一元二次方程应用题文档格式.docx
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要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元,那么每件童装应降价多少?
【答案】每件童装应降价20元.
先求出每件童装每降价1元,那么平均每天就可多售出2件,再利用童装平均每天售出的件数×
每件盈利=每天销售这种童装利润列出方程,即可求出答案;
试题解析:
∵如果每件童装每降价4元,那么平均每天就可多售出8件,
∴如果每件童装每降价1元,那么平均每天就可多售出2件,
设每件童装应降价x元,根据题意列方程得,
(40-x)(20+2x)=1200,
解得x1=20,x2=10(舍去),
答:
每件童装应降价20元.
一元二次方程的应用
3.某特产专卖店销售核桃,其进价为每千克40元,按每千克60元出售,平均每天可售出100千克,后来经过市场调查发现,单价每降低2元,则平均每天的销售量可增加20千克,若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元,请回答:
(1)每千克核桃应降价多少元?
(2)在平均每天获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客,赢利市场,该店应按原售价的几折出售?
(1)每千克核桃应降价4元或6元.
(2)该店应按原售价的九折出售.
(1)设每千克核桃降价x元,利用销售量×
每件利润=2240元列出方程求解即可;
(2)为了让利于顾客因此应下降6元,求出此时的销售单价即可确定几折.
:
(1)解:
设每千克核桃应降价x元.
根据题意,得(60-x-40)(100+
×
20)=2240.
化简,得x2-10x+24=0解得x1=4,x2=6.
每千克核桃应降价4元或6元.
(2)解:
由
(1)可知每千克核桃可降价4元或6元.
因为要尽可能让利于顾客,所以每千克核桃应降价6元.
此时,售价为:
60-6=54(元),
100%=90%.
该店应按原售价的九折出售.
一元二次方程的应用.
4.如图,一农户要建一个矩形猪舍,猪舍的一边利用长为12m的住房墙,另外三边用25m长的建筑材料围成,为方便进出,在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门,所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时,猪舍面积为80m2?
【答案】10,8.
设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为(
)m.根据矩形的面积公式建立方程求出其解就可以了.
)m,由题意得:
,化简,得
,解得:
,当x=5时,26﹣2x=16>12(舍去),当x=8时,26﹣2x=10<12.
所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m.
1.一元二次方程的应用;
2.几何图形问题.
5.尼泊尔地震牵动着全中国人民的心,中国红十字基金会开展了“一方有难,八方支援”的赈灾活动.5月15日,中国红十字基金会联手北京成龙慈善基金会等共同出资400万元人民币,采购5000只“赈济家庭箱”(“赈济家庭箱”包括当地受灾群众急需的毛毯、防潮垫、睡袋、雨衣、服装、餐具、个人护理用品等),作为首批物资援助尼泊尔地震灾区.该基金会计划到第三批援助物资为止共采购18200只“赈济家庭箱”.
(图为中国红十字基金会工作人员介绍“赈济家庭箱”内的物品)
(1)如果第二批、第三批援助物资的增长率相同,求采购“赈济家庭箱”的增长率.
(2)按照
(1)中采购“赈济家庭箱”的增长速度,该基金会采购第四批“赈济家庭箱”需要筹措资金多少万元?
(1)20﹪;
(2)691.2万元
【解析】
(1)解答此题利用的数量关系是:
第一批“赈济家庭箱”×
(1+每次增长的百分率)2=第三批援助物资数,设出未知数,列方程解答即可;
(2)第三批援助物资数×
(1+每次增长的百分率)=第四批援助物资数,依此列式子解答即可.
(1)设采购“赈济家庭箱”的增长率为x,根据题意列方程得:
整理得:
解得:
(不合题意,舍去)
采购“赈济家庭箱”的增长率是20﹪
(万元)
该基金会采购第四批“赈济家庭箱”需要筹措资金691.2万元
一元二次方程的应用.
6.如图,要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈,用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈,求羊圈的边长AB、BC各为多少米?
【答案】AB,BC分别是20米、20米.
设AB的长度为x,则BC的长度为(100-4x)米;
然后根据矩形的面积公式列出方程.
设AB的长度为x,则BC的长度为(100-4x)米.
根据题意得(100-4x)x=400,
解得x1=20,x2=5.
则100-4x=20或100-4x=80.
∵80>25,
∴x2=5舍去.
即AB=20,BC=20.
羊圈的边长AB,BC分别是20米、20米.
7.(本题8分)如图,张大叔从市场上买回一块矩形铁皮,他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后,剩下的部分刚好能围成一个容积为15米
的无盖长方体箱子,且此长方体箱子的底面长比宽多2米,现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱,问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱?
【答案】700
设箱子的底面宽为x,则长为x+2,然后列出方程进行求解.
