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1.三角形:
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫三角形。
三角形的特征:
①不在同一直线上;
②三条线段;
③首尾顺次相接;
④三角形具有稳定性。
2.三角形中的三条重要线段:
角平分线、中线、高
(1)角平分线:
三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
(2)中线:
在三角形中,连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。
(3)高:
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
说明:
①三角形的角平分线、中线、高都是线段;
②三角形的角平分线、中线都在三角形内部且都交于一点;
三角形的高可能在三角形的内部(锐角三角形)、外部(钝角三角形),也可能在边上(直角三角形),它们(或延长线)相交于一点。
二、等腰三角形的性质和判定
(1)性质
1.等腰三角形的两个底角相等(简写成"
等边对等角"
)。
2.等腰三角形的顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高重合(简写成"
等腰三角形的三线合一"
3.等腰三角形的两底角的平分线相等(两条腰上的中线相等,两条腰上的高相等)。
4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明)。
7.等腰三角形是轴对称图形,只有一条对称轴,顶角平分线所在的直线是它的对称轴,等边三角形有三条对称轴。
(2)判定
在同一三角形中,有两条边相等的三角形是等腰三角形(定义)。
在同一三角形中,有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称:
等角对等边)。
三、直角三角形和勾股定理
有一个角是直角的三角形是直角三角形,在直角三角形中,斜边中线等于斜边的一半;
30度所对的直角边等于斜边的一半;
直角三角形常用面积法求斜边上的高。
勾股定理:
直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方,即a2+b2=c2。
勾股数一定是正整数,常见勾股数:
3,4,5;
5,12,13;
6,8,10,;
7,24,25;
8,15,17;
9,12,15。
方法总结:
当不明确直角三角形的斜边长,应把已知最长边分为直角边和斜边两种情况讨论。
无理数在数轴上的表示和线段长表示通常用到勾股定理。
翻折题型常用勾股定理(口诀:
翻折求边找直角,勾股定理设未知量)
如果三角形的三边长a,b,c有关系a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。
勾股定理的逆定理,常用于判断三角形的形状,先确定最大边(可以设为c)。
四、初中三角形中线定理
中线定理又称阿波罗尼奥斯定理,是欧氏几何的定理,表述三角形三边和中线长度关系。
定理内容:
三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的2倍。
中线的定义:
任何三角形都有三条中线,而且这三条中线都在三角形的内部,并交于一点。
由定义可知,三角形的中线是一条线段。
由于三角形有三条边,所以一个三角形有三条中线。
且三条中线交于一点。
这点称为三角形的重心。
每条三角形中线分得的两个三角形面积相等。
五、直角三角形的判定
判定1:
有一个角为90°
的三角形是直角三角形。
判定2:
若a的平方+b的平方=c的平方,则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形(勾股定理的逆定理)。
判定3:
若一个三角形30°
内角所对的边是某一边的一半,那么这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。
判定4:
两个锐角互余的三角形是直角三角形。
判定5:
证明直角三角形全等时可以利用HL,两个三角形的斜边长对应相等,以及一个直角边对应相等,则两直角三角形全等。
[定理:
斜边和一条直角对应相等的两个直角三角形全等。
简称为HL]
判定6:
若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数,则这两直线垂直。
判定7:
在一个三角形中若它一边上的中线等于这条中线所在边的一半,那么这个三角形为直角三角形。
六、勾股定理的逆定理
如果三角形三边长a,b,c满足,那么这个三角形是直角三角形,其中c为斜边。
①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和与较长边的平方作比较,若它们相等时,以a,b,c为三边的三角形是直角三角形;
若时,以a,b,c为三边的三角形是钝角三角形;
若时,以a,b,c为三边的三角形是锐角三角形;
②定理中a,b,c及只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长a,b,c满足,那么以a,b,c为三边的三角形是直角三角形,但是b为斜边.
