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全等三角形:
两个能够完全重合的三角形叫做全等三角形,两个全等三角形重合时,互相重合的边叫做对应边,互相重合的顶点叫做对应顶点,互相重合的角叫做对应角.
(2)全等三角形的性质:
全等三角形的对应边相等,对应角相等.
5、全等三角形的判定条件
(1)一般三角形全等的判别方法有四种方法:
①边角边(SAS);
②角边角(ASA);
③角角边(AAS);
④边边边(SSS).
(2)直角三角形的全等的条件:
:
除了使用SAS、ASA、AAS、SSS判别方法外,还有斜边、直角边(HL)判别方法.
6.判别两个三角形全等
1.已知两边
2.已知一边一角
3.已知两角
例 如图2,在△ABC与△DEF中,给出以下六个条件:
①AB=DE;
②BC=EF;
③AC=DF;
④∠A=∠D;
⑤∠B=∠E;
⑥∠C=∠F,以其中三个条件作为已知,不能判断△ABC与△DEF全等的是().
A.①⑤②B.①②③
C.④⑥①D.②③④
二、应注意的问题
1.①三角形的角平分线不同于一个角的平分线,前者是一条线段,后者是一条射线.三角形的高线是线段,而线段的垂线是直线;
②锐角三角形的三夺高线都在三角形的内部,直角三角形中,有两条高线恰好是它的两条边,钝角三角形的三条高线中,有两条高线在三角形的外部,它们的垂足落在边的延长线上
③三角形的三条角平分线交于一点,三条中线交于一点,三角形的三条高所在的直线交于一点.
2、注意:
不能把“边边角”和“角角角”作为判定两个三角形全等的依据.
3.书写全等三角形时一般把对应顶点的字母放在对应的位置.
4、注意:
①在作三角形等几何作图中,作图痕迹务必保留,不能将作图痕迹抹掉
②在作符合某些条件的三角形时,它的作法可能不惟一,只要作法合理,都是正确的.
四、考点例析
考点一:
三角形三边关系
三角形任意两边之和大于第三边,三角形任意两边之差小于第三边.
例1在△ABC中,AB=9,BC=2,并且AC的长为奇数,那么△ABC的周长是多少?
练习1:
(1)(2005年昆明市中考题)以下列各组线段长为边,能构成三角形的是().
A.4cm,5cm,6cmB.2cm,3cm,5cm
C.4cm,4cm,9cmD.12cm,5cm,6cm
(2)有长分别为1cm、2cm、3cm、4cm、5cm的线段,则以其中三条线段为边可构成_____个三角形.
考点二:
三角形的内角和
三角形三个内角的和等于
,直角三角形的两个锐角互余.
例2(2004年陕西中考题)如图,在锐角△ABC中,CD、BE分别是AB、AC边上的高,且CD、BE交于一点P,若∠A=
,则∠BPC的度数是().
A.
B.
C.
D.
练习2:
(1)(2005年黑龙江中考题)已知BD、CE是△ABC的高,直线BD、CE相交所成的角中有一个角为
,则∠BAC等于_______.
(2)
一块模板如图所示,按规定AB、CD的延长线相交成
角,因交点不在模板上,不便测量,所以工人师傅连结AC,测得∠BAC=
,∠DCA=
,这时就可以知道,AB、CD的延长线相交所成的角不符合规定.请说明理由.
考点三三角形中的三条重要线段
在三角形中,一个内角的角平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
在三角形中,连接一个顶点与它的对边中点的线段,叫做这个三角形的中线.
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线,简称三角形的高.
例3如图,在△ABC中,分别画出它的中线AD和高AE,并回答下列问题:
(1)AE还是哪些三角形的高?
(2)△ABD与△ACD的面积有什么关系?
为什么?
练习3:
(1)三角形一边上的高
().
A.必在三角形内部 B.必在三角形外部
C.必在三角形的边上 D.以上三种情况都有可能
(2)如图5,AE是△ABC的角平分线,则∠_______=∠_______=
∠_______;
AD是△ABC的中线,则______=______=
BC.
(3)三角形的三条角平分线的交点和三条中线的交点,一定在三角形的().
A.内部B.外部C.边上D.不确定
考点五全等三角形的特征及三角形全等的条件
全等三角形的性质:
对应边相等,对应角相等.
三边对应相等的两个三角形全等,简写为“边边边”或“SSS”.
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等,简写成“角边角”或“ASA”.
两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等,简写成“角角边”或“AAS”.
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,简写成“边角边”或“SAS”.
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等,简写成“斜边、直角边”或“HL”.
例5如图,如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的方法是().
