
(1)若∠F1AB=90°
,则△AOF2为等腰直角三角形,所以有OA=OF2,即b=c.
所以a=c,e==.
(2)由题知A(0,b),F1(-c,0),F2(c,0),其中c=,设B(x,y).
由=2,得(c,-b)=2(x-c,y),
解得x=,y=-,即B.
将B点坐标代入+=1,得+=1,即+=1,解得a2=3c2①.
又由·
=(-c,-b)·
=,
得b2-c2=1,即有a2-2c2=1②
由①②解得c2=1,a2=3,从而有b2=2.
所以椭圆的方程为+=1.
拓展延伸练
15.(2019·
广东中山一模)设椭圆:
0)的右顶点为A,右焦点为F,B为椭圆在第二象限内的点,直线BO交椭圆于点C,O为原点,若直线BF平分线段AC,则椭圆的离心率为( )
[解析] 如图,设点M为AC的中点,连接OM,则OM为△ABC的中位线,于是△OFM∽△AFB,且==,即=,解得e==.故选B.
16.(2019·
浙江温州模拟)正方形ABCD的四个顶点都在椭圆+=1(a>
0)上,若椭圆的焦点在正方形的内部,则椭圆的离心率的取值范围是( )
[解析] 设正方形的边长为2m,∵椭圆的焦点在正方形的内部,∴m>
c.又正方形ABCD的四个顶点都在椭圆+=1(a>
0)上,∴+=1>
+=e2+,整理得e4-3e2+1>
0,e2<
∴0<
.故选B.
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- 名师 对话 椭圆