初二数学上期末竞赛培优能力提高测试题.doc
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初二数学上期末竞赛培优能力提高测试题
(120分,100分钟)
一、选择题(每题3分,共24分)
1.下列运算正确的是()
A.B.a÷b×=a
C.D.
2.若等腰三角形有两条边的长分别是3和1,则此等腰三角形的周长是()
A.5B.7C.5或7D.6
3.若将代数式中的任意两个字母交换,代数式不变,则称这个代数式为完全对称式,如就是完全对称式.下列四个代数式:
①;②;③;④.其中是完全对称式的是()
A.①②④B.①③C.②③D.①②③
4.若,则的值是()
A.B.C.D.
5.若n为整数,则能使也为整数的n有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
6.〈湖北仙桃〉如图1,在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,BC=6cm,AB的垂直平分线交BC于点M,交AB于点E,AC的垂直平分线交BC于点N,交AC于点F,则MN的长为()
A.4cmB.3cmC.2cmD.1cm
图1图2图3
7.如图2所示,在直角三角形ABC中,已知∠ACB=90°,点E是AB的中点,且DE⊥AB,DE交AC的延长线于点D、交BC于点F,若∠D=30°,EF=2,则DF的长是()
A.5B.4C.3D.2
8.如图3所示,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ.以下四个结论:
①△ACD≌△BCE;②AD=BE;③∠AOB=60°;④△CPQ是等边三角形.其中正确的是()
A.①②③④B.②③④
C.①③④D.①②③
二、填空题(每题3分,共24分)
9.因式分解:
=___________.
10.计算:
=___________.
11.按图4所示程序计算:
a→×2→→÷a→→结果
图4
请将上面的计算程序用代数式表示出来并化简:
_________.
12.如图5,将△ABC纸片沿DE折叠,图中实
线围成的图形面积与原三角形面积之比为2∶3,
若图中实线围成的阴影部分面积为2,则图5
重叠部分的面积为__________.
13.〈辽宁沈阳〉已知等边三角形ABC的高为4,在这个三角形所在的平面内有一点P,若点P到AB的距离是1,点P到AC的距离是2,则点P到BC的最小距离和最大距离分别是__________.
14.在平面直角坐标系中,A(2,0),B(0,3),若△ABC的面积为6,且点C在坐标轴上,则符合条件的点C的坐标为___________.
15.如图6所示,在平面直角坐标系中,点A(2,2)关于y轴的对称点为B,点C关于y轴的对称点为D.把一条长为2014个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点A处,并按A→B→C→D→A→…的规律紧绕在四边形ABCD的边上,则细线另一端所在位置的点的坐标是__________.
图6图7
16.如图7的钢架中,焊上等长的13根钢条来加固钢架.若,则∠A的度数是________.
三、解答题(17、18题每题5分,23、25题每题9分,24题8分,26题12分,其余每题6分,共72分)
17.如图8均为2×2的正方形网格,每个小正方形的边长均为1.请分别在两个图中各画出一个与△ABC成轴对称、顶点在格点上,且位置不同的三角形.
图8
18.如图9,△ABC中,∠A=40°,∠B=76°,CE平分∠ACB,CD⊥AB于D,DF⊥CE交CE于F,求∠CDF的度数.
图9
19.在解题目:
“当a=2014时,求代数式的值”时,小明认为a只要任取一个使原式有意义的值代入都有相同的结果,你认为他说的有道理吗?
请说明理由.
20.已知M=,当式中的、y各取何值时,M的值最小?
求此最小值.
21.是否存在实数,使分式的值比分式的值大1?
若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由.
22.如图10所示,AB∥DC,AD⊥CD,BE平分∠ABC,且点E是AD的中点,试探求AB、CD与BC的数量关系,并说明你的理由.
图10
23.如图11,某船在海上航行,在A处观测到灯塔B在北偏东60°方向上,该船以每小时15海里的速度向东航行到达C处,观测到灯塔B在北偏东30°方向上,继续向东航行到D处,观测到灯塔B在北偏西30°方向上,当该船到达D处时恰与灯塔B相距60海里
(1)判断△BCD的形状;.
图11
(2)求该船从A处航行至D处所用的时间;
(3)若该船从A处向东航行6小时到达E处,观测灯塔B,灯塔B在什么方向上?
24.某地为某校师生交通方便,在通往该学校原道路的一段全长为300m的旧路上进行整修铺设柏油路面.铺设120m后,为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响,后来每天的工效比原计划增加20%,结果共用30天完成这一任务.
(1)求原计划每天铺设路面的长度;
(2)若市政部门原来每天支付工人工资为600元,提高工效后每天支付给工人的工资增长了30%,现市政部门为完成整个工程准备了25000元的流动资金.请问,所准备的流动资金是否够支付工人工资?
并说明理由.
25.如图12所示,已知△ABC中,AB=AC=10厘米,BC=8厘米,点D为AB的中点.
