选择题填空题限时提速练 高考文科数学二轮复习专题检测Word格式.docx
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选B 因为甲群抢得红包金额的平均数是88,
所以=88,
解得m=3.
因为乙群抢得红包金额的中位数是89,所以n=9.
所以m,n的等差中项为==6.
7.某几何体的三视图如图所示,俯视图是一个圆,其内有一个边长为的正方形,正视图和侧视图是两个全等的等腰直角三角形,它们的底边长和圆的直径相等,它们的内接矩形的长和圆内正方形的对角线长相等,宽和正方形的边长相等,则俯视图中圆的半径是( )
A.2B.2
C.3D.+1
选D 因为正方形的边长为,
所以正方形的对角线长为2,
设俯视图中圆的半径为R,
如图,可得R=+1.
8.我国古代数学著作《孙子算经》中有如下问题:
“今有方物一束,外周一匝有三十二枚,问积几何?
”设每层外周枚数为a,如图是解决该问题的程序框图,则输出的结果为( )
A.121B.81
C.74D.49
选B 第一次循环:
S=1,n=2,a=8;
第二次循环:
S=9,n=3,a=16;
第三次循环:
S=25,n=4,a=24;
第四次循环:
S=49,n=5,a=32;
第五次循环:
S=81,n=6,a=40,不满足a≤32,退出循环,输出S的值为81.
9.函数f(x)=Asin(2x+θ)A>0,|θ|≤的部分图象如图所示,且f(a)=f(b)=0,对不同的x1,x2∈[a,b],若f(x1)=f(x2),有f(x1+x2)=,则( )
A.f(x)在上是减函数
B.f(x)在上是增函数
C.f(x)在上是减函数
D.f(x)在上是增函数
选B 由题图知A=2,设m∈[a,b],且f(0)=f(m),则f(0+m)=f(m)=f(0)=,∴2sinθ=,sinθ=,又|θ|≤,∴θ=,∴f(x)=2sin,令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,此时f(x)单调递增,所以选项B正确.
10.已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积为36,点E,F分别为棱B1B,C1C上的点(异于端点),且EF∥BC,则四棱锥A1AEFD的体积为( )
A.2B.4
C.6D.12
选D 连接AF,易知四棱锥A1AEFD的体积为三棱锥FA1AD和三棱锥FA1AE的体积之和.设正四棱柱的底面边长为a,高为h,则VFA1AD=×
×
a×
h×
a=a2h,VFA1AE=×
a=a2h,所以四棱锥A1AEFD的体积为a2h,又a2h=36,所以四棱锥A1AEFD的体积为12.
11.函数f(x)=(2x2+3x)ex的图象大致是( )
选A 由f(x)的解析式知,f(x)只有两个零点x=-与x=0,排除B、D;
又f′(x)=(2x2+7x+3)ex,由f′(x)=0知函数有两个极值点,排除C,故选A.
12.已知函数f(x)=lnx+x与g(x)=ax2+ax-1(a>0)的图象有且只有一个公共点,则a所在的区间为( )
A.B.
C.D.
选D 设T(x)=f(x)-g(x)=lnx+x-ax2-ax+1,
由题意知,当x>0时,T(x)有且仅有1个零点.
T′(x)=+1-ax-a=-a(x+1)=(x+1)·
=(x+1)·
·
(1-ax).
因为a>0,x>0,
所以T(x)在上单调递增,
在上单调递减,如图,
当x→0时,T(x)→-∞,x→+∞时,T(x)→-∞,
所以T=0,即ln+--1+1=0,
所以ln+=0.
因为y=ln+在x>0上单调递减,
所以ln+=0在a>0上最多有1个零点.
当a=时,ln+>
0,
当a=1时,ln+=>0,
当a=时,ln+<0,
当a=2时,ln+<0,
所以a∈.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.若函数f(x)=是奇函数,则常数a=______.
函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),
则由f(x)+f(-x)=0,
得+=0,
即ax=0,则a=0.
答案:
14.已知x,y满足约束条件则目标函数z=3x+y的最大值为________.
