互斥事件有一个发生的概率Word文件下载.docx

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（2）事件A与B不是互斥事件.

评述：

关键在于判断事件的结果是否有包容关系.

［例2］在一个袋内装有均匀红球5只，黑球4只，白球2只，绿球1只，今从袋中任意摸取一球，计算：

（1）摸出红球或黑球的概率.

（2）摸出红球或黑球或白球的概率.

（1）设事件A：

“摸出一球是红球”，事件B：

“摸出一球是黑球”.

因为事件A与B不可能同时发生，所以它们是互斥的.

（2）设事件C：

“摸出一球是白球”，则A、B、C彼此互斥.

设事件A：

“摸出一球是红球”，设事件B：

“摸出一球是黑球”，设事件C：

“摸出一球是白球”.

∵A与B、B与C、C与A两两互斥,

且P（A）=，P（B）=，P（C）∴

（1）由互斥事件的概率加法公式，可知“摸出红球或黑球”的概率为

P（A+B）=P（A）+P（B）

（2）由互斥事件的概率加法公式，可知“摸出红球或黑球或白球”的概率为

P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）［例3］某医院一天内派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下.

医生人数012345人以上

概率0.10.160.30.40.20.04

求：

（1）派出医生至多2人的概率；

（2）派出医生至少2人的概率.

设“不派出医生”为事件A，“派出1名医生”为事件B，“派出2名医生”为事件C，“派出3名医生”为事件D，“派出4名医生”为事件E，“派出5名以上医生”为事件F，则有P（A）=0.1，P（B）=0.16，P（C）=0.3，P（D）=0.4，P（E）=0.2，P（F）=0.04.由于事件A、B、C、D、E、F彼此互斥，因此，

（1）、

（2）中的概率可求.

“不派出医生”，事件B：

“派出1名医生”，事件C：

“派出2名医生”，事件D：

“派出3名医生”，事件E：

“派出4名医生”，事件F：

“派出5名以上医生”.

∵事件A、B、C、D、E、F彼此互斥，且（A）=0.1,P（B）=0.16,P（C）=0.3,P（D）=0P（E）=0.2,P（F）=0.04,

∴“派出医生至多2人”的概率为

P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）=0.1+0.16+0.3=0“派出医生至少2人”的概率为

P（C+D+E+F）=P（C）+P（D）+P（E）+P（F）=0.3+0.4+0.2+0.04=0［例4］一批产品共50件，其中5件次品，45件合格品，从这批产品中任意抽取2件，求其中出现次品的概率.

由于从这批产品中任意取2件，出现次品可看成是两个互斥事件A：

“出现一个次品”和事件B：

“出现两个次品”中，有一个发生，故根据互斥事件的概率加法公式可求“出现次品”的概率.

“出现一个次品”,

“出现两个次品”,

∴事件A与B互斥.

∵“出现次品”是事件A和B中有一个发生,

∴P（A）P（B）∴所求的“出现次品”的概率为

P（A+B）=P（A）+P（B）评述：

注意对互斥事件概率加法公式的灵活运用.

二、参考练习

1.选择题

（1）有10名学生，其中4名男生，6名女生，从中任选2名,则恰好是2名男生或2名女生的概率为

A.BD.

答案：

D

（2）一个口袋内装有大小相同的7个白球，3个黑球，5个红球，从中任取1球是白球或黑球的概率为

B

（3）某工厂的产品分一、二、三等品三种，在一般的情况下，出现一等品的概率为95%,出现二等品的概率为3%，其余均为三等品，那么这批产品中出现非三等品的概率为

A.0.50B.00.97D.0.2

（4）从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取两个数，分别有下列事件，其中为互斥事件的是

①恰有一个奇数和恰有一个偶数②至少有一个是奇数和两个数都是奇数③至少有一个是奇数和两个数都是偶数④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数

A.①B.②④

C.③D.①③

C

2.填空题

（1）若事件A与B________，则称事件A与B是互斥的；

若事件A1，A2，…，An彼此互斥，则P（A1+A2+…+An）=________.

不可能同时发生P（A1）+P（A2）+…+P（An）

（2）甲、乙两人下棋，两个下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙输的概率是________.

（3）口袋内装有100个大小相同的红球、白球和黑球，其中红球有45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率是0.23,则摸出黑球的概率是________.

