初中二次函数的解题方法Word文档格式.docx
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对称轴为直线x=h或者x=-b/2a对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。
特别地,当h=0时,二次函数图像的对称轴是y轴(即直线x=0);
a,b同号,对称轴在y轴左b=0,对称轴是y轴;
a,b异号,对称轴在y轴右侧
2.二次函数图像有一个顶点P,坐标为P(h,k)当h=0时,P在y轴上;
当k=0时,P在x轴上。
h=-b/2ak=(4ac-b2)/4a
3.二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。
当a>
0时,二次函数图像向上开口;
当a<
0时,抛物线向下开口。
|a|越大,则二次函数图像的开口越小。
有时也可以考虑图像的整体性质、特殊点的位置及二次方程的联系,结合韦达定理和判别式定理确定a,b,c,△及系数的代数符号。
常见问题
1、抛物线中特殊点组成的三角形问题:
抛物线线中的特殊三角形主要有两类:
(1)、抛物线与x轴的两个交点和与y轴的交点所组成的三角形;
(2)、抛物线与x轴的两个交点和顶点所组成的三角形。
解决策略是:
应用平面几何的有关定理,如等腰三角形的三线合一、直角三角形的勾股定理、射影定理、斜边中线定理等结合两点间的距离公式及二次方程的求根公式、判别式定理、韦达定理等知识求解。
用到的数学思想方法有数形结合、分类讨论、转化等。
2、二次函数的定点和动点问题:
求动点运动所形成的直线或曲线一般采用消去参数法,即消去参数以后的方程即为动点需满足的函数解析式。
解决定点问题有两个解决办法:
(1)特殊值法,即令参数取两个符合条件的特殊值,通过解方程组求解,解即为顶点坐标。
(2)转化为参数为主元的方程问题,即方程有无穷多解,得到系数为零的条件再讨论解决。
3、求抛物线的顶点、两坐标轴的交点以及抛物线与其它图象的交点等点所构成的面积,关键是用含系数a、b、c的代数式表示出点的坐标或线段长,使面积问题与系数a、b、c建立联系.
4、二次函数与整数问题
二次函数与整数问题的联姻主要表现在系数a、b、c为整数、整点以及某范围内的参数的整数值等.解题时往往要用到一些整数的分析方法.
5、二次函数的最值问题
定义域是闭区间时,二次函数存在两个最值(最大值和最小值).如果顶点横坐标在区间内,则在顶点处与距顶点较远的端点处各取一个最值;
如果顶点横坐标不在区间内,则在区间两端点处各取一个最值.定义域是开区间时,二次函数只有其顶点横坐标在区间内的才在顶点处取得一个最值,否则不存在最值.
在初中数学竞赛中,二次函数是解决一些实际问题的有效工具,二次函数本身也蕴含着丰富的内涵,因此,在近几年的全国数学竞赛中,有关二次函数试题频频出现,并有不断拓展和加深的趋势。
例1 抛物线y=ax2+bx+c的顶点为(4,-11),且与x轴的两个交点的横坐标为一正一负.则a、b、c中为正数的()
A、只有aB、只有bC、只有cD、有a和b
解:
由顶点为(4,-11),抛物线交x轴于两点,知a>
0.设抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为x1,x2,即x1、x2为方程ax2+bx+c=0的两个根,由题设x1x2<
0知
<
0,所以c<
0,又对称轴为x=4知-
>
0,故b<
0.故选(A).
例2 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的系数a、b、c都是整数,并且f(19)=f(99)=1999,|c|<
1000,则c=.
由已知f(x)=ax2+bx+c,且f(19)=f(99)=1999,因此可设f(x)=a(x-19)(x-99)+1999,
所以ax2+bx+c=a(x-19)(x-99)+1999
=ax2-(19+99)x+19×
99a+1999,故c=1999+1881a.
因为|c|<
1000,a是整数,a≠0,经检验,只有a=-1满足,此时c=1999-1881=118.
例3已知a,b,c是正整数,且抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点A,B,若A、B到原点的距离都小于1,求a+b+c的最小值.
设A、B的坐标分别为A(x1,0),B(x2,0),且x1<
x2,则x1,x2是方程ax2+bx+c=0的两个根.
∴
∴x1<
0,x2<
又由题设可知△=b2-4ac>
0,∴b>
2
①
∵|OA|=|x1|<
1,|OB|=|x2|<
1,即-1<
x1,x2<
0,
=x1x2<
1,∴c<
a②
∵抛物线y=ax2+bx+c开口向上,且当x=-1时y>
∴a(-1)2+b(-1)+c>
0,即a+c>
b.
∵b,a+c都是整数,∴a+c≥b+1③
由①,③得a+c>
+1,∴(
)2>
1,又由②知,
1,
+1,即a>
(
+1)2≥(
+1)2=4
∴a≥5,又b>
≥2
4,∴b≥5
取a=5,b=5,c=1时,抛物线y=5x2+5x+1满足题意.
