回溯算法实例一Word文档下载推荐.docx
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ok=检查前m个整数填放的合理性;
}
while((!
ok||m!
=n)&
&
(m!
=0))
if(m!
=0)
输出解;
输出无解报告;
}如果程序要找全部解,则在将找到的解输出后,应继续调整最后位置上填放的整数,试图去找下一个解。
相应的算法如下:
回溯法找全部解的算法:
{
if(m==n)
输出解;
调整;
}else
while(m!
=0);
}为了确保程序能够终止,调整时必须保证曾被放弃过的填数序列不会再次实验,即要求按某种有许模型生成填数序列。
给解的候选者设定一个被检验的顺序,按这个顺序逐一形成候选者并检验。
从小到大或从大到小,都是可以采用的方法。
如扩展时,先在新位置填入整数1,调整时,找当前候选解中下一个还未被使用过的整数。
将上述扩展、调整、检验都编写成程序,细节见以下找全部解的程序。
【程序】#include<
>
;
#define
N
12voidwrite(inta[]){
inti,j;
for(i=0;
i<
3;
i++)
for(j=0;
j<
j++)
printf(“%3d”,a[3*i+j]);
printf(“\n”);
scanf(“%*c”);
}
intb[N+1];
inta[10];
intisprime(intm){
inti;
intprimes[]={2,3,5,7,11,17,19,23,29,-1};
if(m==1||m%2=0)
return0;
primes>
0;
if(m==primes)
return1;
for(i=3;
i*i<
=m;
)
if(m%i==0)
i+=2;
intcheckmatrix[][3]={
{-1},{0,-1},{1,-1},{0,-1},{1,3,-1},
{2,4,-1},{3,-1},{4,6,-1},{5,7,-1}};
intselectnum(intstart){
intj;
for(j=start;
=N;
if(b[j])returnj
intcheck(intpos){
if(pos<
0)
(j=checkmatrix[pos])>
=0;
if(!
isprime(a[pos]+a[j])
intextend(intpos){
a[++pos]=selectnum
(1);
b[a][pos]]=0;
returnpos;
intchange(intpos){
while(pos>
=0&
(j=selectnum(a[pos]+1))==0)
b[a[pos--]]=1;
return–1
b[a[pos]]=1;
a[pos]=j;
b[j]=0;
voidfind(){
intok=0,pos=0;
a[pos]=1;
b[a[pos]]=0;
do{
if(pos==8)
write(a);
pos=change(pos);
pos=extend(pos);
ok=check(pos);
=0)}
voidmain(){
for(i=1;
b=1;
find();
五、回溯法
回溯法也称为试探法,该方法首先暂时放弃关于问题规模大小的限制,并将问题的候选解按某种顺序逐一枚举和检验。
当发现当前候选解不可能是解时,就选择下一个候选解;
倘若当前候选解除了还不满足问题规模要求外,满足所有其他要求时,继续扩大当前候选解的规模,并继续试探。
如果当前候选解满足包括问题规模在内的所有要求时,该候选解就是问题的一个解。
在回溯法中,放弃当前候选解,寻找下一个候选解的过程称为回溯。
扩大当前候选解的规模,以继续试探的过程称为向前试探。
1、回溯法的一般描述可用回溯法求解的问题P,通常要能表达为:
对于已知的由n元组(x1,x2,…,xn)组成的一个状态空间E={(x1,x2,…,xn)∣xi∈Si,i=1,2,…,n},给定关于n元组中的一个分量的一个约束集D,要求E中满足D的全部约束条件的所有n元组。