0.32

（4）3人都以相同概率分配到4个单位中的每一个，则至少有2人被分配到一个单位的概率为________.

解答题

（1）某地区的年降水量在下列范围内的概率如下表所示：

年降水量（单位：

mm）［１００，１５０］［１５０，２００］［２００，２５０］［２５０，３００］

概率0.100.250.200.12

①降水量在［２００，３００］范围内的概率；

②降水量在［１００，２５０］范围内的概率.

①P=0.20+0.12=0.32，

∴降水量在［２００，３００］范围内的概率为0.32.

②P=0.10+0.25+0.20=0∴降水量在［１００，２５０］范围内的概率为0

（2）从装有大小相同的4个红球，3个白球，3个黄球的袋中，任意取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率.

“2个球颜色相同”这一事件包括“2个球是红球”“2个球是白球”“2个球是黄球”3种结果.

记“取出2个球为红球”为事件A,

“取出2个球为白球”为事件B,

“取出2个球为黄球”为事则A、B、C彼此互斥,

且P（A）P（B）P（C）“2个球颜色相同”则可记为A+B+C,

∴P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）（3）有币按面值分类如下：

壹分5枚，贰分3枚，伍分2枚，从中随机抽取3枚，试计算：

①至少有2枚币值相同的概率；

②3枚币值的和为7分的概率.

①至少有2枚币值相同包括恰好有2枚币值相同和3枚币值全相同2种情况;

②3枚币值的和为7分包括“1枚伍分，2枚壹分”1种情况.

①由题意可设“任取3枚币值各不相同”为事件A，则“至少有2枚币值相同”为事又∵P（A）∴P（）=1-.

②设“3枚币值和为7分”为事件B,则P（B）评述：

要注意认真分析题意，灵活应用对立事件的概率公式.

●备课资料?

［例1］抛掷一个均匀的正方体玩具，记事件A“落地时向上的数是奇数”，B为事件“落地时向上的数是偶数”，C为事件“落地时向上的数是3的倍数”，问下列事件是不是互斥事件，是不是对立事件？

（1）A与B;

（2）A与C;

（3）B与C.

利用互斥事件与对立事件的概念.

（1）∵事件A与事件B不可能同时发生，而且在试验中必有一个发生,

∴事件A与B是互斥事件，也是对立事件.

（2）∵事件A与C都可能含有同一结果“落地时向上的数为3”，故A与C可能同时发生.

∴A与C不是互斥事件，因而也不是对立事件.

（3）∵事件B与C都可能含有同一结果“落地时向上的数为6”，故B与C可能同时发生.

∴B与C不是互斥事件.故也不是对立事件.

［例2］某射手在一次射击中射中10环、9环、8环的概率分别为0.24、0.28、0.19，计算这一射手在一次射击中，不够8环的概率.

由于事件“射击击中不够8环”与事件“射击击中8环或8环以上”是相互对立事件，而后者的概率运用互斥事件中有一个发生的概率公式可求，因此利用对立事件的概率公式可求解.

“一次射击击中的不够8环”，事件B：

“一次射击击中8环或8环以上”，

∴事件A与B是互斥事件.

∵事件A与B中必有一个发生,

∴事件A与B又是对立事件.

∴P（A）=1-P（B）.

∴P（B）=0.24+0.28+0.19=0∴P（A）=1-0.71=0.29.

∴该射手在一次射击中不够8环的概率为0.29.

注意利用互斥事件中有一个发生的概率公式及对立事件的概率公式.

［例3］有三个人，每人都以相同概率被分配到四个房间中的每一间，试求：

（1）三人都分配到同一个房间的概率；

（2）至少有两人分配到同一房间的概率.

（1）因为每人都以相同概率被分配到四个房间中的每一间，所以三人被分配到四个房间中的一间共有4×

4×

4=43种等可能性的结果出现，而事件“三人都分配到同一个房间”中含有4个结果，故根据等可能性的概率公式可求.

（2）设事件A“至少有两人分配到同一房间”,

事件B“三人都分配到不同的房间”,

故事件A与B是对立事件.而P（B）因此，利用对立事件的概率关系可求P（A）.