故a+b+c的最小值为5+5+1=11.
例4 如果y=x2-(k-1)x-k-1与x轴的交点为A,B,顶点为C,那么△ABC的面积的最小值是()
A、1B、2C、3D、4
由于△=(k-1)2+4(k+1)=(k+1)2+4>
0,所以对于任意实数k,抛物线与x轴总有两个交点,设两交点的横坐标分别为x1,x2,则:
|AB|=
又抛物线的顶点c坐标是(
),
因此S△ABC=
·
因为k2+2k+5=(k+1)2+4≥4,当k=-1时等于成立,
所以,S△ABC≥
,故选A.
例5
已知二次函数y=x2-x-2及实数a>
-2.求:
(1)函数在-2<
x≤a的最小值;
(2)函数在a≤x≤a+2的最小值.
函数y=x2-x-2的图象如图1所示.
(1)若-2<
a<
,
当x=a时,y最小值=a2-a-2
若a≥
,当x=
时,y最小值=-
.
(2)若-2<
a且a+2<
,即-2<
-
,当x=a+2时,y最小值=(a+2)2-(a+2)-2=a2+3a,若a<
≤a+2,即-
≤a<
,当x=a时,y最小值=a2-a-2.
例6 当|x+1|≤6时,函数y=x|x|-2x+1的最大值是.
由|x+1|≤6,得-7≤x≤5,当0≤x≤5时,y=x2-2x+1=(x-1)2,此时y最大值=(5-1)2=16.
当-7≤x<
0,y=-x2-2x+1=2-(x+1)2,此时y最大值=2.
因此,当-7≤x≤5时,y的最大值是-16.
说明:
对于含有绝对值的二次函数,通常是先分区间讨论,去掉绝对值符号,求出各区间的最值,然后通过比较得出整个区间函数的最值.
例7、已知二次函数y=x^2+(k+2)x+k+5与x轴的两个不同交点的横坐标都是正的,那么,k的值应为()
A.k>4或k<-5
B.-5<k<-4
C.k≥-4或k≤-5
D.-5≤k≤-4
因为与X轴有2个交点
所以b^2-4ac=(k+2)^2-4(k+5)>
0——
(1)
设与x轴交点分别为x1,x2
则x1+x2=-(k+2)>
0——
(2)
x1*x2=k+5>
0——(3)
解得-5<
k<
-4
选B
例8.已知二次函数y=x²
+bx+c的图像经过点(-1,0),(1,-2),当y随x的增大而增大时,x的取值范围是__[3/4,+∝)__.
解析:
把点(-1,0),(1,-2)代入二次函数数,可解得
b=-3/2函数的对称轴为x=-(-3/2)/2=3/4
a=1>0,函数开口向上,单调递增区间是[3/4,+∝)
.例9.
二次函数y=ax^2+bx+c,当x取整数时,y值也是整数,这样的二次函数叫作整点二次函数,请问是否存在a的绝对值小于0.5的整点二次函数,若存在请写出一个,若不存在请说明理由。
解答:
(方法1)(反证法)假设存在二次项系数a的绝对值小于0.5的整点二次函数,(a≠0)
则当x=0时,y=c,即c为整数,
同理,当x=1时,y=a+b+c=m,x=-1时,y=a-b+c=n,其中m、n都应为整数,
两式相加,2a+2c=m+n,推知2a也应为整数,而|a|<
0.5,即|2a|<
1,矛盾。
所以不存在a的绝对值小于0.5的整点二次函数。
(方法2)
x=0时,y=c是整数
x=1时,y=a+b+c是整数
x=-1时,y=a-b+c是整数
∴(a+b+c)+(a-b+c)=2a+2c是整数
而2c是整数
例10.
已知y=x²
-│x┃-12的图象与x轴交于相异两点A,B另一抛物线y=ax²
+bx+c过A,B,顶点为P,且△APB是等腰直角三角形,求a,b,c
显然A,B坐标为(-4,0),(4,0).
y=ax²
+bx+c过A,B,所以b=0,c/a=-16,P点坐标为:
(0,-16a)
由于APB是等腰直角三角形,所以AB^2=AP^2+BP^2,
求出a=±
1/4.
所以a=1/4,b=0,c=-4或者a=-1/4,b=0,c=4.
例11.
例12 已知a<
0,b≤0,c>
0,且
=b-2ac,求b2-4ac的最小值.
令y=ax2+bx+c,由于a<
0,则△=b2-4ac>
所以,此二次函数的图像是如图2所示的一条开口向下的抛物线,且与x轴有两个不同的交点A(x1,0),B(x2,0).
因为x1x2=
0,不妨设x1<
x2,则x1<
0<
x2,对称轴x=-
≤0,于是
|x1|=
故
≥c=
≥-
∴b2-4ac≥4,当a=-1,b=0,c=1时,等号成立.
因此,b2-4ac的最小值为4.
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