排列组合方法总结.doc
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排列组合方法总结.doc
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排列组合方法总结(新导航用)
1、【特殊元素、特殊位置】优先法
在排列、组合问题中,如果某些元素或位置有特殊要求,则一般需要优先满足要求。
例:
有0,1,2,3,4,5可以组成没有重复的五位奇数的个数为()
解析:
五位奇数的末尾必须是奇数,还有首位不能为0,都应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置,先安排末位共有;然后排首位共计有;最后排其他位置共计有;由分步计数原理得
2、【相邻问题】捆绑法
题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列.
例:
五人并排站成一排,如果必须相邻且在的右边,那么不同的排法种数有()
解析:
把视为一人,且固定在的右边,则本题相当于4人的全排列,种,
3、【相离问题】插空法
元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.
例:
七人并排站成一行,如果甲乙两人必须不相邻,那么不同的排法种数有()
解析:
除甲乙外,其余5个排列数为种,再用甲乙去插6个空位有种,不同的排法种数是种
4、【选排问题】先选后排法
从几类元素中取出符合题意的几个元素,再安排到一定的位置上,可用先选后排法.
例:
四个不同球放入编号为1,2,3,4的四个盒中,则恰有一个空盒的放法有多少种?
解析:
先取:
四个球中选两个为一组(捆绑法),其余两个球各自为一组的方法有种,再排:
在四个盒中每次排3个有种,故共有种.
5、【相同元素分配问题】隔板法
将n个相同的元素分成m份(m,n均为正整数),每份至少一个元素,可以用m-1块隔板插入n个元素排成一排的n-1个空隙中,所有分法数为:
。
例:
(1)10个三好生名额分到7个班级,每个班级至少一个名额,有多少种不同分配方案?
解析:
10个名额分到7个班级,就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆,每堆至少一个,可以在10个小球的9个空位中插入6块木板,每一种插法对应着一种分配方案
故共有不同的分配方案为为种
解析:
一、用先选后排法:
二、用隔板法+消序法:
答案选
(2)5本不同的书,全部分给4个学生,每个学生至少一本,不同的分法种数为()
解析:
一、用先选后排法:
6、【平均分组问题】消序法
平均分成的组,不管他们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后一定要消除顺序(除以,n为均分的组数),避免重复计数。
例:
6本不同的书平均分成3组,每堆2本的分法数有()种
解析:
分三步取书得中分法,但是这里出现重复计数的现象。
除去重复计数,即共有
7、【有序分配问题】逐分法
有序分配问题指把元素分成若干组,可用逐步下量分组
例:
将12名警察分别到三个不同的路口进行流量的调查,若每个路口4人,则不同的分配方案有()种
A、B、C、D、答案:
A
8、【可重复的排列问题】求幂法(分步)
允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象,元素不受位置的约束,可逐一安排元素的位置,一般地个不同元素排在个不同位置的排列数有种方法.
例:
把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法?
解析:
完成此事共分6步,第一步;将第一名实习生分配到车间有7种不同方案,第二步:
将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案,依次类推,由分步计数原理知共有种
9、【“至少”“至多”问题等用】排除法(也可用分类列举法)
例:
从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台,其中至少要甲型和乙型电视机各一台,则不同的取法共有()种
解析1:
逆向思考,至少各一台的反面就是分别只取一种型号,不取另一种型号的电视机,故不同的取法共有种,选.
解析2:
正向思考,至少要甲型和乙型电视机各一台可分两种情况:
甲型1台乙型2台;甲型2台乙型1台;故不同的取法有台,选.
10、【多元问题】分类列举法
例:
(1)由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有()
解析:
按题意,个位数字只可能是0,1,2,3,4共5种情况,分别有
个,合并总计300个,选
(2)30030能被多少个不同偶数整除?
3,5,7,11,13这5个因数中任取若干个组成成积,所有的偶因数为:
个.
解析:
先把30030分解成质因数的形式:
30030=2×3×5×7×11×13;依题意偶因数2必取,
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- 排列组合 方法 总结