图12
(1)如果点P在线段BC上以1厘米/秒的速度由B点向C点运动,同时点Q在线段CA上由C点向A点运动.
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过3秒后,△BPD与△CQP是否全等?
请说明理由;
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使△BPD与△CQP全等?
(2)若点Q以
(1)②中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发,都逆时针沿△ABC三边运动,求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇?
26.数学课上,老师出示了如下框中的题目,
在等边三角形ABC中,点E在AB上,
点D在CB的延长线上,且ED=EC,
如图13,试确定线段
AE与DB的数量关图13
系,并说明理由.
小敏与同桌小聪讨论后,进行了如下解答:
(1)特殊情况,探索结论
当点E为AB的中点时,如图14
(1),确定线段AE与DB的数量关系,请你直接写出结论:
AE______DB(填“>”“<”或“=”).
图14
(2)特例启发,解答题目
解:
题目中,AE与DB的数量关系是:
AE______DB(填“>”“<”或“=”),理由如下:
如图14
(2),过点E作EF∥BC,交AC于点F.(请你完成以下解答过程)
(3)拓展结论,设计新题
在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在直线BC上,且ED=EC,若△ABC的边长为1,AE=2,求CD的长.(请你直接写出结果)
参考答案及点拨
一、1.C点拨:
因为,所以A错误;因为a÷b×=a××=,所以B错误;因为,所以C正确;因为,所以D错误.应选C.
2.B点拨:
分底边长为3和底边长为1两种情况讨论.
(1)若底边长为1,则这个等腰三角形的周长为7;
(2)若底边长为3,这个等腰三角形不存在.故选B.
3.A点拨:
根据完全对称式的定义可知、、是完全对称式,而不是完全对称式,应选A.
解答本题的关键是按照新定义,将四个代数式进行变换,然后对照确定正确选项.
4.A点拨:
方法1:
由得,
所以原式
方法2:
由得,,
所以原式.
5.D点拨:
原式,要使为整数,则必须为整数,因此或或或,解得或或2或0;因此整数n的值有4个,应选D.
6.C点拨:
如答图1,连接MA、NA.∵AB的垂直平分线交BC于M,交AB于E,AC的垂直平分线交BC于N,交AC于F,∴BM=AM,CN=AN,∴∠MAB=∠B,∠CAN=∠C,∵∠BAC=120°,AB=AC,∴∠B=∠C=30°,∴∠BAM=∠CAN=30°,∴∠AMN=∠ANM=
60°,∴△AMN是等边三角形,∴AM=AN=MN,∴BM=MN=NC,∴MN=BC=2cm,故选C.
答图1
7.B点拨:
在Rt△AED中,因为∠D=30°,所以∠DAE=60°;在Rt△ABC中,因为∠ACB=90°,∠BAC=60°,所以∠B=30°;在Rt△BEF中,因为∠B=30°,EF=2,所以BF=4;
连接AF,因为DE是AB的垂直平分线,所以FA=FB=4,∠FAB=∠B=30°;因为∠BAC=60°,所以∠DAF=30°,因为∠D=30°,所以∠DAF=∠D,所以DF=AF=4.故应选B.
8.A点拨:
由正△ABC和正△CDE,可知AC=BC,∠ACB=
∠DCE=60°,CD=CE,所以∠ACD=∠BCE,所以△ACD≌△BCE,从而AD=BE,∠CAD=∠CBE;在△ACP和△BPO中,因为∠APC=∠BPO,∠CAD=∠CBE,所以由三角形内角和定理可得∠AOB=
∠ACB=60°;由条件可证△PCD≌△QCE,所以PC=QC,又∠PCQ=60°,所以△CPQ是等边三角形.应选A.
二、9.点拨:
原式.因式分解时,首先考虑提取公因式,再考虑运用乘法公式分解,同时注意要分解到不能分解为止.
10.2点拨:
原式.在无括号的实数混合运算中,先计算乘方,再计算乘除,最后进行加减运算.
11.点拨:
由流程图可得.
12.2点拨:
设重叠部分的面积为,则实线围成的图形面积为2+,三角形ABC面积为2+2.由题意得,解得=2.
13.1和7点拨:
点P可在三角形内和三角形外,需要分情况求解.设点P到△ABC三边AB、AC、BC(或其延长线)的距离分别为,△ABC的高为h.
(1)当点P在等边三角形ABC内时:
连接PA、PB、PC,利用面积公式可得,则,所以点P到BC的最小距离是1;
(2)当点P在等边三角形ABC外时(只考虑P离BC最远时的情况):
同理可得,此时.综上可知,点P到BC的最小距离和最大距离分别是1和7.
14.()、()、()、()点拨:
分点C在轴上和点C在y轴上两种情况讨论,可得符合条件的点C的坐标.
(1)当点C在轴上时,设点C
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- 初二 数学 上期 竞赛 能力 提高 测试
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