数值计算问题详解石瑞民Word文档下载推荐.docx

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X1有四位有效数字

04

11024

1102，相对误差:

丄103

6

5000m=4

绝对误差限:

Xx4

相对误差:

144

，X1有四位有效数字

丄

100

0.5，

九103102

4、计算J0的近似值，使其相对误差不超过

设取n位有效数字，由定理1.1知，r

由..10100.3162…，所以，a13

由题意，应使110n10.1%，即1010n

0.1%

610

所以，n=4,

即10的近似值取4位有效数字

近似值x3.162

6、在机器数系下F（10,8,L,U）中取三个数x0.23371258104,y0.33678429102,z0.33677811102，试按（xy）z禾口x（yz）两种算法计算xyz的值，并将结果与精确结果比较。

（xy）

z

（0.23371258

42

1040.33678429102）

0.33677811102

r（0.000000233712581020.33678429

102）

0.33677811

0.336784523712581020.33677811

102

0.33678452

22

100.3367781110

0.00000641

3

100.6410000010

（yz）

0.23371258

104

（0.336784291020.33677811

0.61800000000103

0.023371258

103

0.641371258

0.64137126

yz

0.336784291020.33677811

0.00000023371258

1020.336784291020.33677811102

0.00000641371258

x

所以，x（yz）比（xy）z精确，且x（yz）与xyz相同；

因此，在做三个以上的数相加时，需要考虑相加的两个同号数的阶数尽量接近。

8、对于有效数为3.105,X20.001,X30.100，估计下列算式的相

e「（XiX2X3）e「（XiX2）e「（X3）5（X2）0（X3）

r（yi）0.49975i0,r（y2）0.505i6,「（丫3）

9、试改变下列表达式，使其结果比较精确（其中Xi表示X充分

接近0，x

i表示x充分大）

（i）ln

X-i

lnx2

，

xix2

（2）彳

i

1X

X

[

r

（3）\

X1

xV

（4）i

cosx

0且:

显然，In>

0,n=1,2.

当n>

2时，由分部积分可得：

InQxnex1dx1nln1,n=2,3,…

114

另外，还有：

Inxnex1dxxndx一

00n1

由递推关系In=1-nln-1，可得计算积分序列｛In｝的两种算法:

1In1nIn1n=2,3…

1I

2In1―nn2,3,...,

n

下面比较两种算法的稳定性

①若已知In1的一个近似值"

1，则实际算得的In的近似值为

In1nIn1

所以，InIn（n）（丨n1In1）

~

In

In

In1

由此可以看出In1的误差放大n倍传到了In，误差传播速度逐步放大

②由In计算In1In1—1nN,N1,1

习题二

令f（x）x32x24x7

f（3）100，f（4090，说明在［3，4］内有根，

利用二分法计算步骤

得出x103.632324219，x113.6321835938

b11a11x11x100.4882181103丄103满足精度要求

所以，x*&

3.6321，共用二分法迭代11次。

2、证明1xsinx0在［0,1］内有一个根，使用二分法求误差不大于-104的根。

证明：

令f（x）1xsinx

f（0）10;