作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示,
作出直线3x+y=0,平移该直线,
当直线经过点A时,z取得最大值.
联立
解得所以zmax=3×
(-1)+=.
15.在平面直角坐标系xOy中,与双曲线-y2=1有相同渐近线,焦点位于x轴上,且焦点到渐近线距离为2的双曲线的标准方程为________.
与双曲线-y2=1有相同渐近线的双曲线的标准方程可设为-y2=λ,
因为双曲线焦点在x轴上,故λ>0,又焦点到渐近线的距离为2,
所以λ=4,所求方程为-=1.
-=1
16.如图所示,在△ABC中,∠ABC为锐角,AB=2,AC=8,sin∠ACB=,若BE=2DE,S△ADE=,则=________.
因为在△ABC中,AB=2,AC=8,sin∠ACB=,
由正弦定理得=,
所以sin∠ABC=.
又∠ABC为锐角,所以cos∠ABC=.
因为BE=2DE,所以S△ABE=2S△ADE.
又因为S△ADE=,所以S△ABD=4.
因为S△ABD=×
BD×
AB×
sin∠ABC,所以BD=6.
由余弦定理AD2=AB2+BD2-2AB×
cos∠ABD,可得AD=4.
因为S△ABE=×
AE×
sin∠BAE,
S△DAE=×
AD×
sin∠DAE,
所以=2×
=4.
4
“12+4”限时提速练
(二)
1.若复数z=+1为纯虚数,则实数a=( )
A.-2 B.-1
C.1D.2
选A 因为复数z=+1=+1=+1-i为纯虚数,
所以+1=0,且-≠0,解得a=-2.故选A.
2.设集合A=,B={x|lnx≤0},则A∩B=( )
A.B.[-1,0)
C.D.[-1,1]
选A ∵≤2x<,∴-1≤x<,
∴A=.
∵lnx≤0,∴0<x≤1,∴B={x|0<x≤1},
∴A∩B=.
3.已知函数f(x)=2x(x<0),其值域为D,在区间(-1,2)上随机取一个数x,则x∈D的概率是( )
选B 因为函数y=2x是R上的增函数,
所以函数f(x)的值域是(0,1),
由几何概型的概率公式得,所求概率P==.
4.已知B是以线段AC为直径的圆上的一点(异于点A,C),其中|AB|=2,则·
=( )
A.1B.2
C.3D.4
选D 连接BC,∵AC为直径,∴∠ABC=90°
,
∴AB⊥BC,在上的投影||cos〈,〉=||=2,
∴·
=||||cos〈,〉=4.
5.已知x,y满足约束条件则z=2x+y的最大值为( )
A.-3B.
选C 作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示,作出直线2x+y=0,平移该直线,当直线过点B时,z=2x+y取得最大值.由得所以B(2,-1),故zmax=2×
2-1=3.
6.执行如图所示的程序框图,若输出的s=25,则判断框中可填入的条件是( )
A.i≤4?
B.i≥4?
C.i≤5?
D.i≥5?
选C 执行程序框图,i=1,s=100-5=95;
i=2,s=95-10=85;
i=3,s=85-15=70;
i=4,s=70-20=50;
i=5,s=50-25=25;
i=6,退出循环.此时输出的s=25.结合选项知,选C.
7.将函数y=2sincos的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度,所得图象对应的函数为奇函数,则φ的最小值为( )
选B 根据题意可得y=sin,将其图象向左平移φ个单位长度,可得y=sin的图象,因为该图象所对应的函数恰为奇函数,所以+2φ=kπ(k∈Z),φ=-(k∈Z),又φ>0,所以当k=1时,φ取得最小值,且φmin=,故选B.
8.南宋数学家秦九韶早在《数书九章》中就提出了已知三角形的三边求其面积的公式:
“以小斜幂,并大斜幂,减中斜幂,余半之,自乘于上.以小斜幂乘大斜幂,减上,余四约之,为实.一为从隅,开平方,得积.”即△ABC的面积S=,其中△ABC的三边分别为a,b,c,且a>
b>
c,并举例“问沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里,里法三百步.欲知为田几何?
