八年级下相似图形总复习.doc
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相似图形
一、基础知识
(一).比例
1.第四比例项、比例中项、比例线段;
2.比例性质:
(1)基本性质:
(2)合比定理:
(3)等比定理:
3.黄金分割:
如图,若,则点P为线段AB的黄金分割点.
4.平行线分线段成比例定理
(二)相似
1.定义:
我们把具有相同形状的图形称为相似形.
2.相似多边形的特性:
相似多边的对应边成比例,对应角相等.
3.相似三角形的判定
l
(1)平行于三角形一边的直线与其它两边相交,所构成的三角形与原三角形相似。
l
(2)如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似。
l(3)如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似。
l(4)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。
4.相似三角形的性质
l
(1)对应边的比相等,对应角相等.
l
(2)相似三角形的周长比等于相似比.
l(3)相似三角形的面积比等于相似比的平方.
l(4)相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比.
5.三角形中位线定义:
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
三角形中位线性质:
三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半。
6.梯形的中位线定义:
梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线.
梯形的中位线性质:
梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半.
7.相似三角形的应用:
1、利用三角形相似,可证明角相等;线段成比例(或等积式);
2、利用三角形相似,求线段的长等
3、利用三角形相似,可以解决一些不能直接测量的物体的长度。
如求河的宽度、求建筑物的高度等。
(三)位似:
位似:
如果两个图形不仅是相似图形,而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点,那么这样的两个图形叫做位似图形。
这个点叫做位似中心.这时的相似比又称为位似比.
位似性质:
位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比
二、经典例题
例1.如图在4×4的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在长为1的小正方形顶点上.
(1)填空:
∠ABC=______,BC=_______.
(2)判定△ABC与△DEF是否相似?
例2.如图所示,D、E两点分别在△ABC两条边上,且DE与BC不平行,请填上一个你认为适合的条件_________,使得△ADE∽△ABC.
例3.如图,王华晚上由路灯A下的B处走到C处时,测得影子CD的长为1米,继续往前走2米到达E处时,测得影子EF的长为2米,已知王华的身高是1.5米,那么路灯A的高度等于()
A.4.5米B.6米C.7.2米D.8米
例4.如图,△ABC是一块锐角三角形余料,边BC=120mm,高AD=80mm,要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB、AC上,这个正方形零件的边长是多少?
_
A
_
B
_
C
_
E
_
F
_
D
例5.如图,已知四边形BDFE是菱形,DC=BD,且DC=4,求AE的长度
例6.如图,在△ABC中,AB=14,AC=6,在AC上取一点D,使AD=3,如果在AB上取点E,使△ADE和△ABC相似,则AE的长度为多少?
三.课堂训练
(一)选择题
1.梯形两底分别为m、n,过梯形的对角线的交点,引平行于底边的直线被两腰所截得的线段长为( )
(A) (B) (C) (D)
2.如图,在正三角形ABC中,D,E分别在AC,AB上,且=,AE=BE,则( )
(A)△AED∽△BED(B)△AED∽△CBD(C)△AED∽△ABD(D)△BAD∽△BCD
题2题4题5
3.P是Rt△ABC斜边BC上异于B、C的一点,过点P作直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC相似,满足这样条件的直线共有( )
(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条
4.如图,∠ABD=∠ACD,图中相似三角形的对数是( )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
5.如图,ABCD是正方形,E是CD的中点,P是BC边上的一点,下列条件中,不能推出△ABP与△ECP相似的是( )
(A)∠APB=∠EPC (B)∠APE=90°(C)P是BC的中点(D)BP︰BC=2︰3
6.如图,△ABC中,AD⊥BC于D,且有下列条件:
(1)∠B+∠DAC=90°;
(2)∠B=∠DAC;(3)=;(4)AB2=BD·BC
其中一定能够判定△ABC是直角三角形的共有( )
(A)3个 (B)2个 (C)1个 (D)0个
题6题7题8
7.如图,将△ADE绕正方形ABCD顶点A顺时针旋转90°,得△ABF,连结EF交AB于H,则下列结论中错误的是( )
(A)AE⊥AF (B)EF︰AF=︰1(C)AF2=FH·FE (D)FB︰FC=HB︰EC
8.如图,在矩形ABCD中,点E是AD上任意一点,则有( )
(A)△ABE的周长+△CDE的周长=△BCE的周长
(B)△ABE的面积+△CDE的面积=△BCE的面积
(C)△ABE∽△DEC(D)△ABE∽△EBC
9.如图,在□ABCD中,E为AD上一点,DE︰CE=2︰3,连结AE、BE、BD,且AE、BD交于点F,则S△DEF︰S△EBF︰S△ABF等于( )
(A)4︰10︰25 (B)4︰9︰25 (C)2︰3︰5 (D)2︰5︰25
题9题10题11
10.如图,直线a∥b,AF︰FB=3︰5,BC︰CD=3︰1,则AE︰EC为( ).
