初中数学竞赛辅导资料(21).doc
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初中数学竞赛辅导资料(21)
比较大小
甲内容提要
1.比较两个代数式的值的大小,一般要按字母的取值范围进行讨论,常用求差法。
根据不等式的性质:
当a-b>0时,a>b; 当a-b=0时,a=b; 当a-b<0时a<b。
2.通常在写成差的形式之后,用因式分解化为积的形式,然后由负因数的个数决定其符号。
3.需要讨论的可借助数轴,按零点分区。
4.实数(有理数和无理数的统称)的平方是非负数,在决定符号时常用到它。
即若a是实数,则a2≥0,由此而推出一系列绝对不等式(字母不论取什么值,永远成立的不等式)。
诸如
(a-b)2≥0, a2+1>0, a2+a+1=(a+)2+>0
-a2≤0, -(a2+a+2)<0 当a≠b时,-(a-b)2<0
乙例题
例1试比较a3与a的大小
解:
a3-a=a(a+1)(a-1)
a3-a=0,即a3=a
以-1,0,1三个零点把全体
实数分为4个区间,由负因数的个数决定其符号:
当a<-1时,a+1<0,a<0,a-1<0(3个负因数)∴a3-a<0 即a3<a
当-1<a<0时 a<0,a-1<0(2个负因数) ∴a3-a>0 即a3>a
当0<a<1时, a-1<0(1个负因数) ∴a3-a<0 即a3<a
当a>1时,没有负因数, ∴a3-a>0 即a3>a
综上所述当a=0,-1,1时,a3=a
当a<-1或0<a<1时,a3<a
当-1<a<0或a>1时,a3>a。
(试总结符号规律)
例2什么数比它的倒数大?
解:
设这个数为x,则当并且只当x->0时,x比它的倒数大,
x-= -1 0 1
以三个零点-1,0,1把实数分为4个区间,由例1可知
当x>1或-1<x<0时,x比它的倒数大。
例3 己知步行的速度是骑车速度的一半,自行车速度是汽车速度的一半,甲、乙两人同时从A去B,甲乘汽车到中点,后一半用歩行,乙全程骑自行车,问誰先到达?
解:
设从A到B有x千米,步行速度每小时y千米,那么甲、乙走完全程所用时间分别是t甲=, t乙=
t甲-t乙= ∵x>0,y>0 ∴t甲-t乙>0
答:
乙先到达B地
例4己知a≠b≠c,求证:
a2+b2+c2>ab+bc+ca
证明:
a2+b2+c2-ab+bc+ca=×2(a2+b2+c2-ab+bc+ca)
=(2a2+2b2+2c2-2ab+2bc+2ca)
=[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]
∵a≠b≠c,(a-b)2>0,(b-c)2>0,(c-a)2>0
∴a2+b2+c2>ab+bc+ca
又证:
∵a≠b,∴(a-b)2>0 a2+b2>2ab
(1)
同理b2+c2>2bc
(2)c2+a2>2ca(3)
(1)+
(2)+(3)得2a2+2b2+2c2>2ab+2bc+2ca 即a2+b2+c2>ab+bc+ca
例5 比较3(1+a2+a4)与(1+a+a2)2的大小
解:
3(1+a2+a4)-(1+a+a2)2=3[(1+a+a2)2-2a-2a2-2a3]-(1+a+a2)2
=2(1+a+a2)2-6a(1+a+a2)
=2(1+a+a2)(1+a+a2-3a)=2(1+a+a2)(1-a)2
∵1+a+a2=(>0, (1-a)2≥0
∴当a=1时,3(1+a2+a4)=(1+a+a2)2
当a≠1时,3(1+a2+a4)>(1+a+a2)2
例6解方程
解:
以-0.5,和2两个零点分为3个区间
当x<-0.5时,-(2x+1)-(x-2)=4,解得x=-1
当-0.5≤x<2时,(2x+1)-(x-2)=4,解得x=1
当x≥2时,(2x+1)+(x-2)=4 解得x=,∴在x≥2范围无解
综上所述原方程有两个解x=-1,x=1
丙练习21
1.己知a>0,b<0,且a+b<0.试把a,b,0及其相反数记在数轴上。
并用“<”号把它们连接。
2.比较下列各组中的两个数值的大小:
①a4与a2②与
3.什么数的平方与立方相等?
什么数的平方比立方大?
4.甲乙两人同时从A去B,甲一半路程用时速a千米,另一半路程用时速b千米;乙占总时间的一半用时速a千米,另一半时间用时速b千米,问两人誰先到达?
5.己知 a>b>c>d>0且a∶b=c∶d,试比较a+c与b+d的大小
6.己知a
ax+by>ay+bx
7.己知a
求证:
①ax+by+cz>az+bx+cy②ax+by+cz>az+bx+cy
(提示:
可应用第6题的结论)
8.己知a
不能成立的,请举个反例。
① ②ab<1③④a-2b<0
9.若a,b,c都是大于-1的负数,(即-1<a,b,c<0下列不等式哪些不能成立?
试各举一个反例。
①a+b-c>0②(abc)2>1③a2-b2-c2<0④abc>-1
10.水池装有编号为①②③④⑤的5条水-管,其中有的是进水管,有的是出水管,同时开放其中的两条水管,注满水池所用的时间列表如下
开放的水管号
①②
②③
③④
④⑤
⑤①
时间(小时)
2
15
6
3
10
问单独开放哪条水管能最快注満水池?
答:
___
(1989年全国初中数学联赛题)
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