函数项级数的一致收敛性与其应用Word文件下载.docx

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8

3.3.2

狄利克雷判别法,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

3.4

类似数项级数判别法的函数项级数一致收敛判别法,,,,,,,,,,,,,,

10

3.4.1

比式判别法,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

3.4.2

根式判别法,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

11

3.4.3

对数判别法,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

12

3.5

Dini判别法,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

13

4幂级数的应用,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

14

4.1

幂级数的定义,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

4.2

幂级数的应用,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

4.2.1

幂级数在近似计算中的应用,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

4.2.2

幂级数在计算积分中的应用,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

15

4.2.3

幂级数在求极限中的应用,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

4.2.4

幂级数在数列求和中的应用,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

16

4.2.5

幂级数在欧拉公式推导中的应用,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

4.2.6

幂级数在求导中的应用,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

17

4.2.7

幂级数在概率组合中的应用,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

4.2.8

幂级数在证明不等式中的应用,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

18

4.2.9

用幂级数形式表示某些非初等函数,,,,,,,,,,,,,,,,,,

5总结,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

19

致谢,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

20

参考文献,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

21

1引言

随着科学技术的发展，人们对自然界的认识逐步深化，发现许多自然现象和工程技术运用初等

函数已经满足不了人们的需要，因此要求人们去构造新的函数.自19世纪柯西给出了无穷级数的定

义后，随着人们对其深入研究，无穷级数的理论得到了飞速的发展.有了无穷级数，函数项级数应

运而生.首先函数项级数为函数的构造开辟了一个新天地，例如，1872年魏尔斯特拉斯利用函数项

级数给出了一个处处连续但处处不可导的函数的例子.其次，函数项级数理论提供了研究函数的一

个基本方法，特别是利用级数的理论进行函数的Taylor展开和Fourier展开.实际上，函数项级数

的一致收敛性理论对近代各种函数逼近理论以及无穷维空间中元素按基底的展开理论都产生了重

大的影响（朱正佑,2001）[1].函数项级数在数学科学本身及工程技术领域里有广泛的应用,函数项级

数的一致收敛性在应用中起着至关重要的作用,因此研究函数项级数的一致收敛性及其判定就成了

应用中重要的环节.本文介绍函数项级数的一致收敛的相关概念、对函数项级数一致收敛性的判定

方法进行梳理、归纳，并举例说明，并且以一类最简单的函数项级数——幂级数为例，对其在计算

方面的应用进行举例说明.

2函数项级数的相关概念介绍

2.1函数列及其一致收敛性

定义1设

f1,f2,，fn,

是一列定义在同一数集E上的函数，称为定义在E上的函数列，也可简单的写作：

{fn}或fn，n1,2,.

设x0E，以x0代入{fn}可得数列

f1（x0）,f2（x0）,，fn（x0）,

若数列{fn（x0）}收敛，则称函数列{fn}在点x0收敛，x0称为函数列{fn}的收敛点.若数列

{fn（x0）}发散，则称函数列{fn}在点x0发散.若函数列{fn}在数集DE上每一点都收敛，则

称{fn}在数集D上收敛.这时D上每一点x

，都有数列{fn（x）}的一个极限值与之相对应，由这

个对应法则所确定的

D上的函数，称为函数列

{fn}的极限函数.若极限函数记作

f，则有

lim

fn（x）

f（x），xD

n

或

fn（x）

f（x）（n

），x

D.

使函数列{fn}收敛的全体收敛点集合，称为函数列

{fn}的收敛域.

定义2设函数列{fn}与函数f定义在同一数集

D上，若对任给的正数

，总存在某一正整

数N，使得当n

N时，对一切x

D，都有

f（x）

，

则称函数列{fn}在D上一致收敛于f，记作

fn（x）f（x）

（n

）,

xD.

注：

本文用“

”表示一致收敛.

由定义看到，如果函数列{fn}在D上一致收敛，那么对于所给的

，不管D上哪一点x，总

存在公共的N（）（即N的选取仅与

有关，与x的取值无关），只要n

N，都有

fn（x）f（x）.

由此可以看到函数列{fn}在D上一致收敛，必在D上每一点都收敛.反之，在D上每一点都

收敛的函数列{fn}，在D上不一定一致收敛.

2.2函数项级数及其一致收敛性

定义3设{un（x）}是定义在数集E上的一个函数列，

表达式

u1（x）+u2（x）+,

+un（x）+,

，xE

（）

称为定义在E上的函数项级数，简记为

n1

un（x）或

un（x）。

称

Sn（x）

uk（x），x

E，n1,2,

k

为函数项级数的部分和函数列。

若x0

E，数项级数

u1（x0）

u2（x0）

un（x0）

（2）

收敛，即部分和Sn（x0）

uk（x0）当n

时极限存在，则称级数（

1）在点x0收敛，x0称为

k1

级数

（1）的收敛点．若级数（

2）发散，则称级数（

1）在点x0发散.若级数

（1）在E的某个子集

D上每点都收敛，则称级数（

1）在D上收敛．若D为级数

（1）全体收敛点的集合，这时则称D

为级数

（1）的收敛域．级数（

1）在D上每一点x与其所对应的数项级数（

2）的和S（x）构成一

个定义在D上的函数，称为级数

（1）的和函数，并写作

u1（x）u2（x）un（x）S（x），xD,

即

limSn（x）S（x），xD．

也就是说，函数项级数

（1）的收敛性就是指它的部分和函数列的收敛性．

定义4设{Sn（x）}是函数项级数un（x）的部分和函数列．若{Sn（x）}在数集D上一致收

敛于函数S（x）,则称函数项级数un（x）在D上一致收敛于函数S（x），或称un（x）在D上一

致收敛（华东师范大学数学系，2001）[2].

