初中数学竞赛专题选讲(初三.3)配方法.doc
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初中数学竞赛专题选讲(初三.3)
配方法
一、内容提要
1.配方:
这里指的是在代数式恒等变形中,把二次三项式a2±2ab+b2写成完全平方式
(a±b)2.有时需要在代数式中添项、折项、分组才能写成完全平方式.
常用的有以下三种:
①由a2+b2配上2ab, ②由2ab配上a2+b2, ③由a2±2ab配上b2.
2.运用配方法解题,初中阶段主要有:
①用完全平方式来因式分解
例如:
把x4+4因式分解.
原式=x4+4+4x2-4x2=(x2+2)2-4x2=……
这是由a2+b2配上2ab.
②二次根式化简常用公式:
,这就需要把被开方数写成完全平方式.
例如:
化简.
我们把5-2写成2-2+3
=-2+
=(-)2.
这是由2ab配上a2+b2.
③求代数式的最大或最小值,方法之一是运用实数的平方是非负数,零就是最小值.即∵a2≥0,∴当a=0时, a2的值为0是最小值.
例如:
求代数式a2+2a-2的最值.
∵a2+2a-2=a2+2a+1-3=(a+1)2-3
当a=-1时,a2+2a-2有最小值-3.
这是由a2±2ab配上b2
④有一类方程的解是运用几个非负数的和等于零,则每一个非负数都是零,有时就需要配方.
例如:
:
求方程x2+y2+2x-4y+5=0的解x,y.
解:
方程x2+y2+2x-4y+1+4=0.
配方的可化为 (x+1)2+(y-2)2=0.
要使等式成立,必须且只需.
解得
此外在解二次方程中应用根的判别式,或在证明等式、不等式时,也常要有配方的知识和技巧.
二、例题
例1.因式分解:
a2b2-a2+4ab-b2+1.
解:
a2b2-a2+4ab-b2+1=a2b2+2ab+1+(-a2+2ab-b2) (折项,分组)
=(ab+1)2-(a-b)2 (配方)
=(ab+1+a-b)(ab+1-a+b) (用平方差公式分解)
本题的关鍵是用折项,分组,树立配方的思想.
例2.化简下列二次根式:
①; ②; ③.
解:
化简的关键是把被开方数配方
①==
==2+.
②===
==.
③=
=
===
=2-.
例3.求下列代数式的最大或最小值:
① x2+5x+1; ② -2x2-6x+1.
解:
①x2+5x+1=x2+2×x+-+1
=(x+)2-.
∵(x+)2≥0,其中0是最小值.
即当x=时,x2+5x+1有最小值-.
②-2x2-6x+1=-2(x2+3x-)
=-2(x2+2×x+-)
=-2(x+)2+
∵-2(x+)2≤0,其中0是最大值,
∴当x=-时,-2x2-6x+1有最大值.
例4.解下列方程:
①x4-x2+2xy+y2+1=0; ②x2+2xy+6x+2y2+4y+10=0.
解:
①(x4-2x2+1)+(x2+2xy+y2)=0.(折项,分组)
(x2-1)2+(x+y)2=0. (配方)
根据“几个非负数的和等于零,则每一个非负数都应等于零”.
得
∴或
②x2+2xy+y2+6x+6y+9+y2-2y+1=0.(折项,分组)
(x+y)2+6(x+y)+9+y2-2y+1=0.
(x+y+3)2+(y-1)2=0. (配方)
∴ ∴
例5.已知:
a, b, c, d都是整数且m=a2+b2, n=c2+d2, 则mn也可以表示为两个整数的平方和,试写出其形式. (1986年全国初中数学联赛题)
解:
mn=(a2+b2)(c2+d2)=a2c2++a2d2+b2c2+b2d2
=a2c2+b2d2+2abcd+a2d2+b2c2-2abcd(分组,添项)
=(ac+bd)2+(ad-bc)2
例6.求方程 x2+y2-4x+10y+16=0的整数解
解:
x2-4x+16+y2+10y+25=25(添项)
(x-4)2+(y+5)2=25 (配方)
∵25折成两个整数的平方和,只能是0和25;9和16.
∴
由得
同理,共有12个解……
三、练习
1.因式分解:
①x4+x2y2+y4; ②x2-2xy+y2-6x+6y+9; ③x4+x2-2ax-a2+1.
2.化简下列二次根式:
① (-<x<);
② (1 ③; ④; ⑤; ⑥; ⑦(14+6)÷(3+); ⑧()2+. 3求下列代数式的最大或最小值: ①2x2+10x+1;②-x2+x-1. 4.已知: a2+b2-4a-2b+5.求: 的值. 5.已知: a2+b2+c2=111,ab+bc+ca=29.求: a+b+c的值. 6.已知: 实数a,b,c满足等式a+b+c=0,abc=8. 试判断代数式值的正负. (1987年全国初中数学联赛题) 7.已知: x=. 求: . (1986年全国初中数学联赛题) 练习题参考答案 1. ②(x-y-3)2 2.①8, ②0.5x, ③3-2, ④, ⑤2+, ⑥ ⑦3+, ⑧7-2x (x≤3) 3. ①当x=-时,有最小值- ②x=1时,有最大值- 4. a=2, b=1代数式值是3+2 5. ±13 6.负数。 由(a+b+c)2=0 得出ab+ac+bc<0 4.值为5。 先化简已知为4-,代入分母值为2, 可知x2-8x+13=0 分子可化为(x2+2x+1)(x2-8x+13)+10=10 5.配方(a-b)2+(b-c)2=0 6.① ② ③ 7. ① ②(x-3)2+(y+5)2=9 ……
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