f

（1）sin10，

所以，f（0）f

（1）0

由零点定理知，f（x）在［0,1］内有一根

根据计算得出：

X*X150.98283，此时共迭代15次

4、将一元非线性方程2cosxex0写成收敛的迭代公式，并求其在

Xo0.5附近的根，精确到102。

令f（x）2cosxex

令f（x）=0，得到两种迭代格式

1arccos—

In（2cosx）

2sinx

tanx

2cosx

2（0.5）0.0087271,满足收敛定理

由方程写出收敛的迭代公式为Xk1ln（2cosxQ

取初值为X。

0.5，得出近似根为：

x*X20.69307417

5、为方程x3x210在X01.5附近的一个根，设方程改写为下列等

价形式，并建立相应的迭代公式：

（1）

X12，迭代公式Xk1

11；

12,

Xk

（2）

X3X21，迭代公式Xk1

1/3

（Xk1）

（3）

X，迭代公式Xk1

1/2

（1）利用局部收敛定理判断收敛性，判断初值X01.5附近的局部

收敛

（2）局部收敛

（3）不满足局部收敛条件

但由于1（X）.2（X）,所以i（x）比2（x）收敛的慢

取第二种迭代格式Xk1（Xk21）1/3

取初值X01.5，迭代9次得X*x91.466

f（x）-0.325

7、用牛顿法求解X33x10在初始值％2临近的一个正根，要求Xk1Xk103

令f（x）X

33X1

由牛顿迭代法知.xk1

f（Xk）

Xk—、

3Xk1

f（Xk）

3（Xk1）

迭代结果为：

k

1.8888

1.8794

1.8793

9

5

满足了精度要求，X*

X31.87939

8、用牛顿法解方程-C

0，导出计算

C的倒数而不用除法的一种

简单迭代公式，

用此公式求

0.324的倒数，设初始值

X。

3，要求计

算结果有5位有效数字。

迭代结果为:

3.08

3.0864

4

18

20

满足精度要求

xx33.0864

所以，0.324的倒数为

11、用快速弦截法求方程

x33x1

0在X0

2附近的实根，（取

捲=1.9，要求精度到103）

f（x）x33x1,

迭代结果：

1.

1.8810

1.879411

94

60

*

1.87939

4cosxex在x0

—附近的根，

要求有二位

12、分别用下列方式求方程

有效数字

（1）用牛顿法，取Xo-

（2）用弦截法，取XoXi

（3）用快速弦截法，取XoXi

求出的解分别为：

Xi0.905X20.905X30.905

习题三

1、用高斯消元法解下列方程组

2x1

3x3

4x1

2X2

5x3

X1

11x1

3x2

2x3

23x

111x：

2X3

2x22x3

（1）等价的三角形方程组为

2X25x34

0.5X31，回代求解为

721

84

（2）等价的三角形方程组为

57

23

11x2x30

47X3

19

Xi

2、将矩阵

L2

1，

223

U

回代求解为

41

193

106

作LU分解。

3、用LU紧凑格式分解法解方程组

8

山6/5

2/54/53

L

U

7/5

17/2

3/5

1/10

1/5

12

Y,X

3/10

2x22x3

4、用列主元的三角分解法求解

L方程组

3x1

X24X3

3x22x3

12

A31

23

10

72

L2/31

0,U

07/314/3

Y

14/3,X1

1/37/5

00

21/2

5、用追

赶

法

解三角

方

程组Axb,

其中

210

121

A012

b0

■

001

100

3/21

2/3

4/31

3/4

5/4

4/51

6/5

5/6

Y1/3，X

1/4

1/6

4x-|

2x24x310

6.用改进的Cholesky

分解法解方程组

17x210x33

10x29x37

L1/2

10，

U0

16

8，

Y

1/21

片

7、用改进的

cholesky

x4

-1

011/4

-3/4

25/4

50/11

-6/11

78/25

156/25

8、设x（1,2,3）t,求x2和x

IIX1x6

i1

X2,x214

¥

i1

xmaxx3

110

9、设A

54

-3,求|A1

LIIA2和a|

制1

8，IA

10，/

A

r2

J（AtAt）7.1417

11

10、设A

-3，x

，计算IIx，1All及||Ax||,并比较IAx||

和||x||?

