试求下列性能泛函达到极值的必要条件Word文档下载推荐.docx
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[0(/)+优(/)]也
试求:
(1)3J的表达式;
(2)当X0"
处=0.”和3x=0.2/时的变分和少2的值•
10-7试求卞列性能指标的变分5丿
J(x)=$(t2+x2+x2)dt
10-8试求泛函
丿(x)=f{x2-x2)dt
在满足边界条件x(0)=l,x^)=2的极值曲线.
10-9设泛函
丿(x)=J:
F(“,x2,“,x2,t)dt
端点A(x10宀。
昇o)固定,端点可沿空间曲线Cl(tf)=^t/),C2(t/)=如f)
移动.试证:
当泛函取极值时,横截条件为
&
F•dF
[F+(p-xJ—+(U—]/;
.=0
djqdx2
10-10求性能泛函
J(x)=I"
(x+12x2)dt
在边界条件x(l)二l,x
(2)二2时的极值曲线"
和泛函极值J(x-).
10-11设系统状态方程
xl(0=x2(0
x2{t)=u(t)
性能坐标
已知边界条件:
/0=0,a1(/o)=1,x2(/o)=1;
//=3,x1Q/)=x2(tf)=Q.试求最优控制”*(/)和最优轨线x*(/).
10-12已知状态方程
X1=X2
x2=“
边界条件:
勺(0)=1,x2(0)=0;
Xj
(2)=x2⑵=0•试求F列性能指标的极小值
10-13求泛函
J(x)=f(2习也+xf+x打dt
在满足边界条件勺(0)=X)(0)=0,勺(y)=1,X2(y)=-1时的极值曲线。
10-14求下列性能泛函的极值曲线
]•
J={-x2+xx+x+x)dt
%2
己知『0=0,x(tQ)=—,t=1,x(t/)自由.
10-15已知系统方程
x(t)=
约束条件
M|>
(/o)]=0]
其中,xeRn,ueRpeR'
:
feR"
要求选择应。
)及u\t),te[t0昇打使性能泛函
J=巩应/)]+fF(x,“,t)dt
极小,试确定极值的必要条件.
10-16求使系统
X]=勺,兀2=“
由初态xL(0)=x2(0)=0出发,在ty=1时转移到目标集:
“⑴+七
(1)=1,并使性能指标
为最小值的最优控制/⑴及相应的最优轨线F⑴.
10-17已知一阶系统
XO=-牝)+w(O,A(0)=3
⑴试确定最优控制/⑴,使系统在tf=2时转移到x
(2)二0,并使性能泛函
⑵如果使系统转移到x(tf)=Q的终端时间p自由,问/⑴应如何确定?
10-18设二次积分模型为
(/)=<
y(/)、负/)=u(t)
性能指标
7=|lo“2(f)力
Unknown
已知&
(0)=忒0)=1,如)=0,忒1)自由,试求最优控制/(f)和最优轨线O\t).
10-19设系统状态方程
xi(0=厂⑴“•](0)=2
x2(t)=u(t)9x2(0)=1
7=|fo/"
'
⑴力
要求达到=试求:
(1)tf=5时的最优控制/⑴;
(2)/z自由时的最优控制“*(/).
10-20设一阶系统方程
="
(/),双0)=1
八*J:
(x2+u2)dt
已知x(l)=0.某工程师认为,从工程观点出发可取最优控制函数/⑴二-1.试分析他的意见是否正确,并说明理由.
10-21考虑下列二阶系统
控制结束为I”⑴I<
|,要求最优控制/⑴,使系统在2//时转移到)=0,并使
丿=gu2(t)d!
=min
其中自由.
10-22设一阶系统方程
XO=XO-,x(O)=5
控制约束0.5<
w(r)<
l.性能指标
八.C(x+"
)刃
终端状态自由•试求/(0,x*(0和八10-23设一阶系统
W)=“⑴
边界条件为:
t0=0,X(/o)=l,/y=1,X(ty)=0.
试确定最优控制u\t)和最优轨线x\t)・
10-24设有二阶系统
A'
i(t)=X2(O+Z/(O,“(0)=1
X?
(/)=A'
l(/),x2(0)=0
控制约束|h(0|<
1,当系统终端自由时,求最优控制/⑴,使性能指标
J=2x1
(1)+x2
(1)
取极小值,并求最优轨线x*(O,
10-25已知系统状态方程
-V1(0=-^2(0
x2(0=«
(0
控制约束\u(t)\<
1,试确定最小时间控制u\t),使系统由任意初始状态最快地转移到终端状态勺(//)=2,x2(rp=l.要求写出开关曲线方程y并画出7曲线的图形.
10-26设系统状态方程
-_01]「0]
叫o0$叫
控制约束|“(/)|<
1,§
标集要求M=“(//)=0,试求使系统从初态[x10x20]r转移到目标集的最短时间f;
.
10-27设线性时变系统状态方程为
«
¥
(/)=4(0X0+B⑴1心),x(/0)=x0
性能指标为八/(⑺叫+独讥心[眾)綁締
其中R(t)为正定对称矩阵,P为非负矩阵,Q{t)-N{t)R-\t)NT(t)为非负对称矩阵,■为有限值.试确定最优
控制律“*(/)•
10-28设有一阶非线性系统
x(t)=f(x)+gu
性能指标八加+g(x)M
试证哈密顿-雅可比方程按照—是线性的,按照—是二次的。
dtox
10-29已知一阶系统
X(0=u(t),x(/o)=xo
J=x2(t/)+^[u2+x2]dt
试求最优控制/⑴和最优性能指标厂.
x(/)=--x(/)+w(O
J=1[10x2
(1)]+1j;
[k2+2a-2]J/
10-30已知一阶系统
求最优控制/⑴.
