中考必会几何模型半角模型docWord格式.docx
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模型实例
例1已知,正方形ABCD中,∠MAN=45°
,它的两边分别交线段CB、DC于点M、N.
(1)求证:
BM+DN=MN.
(2)作AH⊥MN于点H,求证:
AH=AB.
证明:
(1)延长ND到E,使DE=BM,
∵四边形ABCD是正方形,∴AD=AB.
在△ADE和△ABM中,
∴△ADE≌△ABM.
∴AE=AM,∠DAE=∠BAM
∵∠MAN=45°
,∴∠BAM+∠NAD=45°
.
∴∠MAN=∠EAN=45°
在△AMN和△AEN中,
∴△AMN≌△AEN.
∴MN=EN.
∴BM+DN=DE+DN=EN=MN.
(2)由
(1)知,△AMN≌△AEN.
∴S△AMN=S△AEN.
即
又∵MN=EN,
∴AH=AD.
即AH=AB.
例2在等边△ABC的两边AB、AC上分别有两点M、N,D为△ABC外一点,且
∠MDN=60°
,∠BDC=120°
,BD=DC.探究:
当M、N分别在线段AB、AC上移动时,BM、NC、MN之间的数量关系.
(1)如图①,当DM=DN时,BM、NC、MN之间的数量关系是_______________;
(2)如图②,当DM≠DN时,猜想
(1)问的结论还成立吗?
写出你的猜想并加以证明.
图①图②
解答
(1)BM、NC、MN之间的数量关系是BM+NC=MN.
(2)猜想:
BM+NC=MN.
如图③,延长AC至E,使CE=BM,连接DE.
∵BD=CD,且∠BDC=120°
,
∴∠DBC=∠DCB=30°
又∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°
∴∠MBD=∠NCD=90°
在△MBD与△ECD中,
∵DB=DC,∠DBM=∠DCE=90°
,BM=CE,
∴△MBD≌△ECD(SAS).
∴DM=DE,∠BDM=∠CDE.
∴∠EDN=∠BDC-∠MDN=60°
在△MDN和△EDN中,
∵MD=ED,∠MDN=∠EDN=60°
,DN=DN,
∴△MDN≌△EDN(SAS).
∴MN=NE=NC+CE=NC+BM.
图③
例3如图,在四边形ABCD中,∠B+∠ADC=180°
,AB=AD,E、F分别是BC、CD延
长线上的点,且∠EAF=
∠BAD.求证:
EF=BE-FD.
在BE上截取BG,使BG=DF,连接AG.
∵∠B+∠ADC=180°
,∠ADF+∠ADC=180°
∴∠B=∠ADF.
在△ABG和△ADF中,
∴△ABG≌△ADF(SAS).
∴∠BAG=∠DAF,AG=AF.
∴∠GAF=∠BAD.
∴∠EAF=
∠BAD=
∠GAF.
∴∠GAE=∠EAF.
在△AEG和△AEF中,
∴△AEG≌△AEF(SAS).
∴EG=EF.
∵EG=BE-BG,
∴EF=BE-FD.
跟踪练习:
1.已知,正方形ABCD,M在CB延长线上,N在DC延长线上,∠MAN=45°
求证:
MN=DN-BM.
【答案】
如图,在DN上截取DE=MB,连接AE,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=AB,∠D=∠ABC=90°
在△ABM和△ADE中,
∴△ABM≌△ADE.
∴AM=AE,∠MAB=∠EAD.
=∠MAB+∠BAN,
∴∠DAE+∠BAN=45°
∴∠EAN=90°
-45°
=45°
=∠MAN.
∵DN-DE=EN.
∴DN-BM=MN.
2.已知,如图①在Rt△ABC中,∠BAC=90°
,AB=AC,点D、E分别为线段BC上两动
点,若∠DAE=45°
,探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系.
小明的思路是:
把△AEC绕点A顺时针旋转90°
,得到△ABE′,连接E′D使问题得到解
决.请你参考小明的思路探究并解决以下问题:
(1)猜想BD、DE、EC三条线段之间的数量关系式,并对你的猜想给予证明;
(2)当动点E在线段BC上,动点D运动到线段CB延长线上时,如图②,其他条件不
变,
(1)中探究的结论是否发生改变?
请说明你的猜想并给予证明.
图①图②
解答:
(1)猜想:
DE2=BD2+EC2.
将△AEC绕点A顺时针旋转90°
得到△ABE′,如图①
∴△ACE≌△ABE′.
∴BE′=EC,AE′=AE,∠C=∠ABE′,∠EAC=∠E′AB.
在Rt△ABC中,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=45°
∴∠ABC+∠ABE′=90°
,即∠E′BD=90°
∴E′B2+BD2=E′D2.