③勾股定理的逆定理在用问题描述时,不能说成:
当斜边的平方等于两条直角边的平方和时,这个三角形是直角三角形。
七、三角形定理公式
三角形的三边关系定理及推论:
三角形的两边之和大于第三边,两边之差小于第三边。
三角形的内角和定理:
三角形的三个内角的和等于180度。
三角形的外角和定理:
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个的和。
三角形的外角和定理推理:
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
三角形的三条角平分线交于一点(内心)。
三角形的三边的垂直平分线交于一点(外心)。
三角形中位线定理:
三角形两边中点的连线平行于第三边,并且等于第三边的一半。
数与形的知识点六年级第2篇
数与形的知识点六年级第3篇
☆内容提要☆
一、本章的两套定理
第一套(比例的有关*质):
涉及概念:
①第四比例项②比例中项③比的前项、后项,比的内项、外项④黄金分割等。
第二套:
注意:
①定理中“对应”二字的含义;
②平行相似(比例线段)平行。
二、相似三角形*质
1.对应线段…;
2.对应周长…;
3.对应面积…。
三、相关作图
①作第四比例项;
②作比例中项。
四、*(解)题规律、辅助线
1.“等积”变“比例”,“比例”找“相似”。
2.找相似找不到,找中间比。
方法:
将等式左右两边的比表示出来。
3.添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。
4.对比例问题,常用处理方法是将“一份”看着k;
对于等比问题,常用处理办法是设“公比”为k。
5.对于复杂的几何图形,采用将部分需要的图形(或基本图形)“抽”出来的办法处理。
数与形的知识点六年级第4篇
研讨素材二
一、教学目标
1、体会数与形的联系,进一步积累数形结合解决问题的活动经验,培养数形结合的数学思想意识。
2、体验数形结合的数学思想方法价值,激发学生用数学思想方法解决问题的兴趣,感受数学的魅力。
二、重点难点
教学重点:
积累数学活动经验,体验数学思想方法的价值,激发兴趣
教学难点:
解决问题过程中,体会数与形的联系,感悟数形结合的数学思想方法及价值
三、教学过程
激趣导入,明确目标。
师生竞赛,激发兴趣。
教师展示自己的数学本领:
学生出题,教师快速计算“从1开始的连续奇数相加的和”,比如1+3,1+3+5,1+3+5+7。
2、设疑导入,揭示课题。
教师提示:
神奇的计算方法,是借助图形发现的。
板书课题:
数与形
探究新知,达成目标。
1、教师示范,提出探究要求。
第一步,根据算式中的,拿出若干个图形。
把这些数量的图形,拼成一个大正方形。
第二步,观察图形和算式之间的关系。
看哪个小组最先发现简便的方法。
2、小组合作,探究数形规律。
小组借助小黑板和小正方形,按照活动要求,拼摆,观察,探究规律。
小正方形的个数就是1+3的和,也是2
1是一个小正方形,3是横折形的。
排成的大正方形,每行每列都是2,也就是22。
算式的结果等于加数个数的平方。
汇报交流,完善规律,感悟以形助数。
小组代表上台汇报,其他小组及同学补充,总结规律:
只要是从1开始的连续奇数相加,有几个加数,就能排成每行每列是几的大正方形,和也就是几的平方。
感悟数形结合:
这种简便方法,是借助图形发现的。
借助图形思考数学问题,可以让问题变得简单。
运用规律,解决问题。
1+3+5+7=()2
1+3+5+7+9+11+13=()2
=92
1+3+5+7+5+3+1=()
1+3+5+7+9+11+13+11+9+7+5+3+1=()
变式练习,检测目标。
以数解形,完成“做一做”第2题。
①观察图形,找出答案:
下面每个图形中,各有几个红色和蓝色的小正方形?
②观察和思考,发现规律:
上边的图形和数之间有什么规律?
③运用规律,解决问题:
照这样下去,第6幅图和第10幅图分别有多少个红色和蓝色的小正方形?
④数形结合,建立模型:
蓝色个数=红色个数X2+6
2、数形结合,完成练习第2题,认识三角形数和正方形数。
①观察思考,发现规律:
上边的图和下边的数之间有什么规律?
②运用规律,依次类推:
画出第5、6、7幅图,并写出下面的数。
③解决问题:
不画图,算出第10幅图下面的数。
3、数形结合:
认识三角形数和正方形数,感悟数形结合的方法价值。
回顾总结,升华目标。
1、回顾身边的“数与形”,说说自己的收获。
学生回顾小数数学中的数形结合,说说自己在本节课的收获。
2、了解大师眼中的“数与形”,谈谈自己的感受。
。
出示华罗庚先生对数形结合的感悟:
“数形结合百般好,隔离分家成事非”,学生说说自己的学习感受。
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- 关 键 词:
- 知识点 六年级