A|

的大小。

HI

3，||A||

=10，|Ax||

=9

122x112

11、给定方程111X20

221x310

（1）写出Jacobi和Gauss-Seidel迭代格式；

（2）证明Jacobi迭代法收敛而Gauss-Seidel迭代法发散；

（3）给定x（0）（o,o,o）T，用迭代法求出该方程的解，精确到

（1）Jacobi

迭代公式

（k

1）

2x2（k）

3x3（k）

Gauss-Seidel

（k1）

Xn

8x2（k）

（k）

6X3

38

Gauss-Seidel迭代格式的收敛性。

14、方程组Axb，其中

，x,bR3

A4a

a

利用迭代收敛的充分必要条件确定使Jacobi迭代法和

Gauss-Seidel迭代法均收敛的a的取值范围

4a

当Bj1得,

习题四

2、给定函数表

选用合适的三次插值多项式来近似计算f（0.2）和f（0.8）。

⑴、求f（0.2），选用插值节点为X0-0.1，Xi插值多项式为：

（XXi）（XX2）

L2（x）y°

0.3，X20.7，用lagrange

（XXo）（XX2）

（X0Xi）（X0X2）（Xi

解得f（-0.1）L2（-0.1）0.979

⑵、求f（0.8），选用插值节点

（XXi）（XX2）（X

（X0Xi）（X0X2）（XiX°

）（XiX2）

解得：

f（0.8）L2（0.8）0.6975

（X

x°

）（x

Xi）

（X2

X°

）（X2

0.7，

X21.

1,,

）（X

y2

）（X1X2）*

x00.3，x-i

）（XX2）

yi

4、给定数据（f（x）X）

差。

2.0

2.12.2

2.4

1.14211.44911.48321.5491

f（Xi）

试用线性插值计算

试用二次Newton

f（2.3）的近似值，并估计误差。

插值多项式计算f（2.15）的近似值，并估计误

（1）取Xo2.2,

Li（x）

y°

辿—（xx°

）XiX0

0.32995X0.75731

f（2.3）

|Ri（x）|

|Ri（2.3）|

Li（2.3）1.516195

M

0.0766

（xX°

）（xX1）

Mmaxf（x）0.0766

X0XXi

2.4）0.0003831

2（2.32.2）（x

（2）写出二次Newton插值差商表

一阶差商二阶差商

1.14214

2.1

1.44913

0.34924

2.2|1.483200.34062-0.0431

N2（x）1.4142140.34924（x2）0.0431（x2）（x2.1）

f（2.15）N2（2.15）1.4663

R2（2.15）0.000004143

5、给出函数值

试求各阶差商，并写出Newton插值多项式和差值余项。

y

一阶差商

二阶差商

四阶差商

46

30

88

21

-3

-5/2

-88

-109/3

-25/2

-7/6

N4（x）16x

7x（x1）5/2x（x1）（x

2）7/6x（x1）（x2）（x4）

RJx）f（x）N4（x）f[X0,X1,X2,X3,X4,X]W5（X）

f（6）（）

-F（x0）（x1）（x2）（x4）（x5）

6!

6、给定数据表

f（x）

0.79610.77330.74370.70410.65630.6022

841328

试用三次牛顿差分插值公式计算f（0.158）和f（0.636）。

⑴、求f（0.158），取xo0.125，x10.25，X20.375,X30.500，h=0.125

差分表为

一阶差分

二阶差分

三阶差分

0.125

0.79618

0.25

0.77334

-0.02284

0.375

0.74371

-0.02963

-0.00679

0.5

0.70413

-0.03958

-0.00995

-0.00316

kfif[Xi,Xi1,Xi2,Xik]k

k!

h

由牛顿插值公式有

f（0.158）N3（0.158）0.79061

⑵、求f（0.636），取X00.375，人0.500，x?

0.625,X30.750，h=0.125

f（Xi）

0.625

0.65632

-0.04781

-0.00823

0.75

0.60228

-0.05404

-0.00623

0.002

求解得f0.636）N3（0.636）0.65179

9、给出sinx在［0,pi］的等距节点函数表，用线性插值计算sinx的近似值，使其截断误差为1104，问该函数表的步长h应取多少才能满

足要求?

设插值节点为Xi

ih,（i=0,1h）,h—

由|Rn（x）丨f（x）

h2

——m2

F（x）=sinx，f（x）

sinx，所以f（x）1，即m21

所以h0.02

步长h应取为0.02才能满足要求。

14、已知实验数据如下

25

31

44

19.0

32.3

49.0

73.3

97.8

用最小二乘法求形如yabx2的经验公式，并计算均方差

设拟合多项式为y

abx2，则正规方程组为

S0S1S2a

T。

S1S2S30

T1

S2S3S4b

T2

5157

5327a