10-31设二阶系统如下图所示•试写出系统的可控标准型,并求使性能指标
J=^[gy\O+nr(t)]dt
J=^e2at[u2(l)+hx2]dt
其中a,b,a为常数,b和a非负.试求最优闭环系统特征值X,并用图解法表示入随a,b和a变化时的情况・
10-33试求下列黎卡提矩阵代数方程的正定解
KA+AlK-rlKhbTK+qcTc=0
■01o'
o
式中人=
001
b=
-a00
1
0o]
10-34设有二次枳分模型
-^1(0=x2(0,"
(0)=0
(/)="
(/)宀(0)=1
>
(/)=A'
l⑴
要求的性能指标为
八W+4"
W
试构造最优输出调节器,并求最优性能指标丿*。
10-35设有时河跟踪系统
M(/)=A(O-v(O++珂),a(/0)=x0
y(t)=
是完全可观的,其中A-eR\u6R'
\ye疋,e⑴为确定性输入噪声向量.性能指标取为
J=^[z(tf)-yQf)FHP/)-yQf)]
+才£
"
(/)«
(/)“(/)+[<
(/)-y(/)]‘°
(/)[z(/)-y(01}山
其中z(t)为希望输出向量,F>
0,/e>
0,c>
0.试用极小值原理的方法求最优控制u\t).
10-36已知二阶离散系统
1[e^T+r-l
心+1)=°
_r心)+_r“伙)
0eT」1-er
其中u(k)无约束.要求最优控制序列u\k),使系统在2个采样周期内由初态x(0)转移到状态空间原点.
10-37对于离散状态调节器
x(k+1)=A(k)x(J<
)+B(k)u(k),x(0)=xQ伙=0,1,…,N—1)
11H-l
J=-xl(N)尸(N)x(N)+_Xtx,伙)0伙)X伙)+/伙)尺伙加伙)]
22心0
其中,u(k)无约束;
P(N)>
0;
2(Z:
)>
R(k)>
0・
10-38试用离散极小值原理证明:
最优控制序列/(幻为
u*伙)=-r7(k)Br(k)[KT伙+1)+B(k)Ri(k)BT(A:
)]"
1A(k)x(k)伙=0,1,N—1)Unknown
设离散系统状态差分方程
x{k+1)=x(k)+u(k),a(0)=xQ
J=±
[u\k)+x\k)]
k=0
试用离散动态规划求最优控制/伙),最优轨线疋⑹和最优性能指标八
10-39在水管道建设中,基于水压的分部和布局方面的考虑,一组可能的管线图如下图所示•图中节点A、
B、CM的实际位置已由设计者确定,节点之间链线上的箭头指示管道中水流方向,各链线上的数学
表达该条链线的建设成本•试确定从A至M建设费用最低的管线走向.
10-40一位公务员乘坐出租车要从机场赶到会场参加重要会议,已知交通网络图如下图所示•图上数字为每条支路的驾驶时间,全部支路全是单行线.试利用动态规划找出到达会场的最短时间路线.
试求作为X解析函数的最小代价函数J(x,k)和最优决策u\x,k).其中20,1,2.
10-43给定下列一阶离散系统
伙+1)=兀伙)+【心),・口0)=1
J=工叶伙)+,(《)]
Jl=O
试求最优控制序列u\k),20,1,2,3和最小性能指标八.
10-44设一阶离散系统
x(k+1)=x(^)+0.1[.v2伙)+u(k)],a(0)=3
求使性能指标
J=工卜伙)-3"
伙)|
A=O
为极小的最优控制/(0)、/⑴和最优轨线讥0)、“⑴.
10-45设一阶非线性系统为
A(/)=-X3(/)+u(t),X(0)=A'
八扛(/+"
询
若设
1,1,1,丿+%•+—d+—如兀+—"
42
012!
■3!
4!
其中©
昇•=0,1,2,3,4,待定.试用连续动态规划求最优控制«
•(/).
10-46设系统状态方程
“(/)=A-2(/),“(0)=“°
“2⑴=,七(0)=X2q
八扛(4卅+“讪
试分别利用连续动态规划和调节器方法确定最优控制“*(『)•
10-47对于线性时变系统
W)=,x(/0)=x0
和有限时间性能指标
丿=*/(//)P(tf)x(fz)+|f[xT(/)2(/)x(/)+“7⑴尺⑴“U)M
试用连续动态的方法证明:
最优控制
F(N)>
0;
0伙)>
0;
0和黎卡提方程
-K(/)=K(t)A(t)+A/(/)K(/)-K⑴BQ)Ri(t)Bf(/)K(r)+Q(t),KQ"
=P
是成立的.
其中,x(t)eRH;
u(t)eRp不受约束呦)自由,y有限;
对于te[tQ9,2(0,W)»
均连续、有
界;
尸n0,尸=;
Q(f)>
OyQ=Qr;
Rg>
0、R=R「.K(t)为非负定矩阵.
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- 下列 性能 达到 极值 必要条件