解一元二次方程的方法文档格式.docx

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0时有2个不相等的实数根，b^2-4ac=0时有两个相等的实数根，b^2-4ac<

0时无实数根。

一般式

　　ax^2+bx+c=0（a、b、c是实数，a≠0）

例如：

x^2+2x+1=0

配方式

　　a（x+b/2a）^2=（b^2-4ac）/4a^2

两根式（交点式）

　　a（x-x1）（x-x2）=0

一般解法

1.分解因式法

　　（可解部分一元二次方程）

因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种）”和“十字相乘法”。

因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。

　　如

　　1.解方程：

　　解：

利用完全平方公式因式解得：

（x+1﹚^2=0

　　解得：

x?

=x?

=-1

　　2.解方程x（x+1）-3（x+1）=0

利用提公因式法解得：

（x-3）（x+1）=0

　　即x-3=0或x+1=0

　　∴x1=3，x2=-1

　　3.解方程x^2-4=0

（x+2）（x-2）=0

　　x+2=0或x-2=0

　　∴x?

=-2，x?

=2

　　十字相乘法公式：

　　x^2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）

　　例：

　　1.ab+b^2+a-b-2

　　=ab+a+b^2-b-2

　　=a（b+1）+（b-2）（b+1）

　　=（b+1）（a+b-2）

2.公式法

　　（可解全部一元二次方程）

　　首先要通过Δ=b^2-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根

　　1.当Δ=b^2-4ac<

0时x无实数根（初中）

　　2.当Δ=b^2-4ac=0时x有两个相同的实数根即x1=x2

　　3.当Δ=b^2-4ac>

0时x有两个不相同的实数根

　　当判断完成后，若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式：

x={-b±

√（b^2－4ac）}/2a

　　来求得方程的根

3.配方法

　　如：

解方程：

x^2+2x－3=0

把常数项移项得：

x^2+2x=3

　　等式两边同时加1（构成完全平方式）得：

x^2+2x+1=4

因式分解得：

（x+1）^2=4

x1=-3,x2=1

用配方法解一元二次方程小口诀

　　二次系数化为一

常数要往右边移

　　一次系数一半方

　　两边加上最相当

4.开方法

x^2-24=1

x^2=25

　　x=±

5

　　∴x?

=5x?

=-5

5.均值代换法

　　ax^2+bx+c=0

　　同时除以a，得到x^2+bx/a+c/a=0

　　设x1=-b/（2a）+m，x2=-b/（2a）-m（m≥0）

　　根据x1*x2=c/a

　　求得m。

　　再求得x1,x2。

x^2-70x+825=0

　　均值为35，设x1=35+m，x2=35-m（m≥0）

　　x1*x2=825

　　所以m=20

　　所以x?

=55，x?

=15。

一元二次方程根与系数的关系（以下两个公式很重要，经常在考试中运用到）

　　一般式：

ax^2+bx+c=0的两个根x?

和x?

的关系：

　　x1+x2=-b/a

x1*x2=c/a

如何选择最简单的解法

　　1．看是否能用因式分解法解（因式分解的解法中，先考虑提公因式法，再考虑平方公式法，最后考虑十字相乘法）

　　2．看是否可以直接开方解

　　3．使用公式法求解

　　4．最后再考虑配方法（配方法虽然可以解全部一元二次方程，但是有时候解题太麻烦）。

如果要介入竞赛，可按如下顺序：

　　1.因式分解2.韦达定理3.判别式4.公式法5.配方法6.开平方7.求根公式8.暗示法

例题精讲

1、开方法：

直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。

用直接开平方法解形如（x-m）^2=n（n≥0）的方程，其解为x=m±

√n

　　例1．

（1）（3x+1）^2=7分析：

此方程显然用直接开平方法好做。

（1）解：

（3x+1）^2=7

3x+1=±

√7

∴x1=...,x2=...

（2）9x^2-24x+16=11方程左边是完全平方式（3x-4）^2，右边=11>

0，所以此方程也可用直接开平方法解

解：

9x^2-24x+16=11

　　（3x-4）^2=11

　　3x-4=±

√11

　　　∴x1=...,x2=...

2．配方法：

例1用配方法解方程3x^2-4x-2=0

将常数项移到方程右边3x^2-4x=2

　　将二次项系数化为1：

x^2-4/3x=2/3

　　方程两边都加上一次项系数一半的平方：

x^2-4/3x+（-2/3）^2=2/3+（-2/3）^2

　　配方：

（x-2/3）^2=10/9

　　直接开平方得：

x-2/3=±

√（10）/3

=,x?

=.∴原方程的解为x?

=,x?

=.

3．公式法：

把一元二次方程化成ax^2+bx+c的一般形式，然后把各项系数a,b,c的值代入求根公式就可得到方程的根。

当Δ=b^2-4ac>

0时，求根公式为x1=[-b+√（b^2-4ac）]/2a,x2=[-b-√（b^2-4ac）]/2a（两个不相等的实数根）

当Δ=b^2-4ac=0时，求根公式为x1=x2=-b/2a（两个相等的实数根）

当Δ=b^2-4ac<

0时，求根公式为x1=[-b+√（4ac-b^2）i]/2a,x2=[-b-√（4ac-b^2）i]/2a

（两个虚数根）（初中理解为无实数根）

例3．用公式法解方程2x^2-8x=-5

将方程化为一般形式：

2x^2-8x+5=0

　　∴a=2,b=-8，c=5

　　b^2-4ac=（-8）^2-4×

2×

5=64-40=24>

0

　　∴x=（4±

√6）/2

　　∴原方程的解为x?

=（4+√6）/2,x?

=（4-√6）/2.

4．因式分解法：

把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得的根，就是原方程的两个根。

这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

例4．用因式分解法解下列方程：

（1）（x+3）（x-6）=-8

化简整理得x^2-3x-10=0（方程左边为二次三项式，右边为零）

（x-5）（x+2）=0（方程左边分解因式）

∴x-5=0或x+2=0（转化成两个一元一次方程）

∴x?

=5,x?

=-2是原方程的解。

（2）2x^2+3x=0

x（2x+3）=0（用提公因式法将方程左边分解因式）

　∴x=0或2x+3=0（转化成两个一元一次方程）

=0，x?

=-3/2是原方程的解。

注意：

容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程通常有两个解。

（3）6x^2+5x-50=0（选学）

（十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错）

∴2x-5=0或3x+10=0

=5/2,x?

=-10/3是原方程的解。

（4）x^2-4x+4=0

（x+2）（x-2）=0

=-2,x?

=2是原方程的解。

小结

　　一般解一元二次方程，最经常使用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。

直接开平方法是最基本的方法。

公式法和配方法是最重要的方法。

公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算根的判别式的值，以便判断方程是否有解。

配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不必配方法解一元二次方程。

但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好。

（三种重要的数学方法：

换元法，配方法，待定系数法）。