设箱子底面宽为x米,长为(x+2)米,根据题意得:
x(x+2)=15
解得x1=3,x2=-5(舍去)∴矩形铁皮宽为5米,长为7米
∴花费:
5×
7×
20=700元…
8.已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0,其中a、b、c分别为△ABC三边的长.
(1)如果x=-1是方程的根,试判断△ABC的形状,并说明理由;
(2)如果方程有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状,并说明理由;
(3)如果△ABC是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.
(1)△ABC是等腰三角形;
理由见解析;
(2)△ABC是直角三角形;
(3)x1=0,x2=-1.
(1)直接将x=-1代入得出关于a,b的等式,进而得出a=b,即可判断△ABC的形状;
(2)利用根的判别式进而得出关于a,b,c的等式,进而判断△ABC的形状;
(3)利用△ABC是等边三角形,则a=b=c,进而代入方程求出即可.
(1)△ABC是等腰三角形;
理由:
∵x=-1是方程的根,
∴(a+c)×
(-1)2-2b+(a-c)=0,
∴a+c-2b+a-c=0,
∴a-b=0,
∴a=b,
∴△ABC是等腰三角形;
∵方程有两个相等的实数根,
∴(2b)2-4(a+c)(a-c)=0,
∴4b2-4a2+4c2=0,
∴a2=b2+c2,
∴△ABC是直角三角形;
(3)∵当△ABC是等边三角形,a=b=c
∴(a+c)x2+2bx+(a-c)=0,可整理为:
2ax2+2ax=0,
∴x2+x=0,
x1=0,x2=-1.
9.(本题10分)某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2,施工队在绿化了22000米2后,将每天的工作量增加为原来的1.5倍,结果提前4天完成了该项绿化工程.
(1)该项绿化工程原计划每天完成多少米2?
(2)该项绿化工程中有一块长为20米,宽为8米的矩形空地,计划在其中修建两块相同的矩形绿地,它们的面积之和为56米2,两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如图所示),问人行通道的宽度是多少米?
(1)2000;
(2)2.
(1)设未知数,根据题目中的的量关系列出方程;
(2)可以通过平移,也可以通过面积法,列出方程
(1)设该项绿化工程原计划每天完成x米2,
根据题意得:
﹣
=4
x=2000,
经检验,x=2000是原方程的解,
该绿化项目原计划每天完成2000平方米;
(2)设人行道的宽度为x米,根据题意得,
(20﹣3x)(8﹣2x)=56
x=2或x=
(不合题意,舍去).
人行道的宽为2米.
分式和二次方程的应用.
10.(本题9分)某服装柜在销售中发现:
进货价为每件50元,销售价为每件90元的某品牌服装平均每天可售出20件,现商场决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利,经市场调查发现:
如果每件服装降价1元,那么平均每天就可多售出2件,要想平均每天销售这种服装盈利l200元,同时又要使顾客得到较多的实惠,那么每件服装应降价多少元?
【答案】20元
设每件童装应降价x元,根据题意列出方程,即每件童装的利润×
销售量=总盈利,再求解,把不符合题意的舍去.
设每件童装应降价x元,
由题意,得
,解得
,为使顾客得到较多的实惠,应取x=20.故每件童装应降价20元.
11.(10’)有一批图形计算器,原售价为每台800元,在甲、乙两家公司销售.甲公司用如下方法促销:
买一台单价为780元,买两台每台都为760元.依此类推,即每多买一台则所买各台单价均再减20元,但最低不能低于每台440元;
乙公司一律按原售价的75%促销.某单位需购买一批图形计算器:
(1)若此单位需购买6台图形计算器,应去哪家公司购买花费较少;
(2)若此单位恰好花费7500元,在同一家公司购买了一定数量的图形计算器,请问是在哪家公司购买的,数量是多少?
【答案】本题考查了利用方程思想解决生活中的数学问题.只要把握住总花费=单价×
数量,这一等量关系,解决此题就会比较容易.注意不要忽视了单价不低于440元这个条件.
(1)应去乙公司购买;
(2)该单位是在甲公司购买的图形计算器,买了15台.
(1)把数量6分别代入甲乙两公司的计算方法即可求出到哪家公司购买花费较少;
可以利用等式总花费=单价×
数量;
(2)把总价7500代入甲乙两公司的计算方法,看哪个适合题意.