其中Si是分量xi的定义域,且|Si|有限,i=1,2,…,n。
我们称E中满足D的全部约束条件的任一n元组为问题P的一个解。
解问题P的最朴素的方法就是枚举法,即对E中的所有n元组逐一地检测其是否满足D的全部约束,若满足,则为问题P的一个解。
但显然,其计算量是相当大的。
我们发现,对于许多问题,所给定的约束集D具有完备性,即i元组(x1,x2,…,xi)满足D中仅涉及到x1,x2,…,xi的所有约束意味着j(j<
i)元组(x1,x2,…,xj)一定也满足D中仅涉及到x1,x2,…,xj的所有约束,i=1,2,…,n。
换句话说,只要存在0≤j≤n-1,使得(x1,x2,…,xj)违反D中仅涉及到x1,x2,…,xj的约束之一,则以(x1,x2,…,xj)为前缀的任何n元组(x1,x2,…,xj,xj+1,…,xn)一定也违反D中仅涉及到x1,x2,…,xi的一个约束,n≥i>
j。
因此,对于约束集D具有完备性的问题P,一旦检测断定某个j元组(x1,x2,…,xj)违反D中仅涉及x1,x2,…,xj的一个约束,就可以肯定,以(x1,x2,…,xj)为前缀的任何n元组(x1,x2,…,xj,xj+1,…,xn)都不会是问题P的解,因而就不必去搜索它们、检测它们。
回溯法正是针对这类问题,利用这类问题的上述性质而提出来的比枚举法效率更高的算法。
回溯法首先将问题P的n元组的状态空间E表示成一棵高为n的带权有序树T,把在E中求问题P的所有解转化为在T中搜索问题P的所有解。
树T类似于检索树,它可以这样构造:
设Si中的元素可排成xi
(1),xi
(2),…,xi(mi-1),|Si|=mi,i=1,2,…,n。
从根开始,让T的第I层的每一个结点都有mi个儿子。
这mi个儿子到它们的双亲的边,按从左到右的次序,分别带权xi+1
(1),xi+1
(2),…,xi+1(mi),i=0,1,2,…,n-1。
照这种构造方式,E中的一个n元组(x1,x2,…,xn)对应于T中的一个叶子结点,T的根到这个叶子结点的路径上依次的n条边的权分别为x1,x2,…,xn,反之亦然。
另外,对于任意的0≤i≤n-1,E中n元组(x1,x2,…,xn)的一个前缀I元组(x1,x2,…,xi)对应于T中的一个非叶子结点,T的根到这个非叶子结点的路径上依次的I条边的权分别为x1,x2,…,xi,反之亦然。
特别,E中的任意一个n元组的空前缀(),对应于T的根。
因而,在E中寻找问题P的一个解等价于在T中搜索一个叶子结点,要求从T的根到该叶子结点的路径上依次的n条边相应带的n个权x1,x2,…,xn满足约束集D的全部约束。
在T中搜索所要求的叶子结点,很自然的一种方式是从根出发,按深度优先的策略逐步深入,即依次搜索满足约束条件的前缀1元组(x1i)、前缀2元组(x1,x2)、…,前缀I元组(x1,x2,…,xi),…,直到i=n为止。
在回溯法中,上述引入的树被称为问题P的状态空间树;
树T上任意一个结点被称为问题P的状态结点;
树T上的任意一个叶子结点被称为问题P的一个解状态结点;
树T上满足约束集D的全部约束的任意一个叶子结点被称为问题P的一个回答状态结点,它对应于问题P的一个解。
【问题】
组合问题问题描述:
找出从自然数1、2、……、n中任取r个数的所有组合。
例如n=5,r=3的所有组合为:
(1)1、2、3
(2)1、2、4
(3)1、2、5
(4)1、3、4
(5)1、3、5
(6)1、4、5
(7)2、3、4
(8)2、3、5
(9)2、4、5
(10)3、4、5则该问题的状态空间为:
E={(x1,x2,x3)∣xi∈S,i=1,2,3}
其中:
S={1,2,3,4,5}约束集为:
x1<
x2<
x3
显然该约束集具有完备性。
问题的状态空间树T:
2、回溯法的方法
