二次函数与一元二次方程关系解题技巧Word文档格式.docx

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的根，将m、n代入该方程可得m2－2m-1=0，n2－2n－1=0，即m2－2m=1，n2－2n=1．变形，得7m2－14m=7，3n2－6n=3，因此（7+a）（3－7）=8，所以a=－9．

【答案】C

【小结】从方程的根入手，将其根代入方程，进而构造出一个新的方程．在解本题的过程中，还应用了整体的思想，同时要注意把握条件与结论之间的关系，即括号中的7m2－14m、3n2－6n与已知方程之间的关系．从而使问题得到快速求解．

类型三 

巧构一元二次方程的根

【例4】已知一元二次方程

（

为常数）满足

，则该方程的一根必为________．

【解析】结合一元二次方程根的定义，当

时，满足方程左、右两边都相等，由此判断方程的一根必为x=

【答案】x=

【小结】估算一元二次方程的根时，应结合根的意义，通过观察，比较得出．

类型四 

判断一元二次方程根的范围

【例5】根据下列表格中的对应值，判断方程

为常数）的一个解

的范围是（　 

　）　

6.17

6.18

6.19

6.20

A．

B．

C．

D．

【解析】由表格中的数据发现：

当x=6.18时，代数式

的值为－0.01；

当x=6.19时，代数式

的值为0.02，要从表格中判断

=0的解，可发现未知数x的值应处于6.18到6.19之间．

【小结】解决本题的关键在于理解根的意义，使方程左右两边相等的未知数的值就是该方程的解．

类型五 

与一元二次方程的根有关的开放题

【例6】已知关于

的一元二次方程的一个根是1，写出一个符合条件的方程：

____________．

【解析】答案不唯一，可先写出二次项，再写出一次项，最后写能使该方程有一根为1的常数项．

【答案】答案不唯一，如：

即

等．



二、实际问题与一元二次方程解题技巧

近几年有关一元二次方程的应用题在中考中经常出现，此类题大多以现实生活中的热点新闻、热点事件为背景，形式多变．主要是考查分析问题、解决问题能力．

1．列一元二次方程解应用题的一般步骤：

（1）审；

（2）设；

（3）列；

（4）解；

（5）检验；

（6）答．

2．一元二次方程的应用

一元二次方程的应用

常见问题

常用规律、技巧、方法

增长率、减少率

几何问题

借助面积或体积，相关图形的性质及内在关系

倍数传播

市场经济

销售利润=每件的利润×

件数

数字问题

用相关的代数式表示数

增长率、减少率问题

【例1】长沙市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．

（1）求平均每次下调的百分率；

（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：

①打9.8折销售；

②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元，请问哪种方案更优惠？

【分析】

（1）设平均每次下调的百分率为x，根据第一次下调后为

，第二次下调后为

列方程求解即可；

（2）从购房和物业费两方面，比较方案①、方案②即可．

【解】

（1）设平均每次下调的百分率为x，根据题意，得

．解得

=10％，

（不合题意舍去）．所以平均每次下调的百分率为10％．

（2）方案①的房款是：

4050×

100×

0.98=396900（元）；

方案②的房款是：

100－1.5×

12×

2=401400（元）．

∵396900＜401400，

∴选方案①更优惠． 

【小结】增长（降低）率是列方程解实际问题最常见的题型之一，对于平均增长率问题，正确理解有关“增长”问题的一些词语的含义是解答这类问题的关键，常见的词语有：

“增加”“增加到”“增加了几倍”“增长到几倍”“增长率”等等．弄清基数、增长（减少）后的量及增长（减少）次数，平均增长率公式为

为基数，

为平均增长率，

为增长次数，

为增长后的量）．同时解出未知数的值是否符合题意一定要考虑清楚．

病毒倍数传播问题

【例2】某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？

若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？

【分析】设一台每轮感染给x台电脑，则第一轮后有（1+x）台，经过第二轮感染后，共有

【解】设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，依题意，得

解得x=8或－10（负值不合题意，舍去）．

∵

＞700，∴若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台．

【小结】“传播与裂变”问题在现实生活中是广泛存在的，常见的类型包括细胞分裂、信息传播、传染扩散、单循环赛等，是近年中考的热点与亮点，尤其是病毒传播速度成几何级数增长，随着传播轮数的增加，数量是十分惊人的，一定要画好分析图，尤其是要弄清每轮传播的源头与传播后的总和．解这类问题的关键是理解题意，设出适当的未知数列方程求解．