一致收敛函数项级数的性质

定理

（连续性）若函数项级数

un（x）在区间a,b上一致收敛，且每一项都连续，则其

和函数在

a,b上也连续.

它指出：

（无限项）求和运算与求极限运算可以交换顺序，即

（limun（x））

lim（

un（x））.

xx0

定理2（

逐项求积）若函数项级数

un（x）在a,b上一致收敛，且每一项

un（x）都连续，则

b

xdx

x

dx.

u

n（

a

n（）

）

此定理指出，函数项级数在一致收敛的情况下，求和运算与求积分运算可以交换顺序.

定理3（逐项求导）若函数项级数

un（x）在a,b上每一项都有连续的导函数，

x[a,b]为

un（x）的收敛点，且

un（x）在a,b上一致收敛，则

（d

un

（

））

d（

（））.

dx

unx

此定理指出，函数项级数在一致收敛的情况下，求和运算与微分运算可以交换顺序（陶桂秀，

2005）[3].

3函数项级数的一致收敛性判别法

3.1一般方法

判别函数项级数一致收敛既是数学分析中的一个重点,又是一个难点.一般的情况下,证明一致

收敛会利用一致收敛的定义，即定义4来证明.

定义4的条件太强，函数项级数固定一点xD,un（x）实际上是一个特殊数列.受此启发,

利用数列的性质得到以下定理：

定理4（一致收敛的柯西准则）函数项级数un（x）在数集D上一致收敛的充要条件为：

对任给的正数，总存在某正整数N，使得当nN时，对一切xD和一切正整数p，都有

Snp（x）Sn（x）

或un1（x）un2（x）unp（x）.

此定理中当p1时，得到函数项级数一致收敛的必要条件.

推论函数项级数un（x）在数集D上一致收敛的必要条件为：

函数列un（x）在D上一致

收敛于零.

设函数项级数在D上的和函数为S（x），称

rn（x）

S（x）

Sn（x）

为函数项级数

un（x）的余项.

定理5

函数项级数

un（x）在数集D上一致收敛于

S（x）的充要条件是：

limsuprn

（x）

limsupS（x）

0.

xD

证明

必要性因为

un（x）在区间D上一致收敛,

所以

0，N

0，使得当nN

时，对一切x

D,都有Sn（x）

，即rn（x

，所以suprn（x）

，所以

limsuprn（x）0.

充分性

设

un（x）在D上不一致收敛,即

N

0,n0N,

x0

D，使得

Sn0（x0）

S（x0）

0，即suprn0（x）

0，所以limsuprn（x）

0.与已知矛盾（李岚，2003）[4].

例1

若fn（x）在a,b上可积，n

1,2,

且f（x）

与g（x）在a,b上都可积，

f（x）dx

0，设h（x）

f（t）g（t）dt，hn（x）

fn（t）g（t）dt，则在

a,b上

hn（x）一致收敛于h（x）.

h（x）hn（x）

f（t）g（t）dt

fn（t）g（t）dt

（f（t）

fn（t））g（t）dt

f（t）

fn（t）g（t）dt

fn（t）dt）2（

g（t）dt）2

dt）2（

0（

），

fn（t）

g（t）

dt）

所以利用定理

1,当n

时，

hn（x）一致收敛于h（x）.

例2

设un（x）

0，在a,b上连续，n1,2,

，又

un（x）在a,b收敛于连续函数

f（x），

则un（x）在a,b一致收敛于f（x）.

已知rn（x）

f（x）

Sn（x）（其中Sn

uk（x））是单调递减且趋于

0，所以

N，

a,b

有rn（x）

0，且

a,b，

N（x0,

0,

）时，有

rn（x0）

.将n固定，令n

N0

N（x0,），因为rn（x）

f

（x）

Sn（x）在a,b上连续,既然

rn（x）

，所以

0，当x（x0

0,x0

0）时rn（x）

.从而n

N0时更有rn（x）

仅当x

（x0

0）.

如上所述,对每个点x

a,b，可找到相应的邻域

（x

x

）及相应的N

使得

时，对x

（x

）恒有rn（x）

.

如此（x

）:

x

a,b构成a,b的一个开覆盖,从而必存在有限子覆盖

.不妨记

为（x1

1,x1

1）,

（xr

r,xr

r），于是

，总

i

1,2,,r，使得当

（xi

i,xi

i）时，取N

maxN1,N2,

Nr

，那么当n

N时，恒有rn（x）

由定理2得，

un（x）在a,b一致收敛于f（x）.

6

3.2魏尔斯特拉斯判别法

判别函数项级数的一致收敛性除了定义及定理4外，有些级数还可以根据级数各项的特性来判

别.

定理6（魏尔斯特拉斯判别法）设函数项级数un（x）定义在数集D上，Mn为收敛的正

项级数，若对一切xD，有

un（x）

Mn，n

（3）

则函数项级数

un（x）在D上一致收敛.

证明由假设正项级数

Mn收敛，根据数项级数的柯西准则，任给正数

，存在某正整数

N，使得当n

N及任何正整数

p，有

Mn1

Mnp

Mnp.

又由（3）式对一切xD有

un1（x）unp（x）un1（x）unp（x）