A.带①去B.带②去C.带③去D.带①②去
练习5:
(1)(2005年临沂市中考题)如图,将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起,使AA′、BB′可以绕着点O自由转动,就做成了一个测量工件,则A′B′的长就等于内槽宽AB的长,那么△AOB≌△OA′B′的理由是().
A.边角边B.角边角C.边边边D.角角边
(2)(2004年潍坊市中考题)如图,已知△ABC的六个元素,则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是()
A.甲和乙B.乙和丙C.只有乙D.只有丙
(3)如图,∠1=∠2,BC=EF,那么需要补充一个条件________(写出一个即可),才能使△ABC≌△DEF.
考点七:
全等三角形的应用
例7.公园里有一条“Z”字型道路ABCD,如图11,其中AB∥CD,在AB、BC、CD三段路旁各有一只石凳E、M、F,M恰为BC的中点,且E、F、M在同一直线上,在BE道路中停放着一排小汽车,从而无法直接测量B、E之间的距离,你能想出解决的方法吗?
请说明其中的道理.
练习7:
(2004年福州中考题)三月三,放风筝,如图12,是小明制作的风筝,他根据DE=DF,EH=FH,不用度量,就知道∠DEH=∠DFH,请你用所学的知识给予说明.
三角形练习题
一、选择题
1.一个钝角三角形的三条角平分线所在的直线一定交于一点,这交点一定在( )
A.三角形内部B.三角形的一边上C.三角形外部D.三角形的某个顶点上
2.下列长度的各组线段中,能组成三角形的是( )
A.4、5、6B.6、8、15C.5、7、12D.3、9、13
3.在锐角三角形中,最大角α的取值范围是( )
A.0°
<α<90°
B.60°
C.60°
<α<180°
D.60°
≤α<90°
4.下列判断正确的是( )
A.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
B.有两边对应相等,且有一角为30°
的两个等腰三角形全等
C.有一角和一条边对应相等的两个直角三角形全等
D.有两角和一边对应相等的两个三角形全等
5.等腰三角形的周长为24cm,腰长为xcm,则x的取值范围是( )
A.x<6B.6<x<12C.0<x<12D.x>12
6.已知△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C满足关系式∠B+∠C=3∠A.则此三角形( )
A.一定有一个内角为45°
B.一定有一个内角为60°
C.一定是直角三角形D.一定是钝角三角形
7.三角形内有一点,它到三边的距离相等,则这点是该三角形的( )
A.三条中线交点B.三条角平分线交点
C.三条高线交点D.三条高线所在直线交点
8.已知等腰三角形的一个角为75°
,则其顶角为( )
A.30°
B.75°
C.105°
D.30°
或75°
9.如图5—124,直线
、
表示三条相互交叉的公路,现计划建一个加油站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有( )
A.一处B.二处C.三处D.四处
10.三条线段长度分别为3、4、6,则以此三条线段为边所构成的三角形按角分类是( )
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.根本无法确定
11.在△ABC和△A’B’C’中,AB=A’B’,∠B=∠B’,补充条件后仍不一定能保证△ABC≌△A’B’C’,则补充的这个条件是
A.BC=B’C’B.∠A=∠A’C.AC=A’C’D.∠C=∠C’
12.下列说法正确的是
A.有两边和一个角相等的两个三角形全等
B.两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
C.三角形的一条中线把三角形分成的两个小三角形全等
D.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
13.下列说法错误的是
A.有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
B.全等三角形对应的角平分线相等
C.斜边和一个锐角分别相等的两个直角三角形全等
D.在△ABC和△A’B’C’中,若AB=BC=CA,A’B’=B’C’=C’A’,则△ABC≌△A’B’C’
14.在下列各组的条件中,不能判定△ABC和△DEF全等的是
A.AB=DE,∠B=∠E,∠C=∠FB.AC=DF,BC=DE,∠C=∠D
C.AB=EF,∠A=∠E,∠B=∠FD.∠A=∠F,∠B=∠E,AC=DE
15.根据下列各组的条件,能判定△ABC≌△A’B’C’的是
A.AB=A’B’,BC=B’C’,∠A=∠A’B.∠A=∠A’,∠C=∠C’,AC=A’C’
C.AB=A’B’,S△ABC=S△A’B’C’D.∠A=∠A’,∠B=∠B’,∠C=∠C’
16.△ABC中,AC=5,中线AD=7,则AB边的取值范围是
A.1<
AB<
29B.4<
24C.5<
19D.9<
19
18.下列条件中不能作出惟一直角三角形的是
A.已知两个锐角B.已知一条直角边和一个锐角C.已知两条直角边D.已知一条直角边和斜边
二、填空题
1.如果△ABC中,两边a=7cm,b=3cm,则c的取值范围是_________;
第三边为奇数的所有可能值为_________;
周长为偶数的所有可能值为_________.