几何图形问题

【例3】在一块长16m，宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案．

同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳的方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？

若不符合，请用方程的方法说明理由．

【分析】设小路宽度为

m，则花园的长为

，花园的宽为

，根据面积可得方程．

（1）不符合．设小路宽度均为

m，根据题意得：

，解这个方程得：

但

不符合题意，应舍去，∴

．∴小芳的方案不符合条件，小路的宽度应均为2m．

【小结】几何图形问题一般是只给出一个几何图形（常见的有三角形、特殊四边形），要求在其四周设计边衬或对其进行分割、裁剪，设计一个新的图形或图案．在有关几何图形的面积表示中，通常有三种处理办法：

直接表示、间接表示与变换表示．解决有关面积问题时，要注意将不规则图形分割成或组合成规则图形，找出各部分面积之间的关系，再利用规则图形的面积公式列出方程求解，进而对方程的根进行取舍．

市场经济与其它问题

【例4】某批发商以每件50元的价格购进800件T恤．第一个月以单价80元销售，售出了200件；

第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；

第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元．设第二个月单价降低x元．

（1）填表（不需要化简）

时间

第一个月

第二个月

清仓时

单价（元）

80

40

销售量（件）

200

（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？

（1）由“第二个月单价降低x元”知第二个月的单价为（80－x），销售量为（200+10x）件，清仓时为总数量分别减去前面两个月的剩余量，即800－200－（200+10x）；

（2）销售额－成本=利润，由“获利9000元”建立方程进行求解．

（1）80－x，200+10x，800－200－（200+10x）；

（2）根据题意，得80×

200+（80－x）（200+10x）+40[800－200－（200+10x）]－50×

800=9000．

整理，得x2－20x+100=0，解这个方程得x1=x2=10，当x=10时，80－x=70＞50．

答：

第二个月的单价应是70元．

【小结】市场经济问题（纳税、利息、分期付款、销售利润），匀变速运动、古诗词等问题都是值得关注，解答这问题时，不论背景如何变化，一定要抓住“关键词语”寻找等量关系，并注意根据实际意义对所列一元二次方程进行合理的取舍．

【例5】百货大搂服装柜台在销售中发现：

“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“十一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：

如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件．要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少？