又∵∠DAE=45°
∴∠BAD+∠EAC=45°
∴∠E′AB+∠BAD=45°
,即∠E′AD=45°
∴△AE′D≌△AED.
∴DE=DE′.
∴DE2=BD2+EC2.
图①
(2)结论:
关系式DE2=BD2+EC2仍然成立.
作∠FAD=∠BAD,且截取AF=AB,连接DF,连接FE,如图②
∴△AFD≌△ABD.
∴FD=DB,∠AFD=∠ABD.
又∵AB=AC,
∴AF=AC.
∵∠FAE=∠FAD+∠DAE=∠FAD+45°
∠EAC=∠BAC-∠BAE=90°
-(∠DAE-∠DAB)=90°
-(45°
-∠DAB)=45°
+∠DAB,
∴∠FAE=∠CAE.
又∵AE=AE,
∴△AFE≌△ACE.
∴FE=EC,∠AFE=∠ACE=45°
∠AFD=∠ABD=180°
-∠ABC=135°
∴∠DFE=∠AFD-∠AFE=135°
=90°
在Rt△DFE中,DF2+FE2=DE2.
即DE2=BD2+EC2.
图②
3.已知,在等边△ABC中,点O是边AC、BC的垂直平分线的交点,M、N分别在直线
AC、BC上,且∠MON=60°
(1)如图①,当CM=CN时,M、N分别在边AC、BC上时,请写出AM、CN、MN三
者之间的数量关系;
(2)如图②,当CM≠CN时,M、N分别在边AC、BC上时,
(1)中的结论是否仍然
成立?
若成立,请你加以证明;
若不成立,请说明理由;
(3)如图③,当点M在边AC上,点N在BC的延长线上时,请直接写出线段AM、CN、
MN三者之间的数量关系.
图①图②图③
结论:
(1)AM=CN+MN;
如图①
(2)成立;
如图②,在AC上截取AE=CN,连接OE、OA、OC.
∵O是边AC、BC垂直平分线的交点,且△ABC为等边三角形,
∴OA=OC,∠OAE=∠OCN=30°
,∠AOC=120°
又∵AE=CN,
∴△OAE≌△OCN.
∴OE=ON,∠AOE=∠CON.
∴∠EON=∠AOC=120°
∵∠MON=60°
∴∠MOE=∠MON=60°
∴△MOE≌△MON.
∴ME=MN.
∴AM=AE+ME=CN+MN.
(3)如图③,AM=MN-CN.
图③
4.如图,在四边形ABCD中,∠B+∠D=180°
,AB=AD,E、F分别是线段BC、CD上的
点,且BE+FD=EF.求证:
∠EAF=
∠BAD.
如图,把△ADF绕点A顺时针旋转∠DAB的度数得到△ABG,AD旋转到AB,AF旋转到AG,
∴AG=AF,BG=DF,∠ABG=∠D,∠BAG=∠DAF.
∵∠ABC+∠D=180°
∴∠ABC+∠ABG=180°
∴点G、B、C共线.
∵BE+FD=EF,
∴BE+BG=GE=EF.
在△AEG和△AEF中,
∴△AEG≌△AEF.
∴∠EAG=∠EAF.
∴∠EAB+∠BAG=∠EAF.
又∵∠BAG=∠DAF,
∴∠EAB+∠DAF=∠EAF.
∴∠EAF=
5.如图①,已知四边形ABCD,∠EAF的两边分别与DC的延长线交于点F,与CB的延长线交于点E,连接EF.
(1)若四边形ABCD为正方形,当∠EAF=45°
时,EF与DF、BE之间有怎样的数量关系?
(只需直接写出结论)
(2)如图②,如果四边形ABCD中,AB=AD,∠ABC与∠ADC互补,当∠EAF=
∠BAD时,EF与DF、BE之间有怎样的数量关系?
请写出结论并证明.
(3)在
(2)中,若BC=4,DC=7,CF=2,求△CEF的周长(直接写出结论)
(1)EF=DF-BE
(2)EF=DF-BE
如图,在DF上截取DM=BE,连接AM,
∵∠D+∠ABC=∠ABE+∠ABC=180°
∵D=ABE
∵AD=AB
在△ADM和△ABE中,
∴△ADM≌△ABE
∴AM=AE,∠DAM=∠BAE
∵∠EAF=∠BAE+∠BAF=
∠BAD,
∴∠DAM+∠BAF=
∠BAD
∴∠MAF=
∴∠EAF=∠MAF
在△EAF和△MAF中
∴△EAF≌△MAF
∴EF=MF
∵MF=DF-DM=DF-BE,
∴EF=DF-BE
(3)∵EF=DF-BE
∴△CEF的周长=CE+EF+FC=BC+BE+DC+CF-BE+CF
=BC+CD+2CF=15
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