概率论与数理统计知识总结之第一章Word文件下载.docx
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称|Ak为可列个事件k1k1
A,A2,…的积事件。
4.事件AB{x|xA且xB}称为事件A与事件B的差事件。
当且仅当A发生、B不发生时事件AB发生。
5.若AB,则称事件A与B是互不相容的,或互斥的。
这指的是事件A与
事件B不能同时发生。
基本事件是两两互不相容的
6.若ABS且A
B,则称事件A与事件B互为逆事件。
又称事件A与事
件B互为对立事件。
这指的是对每次试验而言,事件A,B中必有一个发生。
A的
对立事件A.AS
A.
设代B,C为事件,则有
交换律:
AB
B
A;
A
结合律:
A(B
C)
(A
B)
C;
C.
分配律:
C);
C).
德•摩根律:
A
B:
B.
频率与概率
频率:
在相同的条件下,进行了n次试验,在这n次试验中,事件A发生的次数nA,
称为事件A发生的频数,比值nA/n称为事件A发生的频率,并记成fnA
频率的基本性质:
1.0三fnA三1
2.fnS=1
3.若A,A2,…人是两两互不相容的事件,则
fn(AA2…Ak)=fn(A1)fn(Ak)
概率:
设E是随机试验,S是它的样本空间,对于E的每一事件A赋予一个实数,记
为P(A),称为事件A的概率,如果集合函数P(-)满足下列条件:
1.非负性
2.规范性:
对于必然事件S,有P(S)=1
3.可列可加性:
P(A1A2…)=P(A1)+P(A2)+…
概率的性质:
1.P()=0
2.(有限可加性)若A1,A2,…,代是两两互不相容的事件,则有
P(AA2…An)=P(A)+P(A2)+…+P(An)
3.设A,B是两个事件,若AB,则有
P(B-A)=P(B)-P(A),P(B)>
P(A)
4.对于任一事件A,P(A)<
1
5.对于任一事件A,有P(A)=1-P(A)
6.对于任意两事件A,B有P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)
一般地,对于任意n个事件A,A2,…,宀,可以用归纳法得出
P(AA2…An)=P(Ai)-P(AAj)+AAjAk+…
i11ijn1ijkn
+
(1)n1P(AAAAJ
等可能概型(古典概型)
定义:
具有以下两个特点的试验称为等可能概型:
1.试验的样本空间只包含有限个元素
2.试验中每个基本事件发生的可能性相同
事件概率计算公式:
若事件A包含k个基本事件,即Aqe2八eij
k
P(A)=P(e)=kn=(A包含的基本事件数)/(S中基本事件的总数)
j1
实际推断原理:
人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发
生的”
条件概率
事件A已发生的条件下事件B发生的概率
设A,B是两个事件,且P(A)>
0,称P(B|A)=P(AB)/P(A)为在事件A发生的条件
下事件B发生的条件概率•
条件概率P(-|A)的性质:
1.非负性:
P(B|A)>
0
对于必然事件S,有P(S|A)=1
设B,,B2,…是两两互不相容的事件,则有
P(UBi|A)P(Bi|A)
11ii
对于任意事件B,C,有
P(BUC|A)=P(B|A)+P(C|A)-P(BC|A)
乘法定理:
设P(A)>
0,则有P(AB)=P(B|A)P(A)
一般,设AA,…,An为n个事件,n》2,且代J>
0,则有
P(A!