【分析】每件的利润是40－x元，因每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件．则件数为

件，抓住总利润列出方程进行求解．

【解】设每件童装应降价x元，则

．因为要尽快减少库存，所以x=20．

每件童装应降价20元．

【小结】本题主要的数量关系是：

销售利润=每件利润×

件数，理解商品的销售的件数及商品价格的关系是解答本题的关键．

三、二次函数及其图象解题技巧

抛物线的平移问题

抛物线的平移问题，可以首先研究其顶点的平移问题，因此，一般要将其解析式转化为顶点式．

【例1】把抛物线y＝x2+bx+c的图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y＝x2－

2x－3，则b、c的值为（ 

A．b＝2，c＝2 

B．b＝2，c＝0 

C．b＝－2，c＝－1 

D．b＝－3，c＝2

【分析】 

y＝x2－2x－3＝ 

（x2－2x+1）－4＝（x－1）2－4，这个函数图象的顶点坐标为（1，－4），故原抛物线的顶点坐标为（－1，－1）．

验证：

（－1，－1）

（1，－4）．

∴y＝x2+bx+c可化为y＝（x+1）2－1．

即y＝x2+2x．

∴b＝2，c＝0．

【答案】B

抛物线的旋转和轴对称变换

将抛物线绕顶点旋转180°

，开口方向发生改变，顶点的坐标不变；

抛物线的轴对称变换问题，也是从顶点的轴对称变换开始切入．

【例2】将抛物线y＝2x2-12x+16绕它的顶点旋转180°

，所得抛物线的解析式是（ 

A．y＝－2x2－12x+16 

B．y＝－2x2+12x－16

C．y＝－2x2+12x－19 

D．y＝－2x2+12x－20

【分析】将y＝2x2－12x+16化为顶点式，得y＝2（x－3）2－2．∴该抛物线的顶点坐标为（3，－2），将该抛物线绕顶点旋转180°

后，顶点仍然是（3，－2），解析式中二次项的系数变为－2，所以所得抛物线的解析式为y＝ 

－2（x－3）2－2，即y＝－2x2+12x－20．

【答案】D

抛物线的对称性（重点）

【例3】 

如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x＝1，且经过点P（3，0），则a－b+c的值是（ 

A．0 

B．－1 

C．1 

D．2

【分析】∵该抛物线的对称轴为直线x＝1，又经过点P（3，0），∴利用抛物线的对称性可知该抛物线还要经过点（-1，0），因此a－b+c＝0．

【答案】A

函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的增减性

二次函数的增减性通常要结合其图象研究，明确开口方向及对称轴的位置，是研究的前提条件．

【例4】 

已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：

x

…

1

2

3

4

y

若点A（x1，y1），B（x2，y2）在该函数的图象上，则当1＜ 

x1＜2，3＜x2＜4时，y1与y2的大小关系正确的是（ 

A．y1＞y2 

B．y1＜y2 

C．y1≥y2 

D．y1≤y2

【分析】从表中可以发现x＝1和x＝3时，y的值都是1．说明函数图象的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，0），这时函数值最小，故该抛物线的开口向上，又因为1＜x1＜2，3＜x2＜4，所以点A（x1，y1）和点B（x2，y2）分别位于对称轴的左右两侧，且点A（x1，y1）比点B（x2，y2）到对称轴的距离近．因此y1＜y2.

根据条件确定最大值和最小值

【例5】当－2≤x≤3时，二次函数y＝x2－2x+3的最大值为______，最小值为______．

【分析】y＝x2－2x+3＝（x－1）2+2，该函数图象的顶点为（1，2），画出满足条件－2≤x≤3的图象．如图所示．当x＝1时，y有最小值，其最小值为2；

当x＝－2时，y有最大值，其最大值为11．

【答案】11；

类型六 

利用“配方法”求特殊函数的最大（小）值

【例6】

（1）求函数y＝x+

（x＞0）的最小值；

（2）已知矩形的面积为a，一条边的长为x．当x为何值时，矩形的周长y最小，这个最小值是多少？

【分析 

】可设法将x+

“配方”．

（1）y＝x+

（x＞0）

＝

+2．

当

，即x＝1时，y有最小值，最小值为2．

（2）y＝2（x+

）（x＞0）

，即x＝

时，y有最小值，其最小值为4

∴当x＝

时，矩形的周长y最小，最小值为4

四、二次函数与一元二次方程关系解题技巧

抛物线的交点式（重点）

一般地，若二次函数的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，则其解析式可设为“交点式”即y＝a（x－x1）（x－x2）．

【例1】已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，与y轴交于点C（0，－4）．其中x1，x2是方程x2－4x－12＝0的两根，且x1＜x2，求抛物线的解析式．

【分析】已知抛物线与x轴的交点为（x1，0），（x2，0），故可设其解析式为y＝a（x－x1）（x－x2）．

【解】∵方程x2－4x－12＝0的解为：

＝－2，x2＝6，故可设已知的抛物线的解析式为：

y＝a（x+2）（x－6）．

由x＝0时，y＝－4，得

－4＝a×

2×

（－6），∴a＝

∴该抛物线的解析式为：

y＝

（x+2）（x－6），

即y＝

x2－

x－4．

【名师点睛】虽然本题也可以利用给出的“一般式”来确定抛物线的解析式，但是没有设成“交点式”简单．

【例 

2】如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，如果OB＝OC＝

OA，那么b的值是（ 

A．2 

D．－

【分析】设OB＝OC＝

OA＝c，则A、B两点的坐标分别为A（－2c，0），B（c，0）．

故可设抛物线的解析式为y＝a（x+2c）（x－c），即y＝ax2+acx－2ac2．

又∵OC＝c，

∴点C的坐标为（0，c），代入解析式，得－2ac2＝c．ac＝－

（∵c≠0）．

∴b＝ac＝－

根据图象观察方程的解

通过二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，不仅可以观察一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况，还可以发现与之相关的一些方程的解的情况．

如图所示， 

已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点坐标为（1，8），则一元二次方程ax2+bx+c－8＝0的根的情况是（ 

A．有两个不相等的实根 

B．有两个异号实根 

C．有两个相等实根 

D．没有实根

二次函数y＝ax2+bx+c的最大值是8，因此ax2+bx+c≤8，只有当x＝1时等号成立，因此方程ax2+bx+c＝8．即ax2+bx+c-8＝0有两个相等实根，即x1＝x2＝1．