”则该三角形沙田的面积为( )
A.82平方里B.83平方里
C.84平方里D.85平方里
选C 由题意知三角形沙田的三边长分别为15里、14里、13里,代入三角形的面积公式可得三角形沙田的面积S==84(平方里).故选C.
9.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )
A.5π+18B.6π+18
C.8π+6D.10π+6
选C 由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和两个半球构成的,故该几何体的表面积为2×
4π×
12+2×
π×
3+×
2π×
1×
3=8π+6.
10.已知f(x)是定义在[-2b,1+b]上的偶函数,且在[-2b,0]上为增函数,则f(x-1)≤f(2x)的解集为( )
C.[-1,1]D.
选B ∵函数f(x)是定义在[-2b,1+b]上的偶函数,
∴-2b+1+b=0,∴b=1,函数f(x)的定义域为[-2,2],
又函数f(x)在[-2,0]上单调递增,∴函数f(x)在[0,2]上单调递减,
∵f(x-1)≤f(2x),∴f(|x-1|)≤f(|2x|),∴解得-1≤x≤.
11.在各项均为正数的等比数列{an}中,a1a11+2a5a9+a4a12=81,则+的最小值是( )
A.B.9
C.1D.3
选C 因为{an}为等比数列,
所以a1a11+2a5a9+a4a12=a+2a6a8+a=(a6+a8)2=81,
又因为等比数列{an}的各项均为正数,所以a6+a8=9,
所以+=(a6+a8)=5++≥=1,
当且仅当=,a6+a8=9,即a6=3,a8=6时等号成立,
所以+的最小值是1.
12.过抛物线y=x2的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在直线y=-1上,若△ABC为正三角形,则其边长为( )
A.11B.12
C.13D.14
选B 由题意可知,焦点F(0,1),
易知过焦点F的直线的斜率存在且不为零,则设该直线方程为y=kx+1(k≠0),
联立消去y,得x2-4kx-4=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),∴x1+x2=4k,x1x2=-4,
设线段AB的中点为M,则M(2k,2k2+1),
|AB|=
==4(1+k2).
设C(m,-1),连接MC,
∵△ABC为等边三角形,
∴kMC==-,m=2k3+4k,点C(m,-1)到直线y=kx+1的距离|MC|==|AB|,
∴=×
4(1+k2),
即=2(1+k2),
解得k=±
∴|AB|=4(1+k2)=12.
13.已知函数y=f(x)的图象在点M(1,f
(1))处的切线方程是y=2x+1,则f
(1)+f′
(1)=________.
因为f(x)的图象在点M(1,f
(1))处的切线方程为y=2x+1,所以f′
(1)=2,又因为点M(1,f
(1))也在直线y=2x+1上,所以f
(1)=2×
1+1=3,所以f
(1)+f′
(1)=3+2=5.
5
14.甲、乙、丙三位同学,其中一位是班长,一位是体育委员,一位是学习委员,已知丙比学习委员的年龄大,甲与体育委员的年龄不同,体育委员比乙的年龄小,据此推断班长是________.
若甲是班长,由于体育委员比乙的年龄小,故丙是体育委员,乙是学习委员,但这与丙比学习委员的年龄大矛盾,故甲不是班长;
若丙是班长,由于体育委员比乙的年龄小,故甲是体育委员,这和甲与体育委员的年龄不同矛盾,故丙不是班长;
若乙是班长,由于甲与体育委员的年龄不同,故甲是学习委员,丙是体育委员,此时其他条件均成立,故乙是班长.
乙
15.已知F为双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点,定点A为双曲线虚轴的一个端点,过F,A两点的直线与双曲线的一条渐近线在y轴右侧的交点为B,若=3,则此双曲线的离心率为________.
由F(-c,0),A(0,b),
得直线AF的方程为y=x+b.
根据题意知,直线AF与渐近线y=x相交,
联立得消去x得,yB=.