A2AAn)P(An|几人2八Ani)P(An1|几几八乓2)八P(A?
|A)P(A)
划分:
设S为试验E的样本空间,Bi,B2,ABn为E的一组事件,若
1.BiBj,ij,i,j1,2,a,n
2.B1B2ABnS,
则称Bi,B2,ABn为样本空间S的一个划分
全概率公式:
设试验E的样本空间为S,A为E的事件,Bi,B2,ABn为S的一个划分,且
P(Bi)0(i1,2,A,n),则
P(A)P(AB1)P(B1)P(AB2)P(B2)AP(ABn)P(Bn)
贝叶斯公式:
设试验E的样本空间为S,A为E的事件,Bi,B2,ABn为S的一个划分,且P(A)>
0,
P(Bi)0(i1,2,A,n),则
P(BiA)P(ABi)P(Bi)/P(ABj)P(Bj)
ji
先验概率:
根据以往数据分析得到的概率后验概率:
在得到信息之后再重新加以修正的概率
独立性:
设A,B是两事件,如果满足等式P(AB)=P(A)P(B)则称事件A,B相互独立,简称A,B独立
定理一:
设A,B是两事件,且P(A)>
0,若A,B相互独立,则P(B|A)=P(B),反之亦然。
定理二:
若事件A与B相互独立,则下列各对事件也相互独立:
A与B,A与B,A与B
设A,B,C是三个事件,如果满足等式:
P(AB)P(A)P(B)
P(AC)P(A)P(C)
P(BC)P(B)P(C)
P(ABC)P(A)P(B)P(C)
则称事件A,B,C相互独立。
一般,设AA,…,宀是n(n>
2)个事件,如果对于其中任意2个,任意3个,……,任意n个事件的积事件的概率,都等于各事件概率之积,则称事件A,,A?
…,An相互独立。
推论:
1.若事件AA,…A(n》2)相互独立,则其中任意k(2wk<
n)个事件也是相互独
2.若n个事件a,A2,…,乓(n》2)相互独立,则将Ai,A?
…,An中任意多个事件换
成它们的对立事件,所得的n各事件仍相互独立
Pmmm!
从m个人中挑出n个人进行排列的可能数
(1)排列
(mn)!
组合公式
cmm!
从m个人中挑出n个人进行组合的可能数
n!
加法原理(两种方法均能完成此事):
m+n
某件事由两种方法来完成,第一种方法可由m种方法完成,第二种
(2)加法
方法可由n种方法来完成,则这件事可由m+n种方法来完成。
和乘法原
乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事):
mxn
理
某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由m种方法完成,第二个
步骤可由n种方法来完成,则这件事可由mxn种方法来完成。
重复排列和非重复排列(有序)
(3)—些
对立事件(至少有一个)
常见排列
顺序问题
如果一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果
(4)随机
不止一个,但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果,则
试验和随
称这种试验为随机试验。
机事件
试验的可能结果称为随机事件。
在一个试验下,不管事件有多少个,总可以从其中找出这样一组事
(5)基本
件,它具有如下性质:
事件、样
①每进行一次试验,必须发生且只能发生这一组中的一个事件;
本空间和
②任何事件,都是由这一组中的部分事件组成的。
事件
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件,用来表示。
基本事件的全体,称为试验的样本空间,用表示。
一个事件就是由中的部分点(基本事件)组成的集合。
通常用
大写字母A,B,C,…表示事件,它们是的子集。
为必然事件,?
为不可能事件。
不可能事件(?
)的概率为零,而概率为零的事件不一定是不可能事件;
同理,必然事件(Q)的概率为1,而概率为1的事件也不一定是必然事件。
(6)事件
的关系与
运算
1关系:
如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分,(A发生必有事件
B发生):
如果同时有AB,BA,则称事件A与事件B等价,或称A
等于B:
A=B。
A、B中至少有一个发生的事件:
AB,或者A+B。
属于A而不属于B的部分所构成的事件,称为A与B的差,记为A-B,也可表示为A-AB或者AB,它表示A发生而B不发生的事件。
A、B同时发生:
AB,或者AB。
AB=?