(A)5︰12 (B)9︰5 (C)12︰5 (D)3︰2
11.如图,在△ABC中,M是AC边中点,E是AB上一点,且AE=AB,连结EM并延长,交BC的延长线于D,此时BC︰CD为( )
(A)2︰1 (B)3︰2 (C)3︰1 (D)5︰2
12.如图,矩形纸片ABCD的长AD=9cm,宽AB=3cm,将其折叠,使点D与点B重合,那么折叠后DE的长和折痕EF的长分别为( )
(A)4cm、cm (B)5cm、cm(C)4cm、2cm (D)5cm、2cm
题12
(二)填空
13.已知线段a=6cm,b=2cm,则a、b、a+b的第四比例项是_____cm,a+b与
a-b的比例中项是_____cm.
14.若===-m2,则m=______.
15.如图,在△ABC中,AB=AC=27,D在AC上,且BD=BC=18,DE∥BC交AB于E,则DE=_______.
16.如图,□ABCD中,E是AB中点,F在AD上,且AF=FD,EF交AC于G,则AG︰AC=______.
题16题17题18
17.如图,AB∥CD,图中共有____对相似三角形.
18.如图,已知△ABC,P是AB上一点,连结CP,要使△ACP∽△ABC,只需添加条件______(只要写出一种合适的条件).
19.如图,AD是△ABC的角平分线,DE∥AC,EF∥BC,AB=15,AF=4,则DE的长等于________.
题19题20题21
20.如图,△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D,AE=EC,AD=18,BE=15,则
△ABC的面积是______.
21.如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,AC⊥AB,AD=8,BC=10,则梯形ABCD
面积是_________.
22.如图,已知AD∥EF∥BC,且AE=2EB,AD=8cm,AD=8cm,BC=14cm,
则S梯形AEFD︰S梯形BCFE=____________.
(三)解答题
23.方格纸中,每个小格的顶点叫做格点,以格点连线为边的三角形叫做格点三角形.请你在图示的10×10的方格纸中,画出两个相似但不全等的格点三角形,并加以证明(要求所画三角形是钝角三角形,并标明相应字母).
24.已知:
如图,F是四边形ABCD对角线AC上一点,EF∥BC,FG∥AD.求证+=1
25.如图,BD、CE分别是△ABC的两边上的高,过D作DG⊥BC于G,分别交CE及BA的延长线于F、H,求证:
(1)DG2=BG·CG;
(2)BG·CG=GF·GH.
26.如图,在矩形ABCD中,E为AD的中点,EF⊥EC交AB于F,连结FC(AB>AE).
(1)△AEF与△EFC是否相似?
若相似,证明你的结论;若不相似,请说明理由;
(2)设=k,是否存在这样的k值,使得△AEF∽△BFC,若存在,证明你的结论并求出k的值;若不存在,说明理由.
27.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6cm,CA=8cm,动点P从点C出发,以每秒2cm的
速度沿CA、AB运动到点B,则从C点出发多少秒时,可使S△BCP=S△ABC?
28.如图,小华家(点A处)和公路(L)之间竖立着一块35m长且平行于公路的巨型广告牌(DE).广告牌挡住了小华的视线,请在图中画出视点A的盲区,并将盲区内的那段公路设为BC.一辆以60km/h匀速行驶的汽车经过公路段BC的时间是3s,已知广告牌和公路的距离是40m,求小华家到公路的距离(精确到1m).
29.阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下2.7m宽的亮区(如图所示),已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高BC.
30.
(1)如图一,等边△ABC中,D是AB上的动点,以CD为一边,向上作等边△EDC,连结AE。
求证:
AE//BC;
(2)如图二,将
(1)中等边△ABC的形状改成以BC为底边的等腰三角形。
所作△EDC改成相似于△ABC。
请问:
是否仍有AE//BC?
证明你的结论。
O
P
A
X
Y
B
Q
31.如图,在平面直角坐标系中,已知OA=12cm,OB=6cm,点P从O点开始沿OA边向点A以1cm/s的速度移动:
点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动,如果P、Q同时出发,用t(s)表示移动的时间(),那么:
(1)设△POQ的面积为,求关于的函数解析式。
(2)当△POQ的面积最大时,△POQ沿直线PQ翻折
后得到△PCQ,试判断点C是否落在直线AB上,
并说明理由。
(3)当为何值时,△POQ与△AOB相似?
32.如图,矩形PQMN内接于△ABC,矩形周长为24,AD⊥BC交PN于E,且BC=10,AE=16,求△ABC的面积.
33.已知:
如图,△ABC中,AB=AC,AD是中线,P是AD上一点,过C作CF∥AB,延长BP交AC于E,交CF于F.求证:
BP2=PE·PF.
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- 年级 相似 图形 复习