由=3,得yB=4b,
所以=4b,化简得3c=4a,
所以离心率e=.
16.一个直角三角形的三个顶点分别在底面边长为2的正三棱柱的侧棱上,则该直角三角形斜边的最小值为________.
记该直角三角形为△ABC,且AC为斜边.
法一:
如图,不妨令点A与正三棱柱的一个顶点重合,
取AC的中点O,连接BO,
∴BO=AC,
∴AC取得最小值即BO取得最小值,即点B到平面ADEF的距离.
∵△AHD是边长为2的正三角形,
∴点B到平面ADEF的距离为,
∴AC的最小值为2.
法二:
设BH=m(m≥0),CD=n(n≥0),
∴AB2=4+m2,BC2=4+(n-m)2,AC2=4+n2.
∵AC为Rt△ABC的斜边,
∴AB2+BC2=AC2,
即4+m2+4+(n-m)2=4+n2,
∴m2-nm+2=0,
∴m≠0,n==m+,
∴AC2=4+2≥4+8=12,当且仅当m=,即m=时等号成立,
∴AC≥2,故AC的最小值为2.
2
“12+4”限时提速练(三)
1.已知a,b∈R,复数a+bi=,则a+b=( )
A.2 B.1
C.0D.-2
选C 因为a+bi====-1+i,
所以a=-1,b=1,a+b=0.
2.设集合A={x|1<x<2},B={x|x<
a},若A∩B=A,则a的取值范围是( )
A.(-∞,2]B.(-∞,1]
C.[1,+∞)D.[2,+∞)
选D 由A∩B=A,可得A⊆B,又A={x|1<
x<
2},B={x|x<
a},所以a≥2.
3.若点在角α的终边上,则sinα=( )
C.-D.-
选C 因为sin=sin=sin=,cos=cos=-cos=-,
所以点在角α的终边上,且该点到角α顶点的距离r==1,
所以sinα=-.
4.“搜索指数”是网民通过搜索引擎,以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标.搜索指数越大,表示网民搜索该关键词的次数越多,对该关键词相关的信息关注度也越高.如图是2017年9月到2018年2月这半年来,某个关键词的搜索指数变化的统计图.
根据该统计图判断,下列结论正确的是( )
A.这半年来,网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化
B.这半年来,网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱
C.从该关键词的搜索指数来看,2017年10月的方差小于11月的方差
D.从该关键词的搜索指数来看,2017年12月的平均值大于2018年1月的平均值
选D 由统计图可知,这半年来,该关键词的搜索指数变化的周期性并不显著,排除A;
由统计图可知,这半年来,该关键词的搜索指数的整体减弱趋势不显著,排除B;
由统计图可知,2017年10月该关键词的搜索指数波动较大,11月的波动较小,所以2017年10月的方差大于11月的方差,排除C;
由统计图可知,2017年12月该关键词的搜索指数大多高于10000,该月平均值大于10000,2018年1月该关键词的搜索指数大多低于10000,该月平均值小于10000,故选D.
5.某几何体的三视图如图所示,其中正视图是等腰直角三角形,侧视图是边长为2的等边三角形,则该几何体的体积等于( )
C.D.2
选D 由三视图知,该几何体是一个四棱锥,记为四棱锥PABCD,如图,该四棱锥的高h=,底面ABCD是边长分别为2,的矩形,所以该四棱锥的体积V=S四边形ABCD×
h=×
2×
=2.故选D.
6.在如图所示的程序框图中,如果输入a=1,b=1,则输出的S=( )
A.7B.20
C.22D.54
选B 执行程序,a=1,b=1,S=0,k=0,k≤4,S=2,a=2,b=3;
k=2,k≤4,S=7,a=5,b=8;
k=4,k≤4,S=20,a=13,b=21;
k=6,不满足k≤4,退出循环.则输出的S=20.