(1)在甲公司购买6台图形计算器需要用6×
(800﹣20×
6)=4080(元),
在乙公司购买需要用75%×
800×
6=3600(元)<4080(元),
∴应去乙公司购买;
2分
(2)设该单位买x台,若在甲公司购买则需要花费x(800﹣20x)元;
若在乙公司购买则需要花费75%×
800x=600x元;
①若该单位是在甲公司花费7500元购买的图形计算器,
则有x(800﹣20x)=7500,2分
解之得x1=15,x2=25.2分
当x1=15时,每台单价为800﹣20×
15=500>440,符合题意;
当x2=25时,每台单价为800﹣20×
25=300<440,不符合题意,舍去.1分
②若该单位是在乙公司花费7500元购买的图形计算器,
则有600x=7500,解之得x=12.5,不符合题意,舍去.2分
该单位是在甲公司购买的图形计算器,买了15台.1分
12.(8分)如图,△ABC中,∠C=90°
,AC=8cm,BC=4cm,一动点P从C出发沿着CB方向以1cm/S的速度运动,另一动点Q从A出发沿着AC方向以2cm/S的速度运动,P,Q两点同时出发,运动时间为t(s).
(1)当t为几秒时,△PCQ的面积是△ABC面积的
?
(2)△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半?
若能,求出t的值;
若不能,说明理由.
(1)t=2;
(2)△PCQ的面积不可能是△ABC面积的一半,理由详见解析
(1)根据三角形的面积公式可以求出时间t;
(2)由等量关系S△PCQ=
S△ABC列方程求出t的值,但方程无解.
(1)∵S△PCQ=
t(8﹣2t),S△ABC=
4×
8=16,
∴
t(8﹣2t)=16×
整理得t2﹣4t+4=0,
解得t=2.
当t=2s时△PCQ的面积为△ABC面积的
;
(2)当S△PCQ=
S△ABC时,
整理得t2﹣4t+8=0,
△=(﹣4)2﹣4×
1×
8=﹣16<0,
∴此方程没有实数根,
∴△PCQ的面积不可能是△ABC面积的一半.
2.三角形的面积.
13.(本题12分)已知,如图,在平面直角坐标系中,点A、B的横坐标恰好是方程
的解,点C的纵坐标恰好是方程
的解,点P从C点出发沿y轴正方向以1个单位/秒的速度向上运动,连PA、PB,D为AC的中点.
1)求直线BC的解析式;
2)设点P运动的时间为t秒,问:
当t为何值时,DP与DB垂直且相等?
3)如图2,若PA=AB,在第一象限内有一动点Q,连QA、QB、QP,且∠PQA=60°
,问:
当Q在第一象限内运动时,∠APQ+∠ABQ的度数和是否会发生改变?
若不变,请说明理由并求其值.
(1)直线BC的解析式为y=-x+2;
(2)当t=2秒,即CP=OC时,DP与DB垂直且相等;
(3)当Q在第一象限内运动时,∠APQ+∠ABQ的度数和不会发生改变,为180°
.理由见解析;
(1)解方程可求出A(-2,0),B(2,0),C(0,2),再设直线BC的解析式为y=kx+b,将B、C两点的坐标代入,用待定系数法即可求出直线BC的解析式;
(2)当t=2秒,即CP=OC时,DP与DB垂直且相等.为此,作DM⊥x轴于点M,作DN⊥y轴于点N,根据等腰直角三角形及角平分线的性质,利用SAS证明△PCD≌△BOD,则DP=DB,∠PDC=∠BDO,进而得到∠BDP=∠ODC=90°
,即DP⊥DB;
(3)在QA上截取QS=QP,连接PS,利用∠PQA=60°
,得出△QSP是等边三角形,进而得出△APS≌△BPQ,从而得出∠APQ+∠ABQ=60°
+∠APQ+∠PAS=180°
得出答案.
(1)解方程x2-4=0得,x1=-2,x2=2,所以A(-2,0)、B(2,0),
解方程x2-4x+4=0得x1=x2=2,所以C(0,2),
设直线BC的解析式为y=kx+b,将B、C两点的坐标代入,
得
∴直线BC的解析式为y=-x+2;
(2)当t=2秒,即CP=OC时,DP与DB垂直且相等.理由如下:
如图1,连接OD,作DM⊥x轴于点M,作DN⊥y轴于点N,
∵A(-2,0),C(0,2),
∴△OAC是等腰直角三角形,
∵D为AC的中点,
∴OD平分∠AOC,OD=DC=
AC,
∴DM=DN=OM=ON=m.