2.四条线段的长分别是5cm,6cm,8cm,13cm,以其中任意三条线段为边可以构成______个三角形.
3.过△ABC的顶点C作边AB的垂线将∠ACB分为20°
和40°
的两个角,那么∠A,∠B中较大的角的度数是____________.
4.在Rt△ABC中,锐角∠A的平分线与锐角∠B的平分线相交于点D,则∠ADB=______.
5.如图5—125,∠A=∠D,AC=DF,那么需要补充一个直接条件________(写出一个即可),才能使△ABC≌△DEF.
6.三角形的一边上有一点,它到三个顶点的距离相等,则这个三角形是_______三角形.
7.△ABC中,AB=5,BC=3,则中线BD的取值范围是_________.
8.如图5—126,△ABC中,∠C=90°
,CD⊥AB,CM平分AB,CE平分∠DCM,则∠ACE的度数是______.
9.已知:
如图5—127,△ABC中,BO,CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线,过O点的直线分别交AB、AC于点D、E,且DE∥BC.若AB=6cm,AC=8cm,则△ADE的周长为______.
10.每一个多边形都可以按图5—128的方法割成若干个三角形.而每一个三角形的三个内角的和是180°
.按图5—127的方法,十二边形的内角和是__________度.
三、解答题
1、如图,已知:
AD是BC上的中线,且DF=DE.求证:
BE∥CF.
2、已知:
点A、F、E、C在同一条直线上,AF=CE,BE∥DF,BE=DF.求证:
△ABE≌△CDF.
3、已知:
如图,AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,E,F是垂足,
.求证:
.
4、如图:
AE、BC交于点M,F点在AM上,BE∥CF,BE=CF。
求证:
AM是△ABC的中线。
5、如图:
在△ABC中,BA=BC,D是AC的中点。
BD⊥AC。
6、AB=AC,DB=DC,F是AD的延长线上的一点。
BF=CF
7、如图:
AB=CD,AE=DF,CE=FB。
AF=DE。
8、如图,OM平分∠POQ,MA⊥OP,MB⊥OQ,A、B为垂足,AB交OM于点N.
∠OAB=∠OBA
9、如图有两个长度相同的滑梯,左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等,两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DEF的大小有什么关系?
10、如图,AB=12,CA⊥AB于A,DB⊥AB于B,且AC=4m,P点从B向A运动,每分钟走1m,Q点从B向D运动,每分钟走2m,P、Q两点同时出发,运动几分钟后△CAP≌△PQB?
试说明理由.
11、如图①,E、F分别为线段AC上的两个动点,且DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,若AB=CD,AF=CE,BD交AC于点M.
(1)求证:
MB=MD,ME=MF
(2)当E、F两点移动到如图②的位置时,其余条件不变,上述结论能否成立?
若成立请给予证明;
若不成立请说明理由.
五、提高题
1,已知:
如图5—129,△ABC的∠B、∠C的平分线相交于点D,过D作MN∥BC交AB、AC分别于点M、N,求证:
BM+CN=MN
2.已知:
如图5—130,在△ABC中,∠ACB=90°
,CD为高,CE平分∠BCD,且∠ACD:
∠BCD=1:
2,那么CE是AB边上的中线对吗?
说明理由.
3.已知:
如图5—131,在△ABC中有D、E两点,求证:
BD+DE+EC<AB+AC.
4.已知:
如图5—132,点C在线段AB上,以AC和BC为边在AB的同侧作正三角形△ACM和△BCN,连结AN、BM,分别交CM、CN于点P、Q.求证:
PQ∥AB.
5如图,已知:
等腰Rt△OAB中,∠AOB=900,等腰Rt△EOF中,∠EOF=900,连结AE、BF.求证:
(1)AE=BF;
(2)AE⊥BF.
6.如图
(1),已知△ABC中,∠BAC=900,AB=AC,AE是过A的一条直线,且B、C在A、E的异侧,BD⊥AE于D,CE⊥AE于E.
(图1)(图2)(图3)
(1)试说明:
BD=DE+CE.
(2)若直线AE绕A点旋转到图
(2)位置时(BD<
CE),其余条件不变,问BD与DE、CE的关系如何?
不需说明.
(3)若直线AE绕A点旋转到图(3)位置时(BD>
请直接写出结果,不需说明.
7.如图,O为□ABCD的对角线AC的中点,过点O作一条直线分别与AB、CD交于点M、N,点E、F在直线MN上,且OE=OF.
(1)图中共有几对全等三角形?
请把它们都写出来;
(2)求证:
∠MAE=∠NCF.
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