7.已知直线l:
y=x+m与圆C:
x2+(y-3)2=6相交于A,B两点,若∠ACB=120°
,则实数m的值为( )
A.3+或3-B.3+2或3-2
C.9或-3D.8或-2
选A 由题知圆C的圆心为C(0,3),半径为,取AB的中点为D,连接CD,则CD⊥AB,在△ACD中,|AC|=,∠ACD=60°
,所以|CD|=,由点到直线的距离公式得=,解得m=3±
.
8.若直线x=aπ(0<a<1)与函数y=tanx的图象无公共点,则不等式tanx≥2a的解集为( )
A.
B.
C.
D.
选B 由正切函数的图象知,直线x=aπ(0<
a<
1)与函数y=tanx的图象没有公共点时,a=,所以tanx≥2a,即tanx≥1,其解集是.
9.已知Sn为数列{an}的前n项和,若a1=2且Sn+1=2Sn,设bn=log2an,则++…+的值是( )
C.D.
选B 由Sn+1=2Sn可知,数列{Sn}是首项为S1=a1=2,公比为2的等比数列,所以Sn=2n.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1,
所以bn=log2an=
当n≥2时,==-,
所以++…+
=1+1-+-+…+-
=2-=.
10.已知函数f(x)=若方程f(x)=2有两个解,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,2)B.(-∞,2]
C.(-∞,5)D.(-∞,5]
选C 法一:
当x≥1时,由lnx+1=2,得x=e.由方程f(x)=2有两个解知,当x<1时,方程x2-4x+a=2有唯一解.令g(x)=x2-4x+a-2=(x-2)2+a-6,则g(x)在(-∞,1)上单调递减,所以当x<1时,g(x)=0有唯一解,
则g
(1)<0,得a<5,故选C.
随着a的变化引起y=f(x)(x<1)的图象上下平移,作出函数y=f(x)的大致图象如图所示,由图象知,要使f(x)=2有两个解,则a-3<
2,得a<
5.
11.已知F是椭圆E:
+=1(a>
0)的左焦点,经过原点O的直线l与椭圆E交于P,Q两点,若|PF|=2|QF|,且∠PFQ=120°
,则椭圆E的离心率为( )
选C 设F1是椭圆E的右焦点,如图,连接PF1,QF1.根据对称性,线段FF1与线段PQ在点O处互相平分,所以四边形PFQF1是平行四边形,|FQ|=|PF1|,∠FPF1=180°
-∠PFQ=60°
,根据椭圆的定义得|PF|+|PF1|=2a,又|PF|=2|QF|,
所以|PF1|=a,|PF|=a,而|F1F|=2c,在△F1PF中,
由余弦定理,得(2c)2=2+2-2×
cos60°
,化简得=,
所以椭圆E的离心率e==.
12.已知函数f(x)=+2klnx-kx,若x=2是函数f(x)的唯一极值点,则实数k的取值范围是( )
C.(0,2]D.[2,+∞)
选A f′(x)=+=(x>0),
令f′(x)=0,得x=2或ex=kx2(x>0).
由x=2是函数f(x)的唯一极值点知ex≥kx2(x>0)恒成立或ex≤kx2(x>0)恒成立,
由y=ex(x>0)和y=kx2(x>0)的图象可知,只能是ex≥kx2(x>0)恒成立.
当x>0时,由ex≥kx2,得k≤.
设g(x)=,则k≤g(x)min.
由g′(x)=,得当x>2时,g′(x)>0,g(x)单调递增,当0<x<2时,g′(x)<0,g(x)单调递减,
所以g(x)min=g
(2)=,所以k≤.
13.已知向量a,b满足a⊥b,|a|=1,|2a+b|=2,则|b|=________.
因为|2a+b|=2,
所以4a2+4a·
b+b2=8.
因为a⊥b,所以a·
b=0.
又|a|=1,所以4×
1+4×
0+b2=8,所以|b|=2.
如图,作出=2a,=b,=2a+b,
因为a⊥b,所以OA⊥OB,因为|a|=1,|2a+b|=2,
所以||=2,||=2,
所以||=|b|=2.
法三:
因为a⊥b,所以以O为坐标原点,
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