在△PCD与△BOD中,
∴△PCD≌△BOD(SAS),
∴DP=DB,∠PDC=∠BDO,
∴∠BDP=∠ODC=90°
即DP⊥DB;
(3)当Q在第一象限内运动时,∠APQ+∠ABQ的度数和不会发生改变.理由如下:
如图2,在QA上截取QS=QP,连接PS,
∵∠PQA=60°
∴△QSP是等边三角形,
∴PS=PQ,∠SPQ=60°
∵PO是AB的垂直平分线,
∴PA=PB,而PA=AB,
∴PA=PB=AB,
∴∠APB=∠ABP=60°
∴∠APS=∠BPQ,
∴△APS≌△BPQ(SAS),
∴∠PAS=∠PBQ,
∴∠APQ+∠ABQ
=∠APQ+(∠ABP+∠PBQ)
=60°
+(∠APQ+∠PBQ)
+(∠APQ+∠PAS)=60°
+120°
=180°
1、待定系数法;
2、全等三角形的判定与性质;
3、等腰直角三角形的判定与性质;
4、等边三角形的性质与判定
14.(本题7分)已知关于
的方程
无论
取任何实数值,方程总有实数根;
(2)若等腰三角形ABC的一边长
,另两边长
恰好是这个方程的两个根,求此三角形的周长.
(1)证明见解析;
(2)三角形的周长为16或22;
(1)由一元二次方程根的判别式,当△≥0时,方程有两个实数根,所以只需证明△≥0即可.
(2)先求出方程的两根x1=3k-1,x2=2,则可设b=2k,c=k+1,然后讨论:
当a、b为腰、当b、c为腰、当a、c为腰分别求出边长,但要满足三角形三边的关系,最后计算周长即可.
△=[-(3k+1)]2-4×
(2k2+2k),
=k2-2k+1,
=(k-1)2,
∵无论k取什么实数值,(k-1)2≥0,
∴△≥0,
所以无论k取什么实数值,方程总有实数根;
(2)x2-(3k+1)x+2k2+2k=0,
因式分解得:
(x-2k)(x-k-1)=0,
x1=2k,x2=k+1,
∵b,c恰好是这个方程的两个实数根,设b=2k,c=k+1,
当a、b为腰,则a=b=6,而a+b>c,a-b<c,所以三角形的周长为:
6+6+4=16;
当b、c为腰,则k+1=2k,解得k=1,
∴b=c=2,因为6,2,2不构成三角形,∴所以这种情况不成立;
当a、c为腰k+1=6则k=5,
∴b=10,
∴三角形的周长为:
6+6+10=22
综上,三角形的周长为16或22;
1、根的判别式;
2、等腰三角形的性质
15.(10分)如图,要设计一副宽20cm,长30cm的矩形图案,其中有两横两竖的彩条,横竖彩条的宽度都相同,如果使剩余面积为原矩形图案面积的
,应如何设计每个彩条的宽度?
【答案】应设计彩条宽为5cm
设每个彩条的宽度为xcm,根据题意,得
x1=5,x2=30(二倍大于30,舍去),
应设计彩条宽为5cm,
16.(本题10分)
山西特产专卖店销售核桃,其进价为每千克40元,按每千克60元出售,平均每天可售出100千克,后来经过市场调查发现,单价每降低2元,则平均每天的销售可增加20千克,若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元,请回答:
(2)在平均每天获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客,赢得市场,该店应按原售价的几折出售?
(1)4元或6元;
(2)九折.
(1)设每千克核桃应降价x元.根据题意,得
.
化简,得
解得
每千克核桃应降价4元或6元.
(2)由
(1)可知每千克核桃可降价4元或6元.因为要尽可能让利于顾客,所以每千克核桃应降价6元.此时,售价为:
60﹣6=54(元),
.
2.增长率问题.
17.如图所示,在△ABC中,∠B=90º
,△ABC三边长为整数且两直角边的长为关于
的两实数根,其中
为正整数,且AB<
BC
(1)求△ABC的三边长;
(2)点P从A点开始沿AB边向点B以1个单位长/秒的速度移动,而点Q从B点开始沿BC边向C以2个单位长/秒的速度移动,如果P,Q分别从A,B同时出发,经过几秒钟,△PBQ的面积为△ABC面积的
(1)AB=3BC=4AC=5
(2)t=1S或2S
(1)根据已知可知方程有两个不相等的根,由根的判别式可求出K的取值范围,又已知其中
为正整数可求出K的值.
(2)根据题意可表示出PB、QB的值,就可表示出△PBQ的面积,解方程求出时间即可.
(1)
解得
由已知
为正整数
,2
当
时,
这时AC=
AC不为整数舍
AB=3BC=4AC=5
(2)设ts
(
)
t=1S或2S
解一元二次方程,根的判别式,三角形的边的关系,勾股定理.
18.如图,某小区在宽20m,长32m的矩形地面上修筑同样宽的人行道(图中阴影部分),余下的部分种上草坪.要使草坪的面积为540m2,求道路的宽。
【答案】2米.
本题中我们可以根据矩形的性质,先将道路进行平移,然后根据矩形的面积公式列方程求解.
原图经过平移转化为图
设道路宽为x米,
根据题意,得(20-x)(32-x)=540.
整理得x2-52x+100=0.
解得x1=50(不合题意,舍去),x2=2.
道路宽为2米.
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