对于具有完备约束集D的一般问题P及其相应的状态空间树T,利用T的层次结构和D的完备性,在T中搜索问题P的所有解的回溯法可以形象地描述为:
从T的根出发,按深度优先的策略,系统地搜索以其为根的子树中可能包含着回答结点的所有状态结点,而跳过对肯定不含回答结点的所有子树的搜索,以提高搜索效率。
具体地说,当搜索按深度优先策略到达一个满足D中所有有关约束的状态结点时,即“激活”该状态结点,以便继续往深层搜索;
否则跳过对以该状态结点为根的子树的搜索,而一边逐层地向该状态结点的祖先结点回溯,一边“杀死”其儿子结点已被搜索遍的祖先结点,直到遇到其儿子结点未被搜索遍的祖先结点,即转向其未被搜索的一个儿子结点继续搜索。
在搜索过程中,只要所激活的状态结点又满足终结条件,那么它就是回答结点,应该把它输出或保存。
由于在回溯法求解问题时,一般要求出问题的所有解,因此在得到回答结点后,同时也要进行回溯,以便得到问题的其他解,直至回溯到T的根且根的所有儿子结点均已被搜索过为止。
例如在组合问题中,从T的根出发深度优先遍历该树。
当遍历到结点(1,2)时,虽然它满足约束条件,但还不是回答结点,则应继续深度遍历;
当遍历到叶子结点(1,2,5)时,由于它已是一个回答结点,则保存(或输出)该结点,并回溯到其双亲结点,继续深度遍历;
当遍历到结点(1,5)时,由于它已是叶子结点,但不满足约束条件,故也需回溯。
3、回溯法的一般流程和技术
在用回溯法求解有关问题的过程中,一般是一边建树,一边遍历该树。
在回溯法中我们一般采用非递归方法。
下面,我们给出回溯法的非递归算法的一般流程:
在用回溯法求解问题,也即在遍历状态空间树的过程中,如果采用非递归方法,则我们一般要用到栈的数据结构。
这时,不仅可以用栈来表示正在遍历的树的结点,而且可以很方便地表示建立孩子结点和回溯过程。
例如在组合问题中,我们用一个一维数组Stack[]表示栈。
开始栈空,则表示了树的根结点。
如果元素1进栈,则表示建立并遍历
(1)结点;
这时如果元素2进栈,则表示建立并遍历(1,2)结点;
元素3再进栈,则表示建立并遍历(1,2,3)结点。
这时可以判断它满足所有约束条件,是问题的一个解,输出(或保存)。
这时只要栈顶元素(3)出栈,即表示从结点(1,2,3)回溯到结点(1,2)。
找出从自然数1,2,…,n中任取r个数的所有组合。
采用回溯法找问题的解,将找到的组合以从小到大顺序存于a[0],a[1],…,a[r-1]中,组合的元素满足以下性质:
(1)
a[i+1]>
a[i],后一个数字比前一个大;
(2)
a[i]-i<
=n-r+1。
按回溯法的思想,找解过程可以叙述如下:
首先放弃组合数个数为r的条件,候选组合从只有一个数字1开始。
因该候选解满足除问题规模之外的全部条件,扩大其规模,并使其满足上述条件
(1),候选组合改为1,2。
继续这一过程,得到候选组合1,2,3。
该候选解满足包括问题规模在内的全部条件,因而是一个解。
在该解的基础上,选下一个候选解,因a[2]上的3调整为4,以及以后调整为5都满足问题的全部要求,得到解1,2,4和1,2,5。
由于对5不能再作调整,就要从a[2]回溯到a[1],这时,a[1]=2,可以调整为3,并向前试探,得到解1,3,4。
重复上述向前试探和向后回溯,直至要从a[0]再回溯时,说明已经找完问题的全部解。
按上述思想写成程序如下:
【程序】#define
MAXN
100inta[MAXN];
voidcomb(intm,intr){
i=0;
a[i]=1;
do{
if(a[i]-i<
=m-r+1
if(i==r-1)
r;
j++)
printf(“%4d”,a[j]);
printf(“”);
}
a[i]++;
continue;
else
if(i==0)
return;
a[--i]++;
while
(1)}main(){
comb(5,3);
}
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