,则表示A与B不可
冃匕同时发生,称事件A与事件B互不相谷或者互斥。
基本事件疋互不相容的。
-A称为事件A的逆事件,或称A的对立事件,记为A。
它表示
A不发生的事件。
互斥未必对立。
2运算:
结合率:
A(BC)=(AB)CAU(BUC)=(AUB)UC
分配率:
(AB)UC=(AUC)n(BUC)(AUB)AC=(AC)U(BC)
Ai瓦
德摩根率:
"
i1ABAB,ABAB
(7)概率
的公理化
定义
设为样本空间,A为事件,对每一个事件A都有一个实数P(A),若满足下列三个条件:
1°
0<
P(A)1手
2°
P()0=1
3°
对于两两互不相容的事件A1,A2,…有
PAiP(Ai)
i1i1
常称为可列(完全)可加性。
则称P(A)为事件A的概率。
(8)古典
概型
11,2n,
1
P
(1)P
(2)P(n)-。
设任一事件A,它是由1,2m组成的,则有
P(A)=
(1)
(2)(m)=P
(1)P
(2)P(m)
mA所包含的基本事件数
n基本事件总数
(9)几何
若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀,同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述,则称此随机试验为几何概型。
对任一事件A,
P(A)。
其中L为几何度里(长度、面积、体积)。
L()
(10)加
法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
当P(AB)=0时,P(A+B)=P(A)+P(B)
(11)减
P(A-B)=P(A)-P(AB)
当BA时,P(A-B)=P(A)-P(B)
当A=0时,P(B)=1-P(B)
(12)条
定义设A、B是两个事件,且P(A)>
0,则称旦也为事件A发生条
P(A)
件概率
件下,事件B发生的条件概率,记为P(B/A)旦理o
条件概率是概率的一种,所有概率的性质都适合于条件概率。
例如P(Q/B)=1P(B/A)=1-P(B/A)
(13)乘
乘法公式:
P(AB)P(A)P(B/A)
更一般地,对事件A1,A2,…An,若P(A#2…An-1)>
0,则有
P(A1A2…An)P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A2…
An1)o
(14)独
立性
1两个事件的独立性
设事件A、B满足P(AB)P(A)P(B),则称事件A、B是相互独立的。
若事件A、B相互独立,且P(A)0,则有
P(B|A)P(AB)P(A)P(B)P(B)
P(A)P(A)
若事件A、B相互独立,则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。
必然事件和不可能事件?
与任何事件都相互独立。
?
与任何事件都互斥。
2多个事件的独立性
设ABC是三个事件,如果满足两两独立的条件,
P(AB)=P(A)P(B);
P(BC)=P(B)P(C);
P(CA)=P(C)P(A)
并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
那么A、B、C相互独立。
对于n个事件类似。
(15)全
概公式
设事件B1,B2,,Bn满足
B1,B2,,Bn两两互不相容,P(Bi)0(i1,2,,n),
ABi
i1,(分类讨论的
则有
P(A)P(B1)P(A|B1)P(B2)P(A|B2)P(Bn)P(A|Bn)。
(16)贝
设事件B1,B2,…,Bn及A满足
叶斯公式
B1,B2,…,Bn两两互不相容,P(Bi)>
0,i1,2,…,n,
i1,P(A)0,(已经知道结果求原因
贝U
P(Bi)P(A/BJ
P(Bj)P(A/Bj)
此公式即为贝叶斯公式
P(Bi),(i1,2,…,n),通常叫先验概率。
P(Bi/A),(i1,
2,…,n),通常称为后验概率。
贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律,并作出了“由果朔因”的推断。
我们作了n次试验,且满足
7.每次试验只有两种可能结果,A发生或A不发生;
8.n次试验是重复进行的,即A发生的概率每次均一样;
9.每次试验是独立的,即每次试验A发生与否与其他次试验A发生
(17)伯
努利概型
与否是互不影响的。
这种试验称为伯努利概型,或称为n重伯努利试验。
用P表示每次试验A发生的概率,则A发生的概率为1pq,用
Pn(k)表示n重伯努利试验中A出现k(0kn)次的概率,
kknk
Pn(k)CnPq,k0,1,2,,n。
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- 关 键 词:
- 概率论 数理统计 知识 总结 第一章