【方法归纳 

】 

观察本题的图象，研究一元二次方程ax2+bx+c＝k的解的情况，可以发现：

①当k＜8时，方程有两个不相等的实根；

②当k＝8时，方程有两个相等的实根；

③当k＞8时，方程没有实根．

根据图象观察不等式的解集

利用二次函数的图象，还可以观察一些不等式的解集．

【例4】抛物线y＝－x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是________．

【分析】通过观察图象可以发现抛物线的对称轴为直线x＝－1，与x轴的右交点的坐标为（1，0），利用对称性可以推断出抛物线与x轴的左交点的坐标为（－3，0）．要使y＞0，则－3＜x＜1．

【答案】－3＜x＜1

【例5】已知函数y1＝x2与函数y2＝－

x+3的图象大致如图，若y1＜y2，则自变量x的取值范围是（ 

）

A．－

＜x＜2 

B．x＞2或x＜－

C．－2＜x＜

D．x＜－2或x＞

【点石成金】本题中y1＞y2时，取两边；

y1＜y2时，取中间．

【分析】观察图象可以发现，位于点A、B之间的部分，有y1＜y2成立，而此时，x的取值范围有选项A、选项C两种选择，进一步观察图象又可以发现A到y轴的距离大于B到y轴的距离，所以答案只能是－2＜x＜

此外本题也可以通过解方程组求出A、B两点的坐标，然后再判断．

【名师点睛】此题若改成y1＞y2，则x的取值范围是x＜－2或x＞

【例6】如图，抛物线y2＝x2+1与双曲线y1＝

的交点A的横坐标是1，则不等式

+x2+1＜0的解集是（ 

A．x＞1 

B．x＜－1 

C．0＜x＜1 

D．－1＜x＜0

【分析】先把

+x2+1＜0化为

＜－x2－1，再讨论函数y1＝

的图象与y3＝－x2－1的图象之间的关系；

作抛物线y2＝x2+1关于原点成中心对称的抛物线y3＝－x2－1．可以发现抛物线y3＝－x2－1与双曲线y1＝

的交点的横坐标为－1．观察图象可发现当－1＜x＜0时，y1＜y3，即

＜－x2－1，

+x2+1＜0．

根据图象确定代数式的取值范围

根据二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可以发现一些含有a，b，c的代数式的取值范围．

【例7】已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的个数有（ 

①abc＞0；

②b2－4ac＞0；

③8a+c＞0；

④9a+3b+c＜0．

A．1个 

B．2个 

C．3个 

D．4个

】①∵图象开口向上，∴a＞0．∵对称轴在y轴的右侧，∴a、b异号．∴b＜0．图象与y轴的交点在x轴的下方，故c＜0，∴abc＞0．正确

②抛物线与x轴有两个交点，∴b2－4ac＞0．正确

③令x＝－2，则y＝（－2）2a+（－2）b+c＝4a－2b+c.

又∵－

＝1，∴b＝－2a．

∴y＝4a－2b+c＝8a+c．又∵x＝－2时，y＞0．

∴8a+c＞0．正确

④利用抛物线的对称性可知x＝3和x＝－1时y的值相等，且都有y＜0；

而x＝3时，y＝9a+3b+c．∴9a+3b+c＜0．正确

综上所述正确结论的个数为4．

【方法归纳】设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），

代数式

确定符号

a±

b+c

看x＝±

1时y的值

4a±

2b+c

2时y的值

2a±

b

看对称轴与直线x＝1或x＝－1的位置关系

看顶点的纵坐标

【例8】如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点A在（－2，0）和（－1，0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，则

（1）abc 

0；

（2）a的取值范围是 

.

（1）因为图象开口向下，所以a＜0．对称轴在y轴右边，所以b＞0．与y轴的交点在y轴的正半轴上，所以c＞0，综合可得abc＜0．

（2）以D（1，3）为顶点，经过点（－1，0）的抛物线的“张口”最小，

设这条抛物线为y＝a1（x－1）2+3，

令x＝－1，y＝0，得a1＝－

以F为顶点经过点（－2，0）的抛物线的“张口”最大，

设这条抛物线为y＝a2（x－3）2+2，

令x＝－2，y＝0，得a2＝－

，

∴a的取值范围是－

≤a≤－

（1）＜；

（2）－