（1）根据等可能事件的概率公式,得三人都分配到同一个房间的概率为

P∴三人都分配到同一房间的概率为.

（2）设事件A“至少有两人分配到同一房间”，事件B“三人都分配到不同的房间”.

∵事件A与B是对立事件，且P（B）∴P（A）=1-.

∴至少有两人分配到同一房间的概率为.

［例4］某电子元件50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任意取3个，试求至少有一个二级品的概率.

“至少有一个二级品”，则事件A是指事件“有一个二级品”“有两个二级品”“有三个二级品”中有一个发生，因而，可用互斥事件的概率加法公式计算.另外，事件A与事件“没有一个二级品”是对立事件，故利用对立事件的概率公式也可求解，且比较简便.

解法一：

“至少有一个二级品”，它是指事件“有一个二级品”“有两个二级品”“有三个二级品”中有一个发生，由于上述三个事件是互斥的，

∴P（A）=≈0.2解法二：

事件A与“没有一个二级品”是对立事件，而事件“没有一个二级品”的概率为,

∴P（A）=1-≈0.2∴至少有一个二级品的概率约为0.2［例5］某小组有男生6人，女生4人，现从中选出2人去校院开会，其中至少有1名女生的概率为多少？

设事件“至少有1名女生”为A，则事件A可看成是事件“有一名女生”“有两名女生”中有一个发生.而事件“有一名女生”和“有两名女生”是互斥的，所以P（A）可利用互斥事件概率加法公式求得.另外事件A与事件“没有女生”是对立事件，而事件“没有女生”的概率P解法一：

P（A）解法二：

P（A）=1-P（）=1-∴至少有1名女生的概率是.

（1）下列命题中，真命题的个数是

①将一枚硬币抛两次，设事件A：

“只有一次出现反面”，则事件A与B是对立事件②若事件A与B为对立事件，则事件A与B为互斥事件③若事件A与B为互斥事件，则事件A与B为对立事件④若事件A与B为对立事件，则事件A+B为必然事件

A.1B.2D.4

（2）袋中装白球和黑球各3个，从中任取2球，则至多有1黑球的概率是

（1）在10件产品中有8件一级品，2件二级品，现从中任选3件，设事件A：

“所取的都是一级品”，则事件表示为________.

所取的不都是一级品

（2）口袋内有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一球，摸出红球的概率是0.3,摸出黑球的概率是0.5，那么摸出白球的概率是________.

0.2

3.解答题

（1）某班有学生50名，其中班干部5名，现从中选出2名作为学生代表，求：

①选出的2名学生至少有1名是班干部的概率;

②选出的2名学生中没有班干部的概率.

①P=1-.

②P

（2）有红、黄、蓝三种颜色的信号旗各1面，按不同次序排列可组成不同的信号，并且可以用1面旗、2面旗或3面旗组成信号，求：

①组成的信号是由1面或2面信号旗组成的概率;

②组成的信号不是由1面信号旗组成的概率.

①P==;

②P=1-.

（3）某班共有学生n（n≤50）个人，若一年以365天计算，列式表示至少有2人在同一天过生日的概率.

记“至少有2人在同一天生日”为事件A，则“没有人在同一天生日”为事件A的对立事件，即.∵P（）∴P（A）=1-.

（4）某单位的36人的血型分别是：

A型的有12人，B型的有10人，AB型的有8人，O型的有6人，如果从这个单位随机地找出两个人，那么这两个人具有不同的血型的概率是多少？

记“两个人具有不同血型”为事件A，则“两个人血型相同”为事件A的对立事件，即，且“两个人为A型血”“两个人为B型血”“两个人为AB型血”“两个人为O型血”为彼此互斥事件，这些互斥事件只要有一个发生，则发生，而

P（）∴P（A）=1-P（）=1-.

（5）一个袋内装有3个红球，n个白球，从中任取2个，已知取出的球至少有一个是白球的概率是，求n的值.

记“至少有一个是白球”为事件A，则“任取2球，全是红球”是事件A的对立事件，即.

又∵P（）由对立事件的概率公式P（A）+P（）=1，得P（A）=1-即n2+5n-204=0.

解得n=12.

对于带有词语“至多”“至少”等类型的较复杂的概率计算问题，利用对立事件的概率公式可转化为求其对立事件的概率