任意角地概念与弧度制教案设计.docx
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任意角地概念与弧度制教案设计
课
程
数学
第7章
第7.1.1节任意角的概念
授课时数
2
授课方法
讲授法
授课时间
授课班级
海乘1601/轮机1601
教学目的
知识目标:
⑴了解角的概念推广的实际背景意义;
⑵理解任意角、象限角、界限角、终边相同的角的概念.能力目标:
(1)会判断角所在的象限;
(2)会求指定范围内与已知角终边相冋的角;
(3)培养观察能力和计算技能.
教学重点
和难点
重点:
终边相同角的概念.
难点:
终边相冋角的表示和确疋.
复习提问与
作业布置
P6练习2预习
教学思路、方法、手段
(1)以丰富的生活实例为引例,引入学习新概念一一角的推广;
(2)在演示一一观察一一思维探究活动中,使学生认识、理解终边相同的角;
(3)在练习一一讨论中深化、巩固知识,培养能力;
(4)在反思交流中,总结知识,品味学习方法.
教学备品
教学课件、学习演示用具(两个硬纸条一个扣钉)
【教学过程】
教学
过程
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间
*揭示课题
7.1任意角的概念与弧度制
*创设情景兴趣导入问题1
游乐场的摩天轮,每一个轿厢挂在一个旋臂上,小明与小
华两人冋时登上摩天轮,旋臂转过一圈后,小明下了摩天轮,小华继续乘坐一圈•那么,小华走下来时,旋臂转过的角度是多少呢?
问题2
用活络扳手旋松螺母,当扳手按逆时针方向由OA旋转到
OB位置时,就形成一个角;在扳手由OA逆时针旋转一
周的过程中,就形成了0。
至U360。
之间的角;扳手继续旋转下去,就形成大于的角•如果用扳手旋紧螺母,就需将扳
手按顺时针方向旋转,形成与上述方向的角.
归纟纳
通过上面的三个实例,发现仅用锐角或0°:
360。
范围的
角,已经不能反映生产、生活中的一些实际问题,需要对角的
介绍
质疑
提问
说明
了解
思考
求解
讨论
交流
利用实际问题引起学生的好奇心和求知欲
生活实例有助于学生理解角的推
10
概念进行推广.
*动脑思考探索新知
概念
一条射线由原来的位置OA,绕着它的端点0,按逆时针
(或顺时针)方向旋转到另一位置0B就形成角.旋转开始
位置的射线0A叫角的始边,终止位置的射线0B叫做角的终边,端点0叫做角的顶点.
规定:
按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角(如图
(1)),
教师学生教学
行为行为意图
总结
理解
广的
意义
说明
按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角(如图
(2))•当射线
仔细没有作任何旋转时,也认为形成了一个角,这个角叫做零角.
分析
讲解关键占
八、、
引导
思考
理解
记忆
(1)
(2)
经过这样的推广以后,角包含任意大小的正角、负角和零
强调
明确
角.
表示
结合图形讲解角的
图形可以加入学生的举例
明确角的类型完成角的推广
除了使用角的顶点与边的字母表示角,将角记为“/AOB”或“/O”外,本章中经常用小写希腊字母、、、L来
表示角.
概念
数学中经常在平面直角坐标系中研究角•将角的顶点与坐标原点重合,角的始边在x轴的正半轴,此时,角的终边在第几象限,就把这个角叫做第几象限的角(或者说这个角在第几象限).
如图所示,30°>390°、-330°都是第一象限的角,120°是第二象限的角,-120°是第三象限的角,-60°>300°都是第四象限的角.
终边在坐标轴上的角叫做界限角,例如,0°、90°>180
270°>360°、-90°、-270°角等都是界限角.
*运用知识强化练习
练习7-1
1•在直角坐标系中分别作出下列各角,并指出它们是第几象
限的角:
⑴60°;⑵-210
⑶225
⑷-300
教师
行为
引导
展示
强调
提问
巡视
指导
学生
行为
领会
观察
理解
思考
动手求解交流
教学意图象限角可以引导学生一步步自然得出
强调特殊情况
反馈学习状态巩固知识
30
40
教
学
教师
学生
教学
时
过
程
行为
行为
意图
间
*动手操作实验观察
用图钉联结两根硬纸条,将其中一根固定在OA的位置,
演示
动手
将另一根先转动到0B的位置
然后再按照顺时针方向或逆时
操作
操作
针方向转动,观察木条重复转到
OB的位置时所形成角的特征.
由具
*问题引导实践探究
体的
问题
质疑
思考
问题
在直角坐标系中作出390
°、-330°和30°角,这些角的终
实际
边有何关系?
提问
求解
操作
探究
引导
390°30°+1X360°;
-330°=30°(-1)X360°.
学生
即390°、-330°与30°
角之差都是360°角的整数倍数,
引导
领会
一步
它们是射线绕坐标原点旋转到
30°角的终边位置后,分别继续
步的
按逆时针或顺时针方向再旋转一周所形成的角.
体会
推广
终边
与30°角终边相同的角还有:
分析
理解
相同
750°30°+2X360°;
-690°30°(-2)X360°;
角的
1110°=30°+3X360°;
-1050°30°(-3)X360°;
含义
自然
所有与30°角终边相同的角的度数,与30°角的度数之差
讲解
得出
都恰好为360°的整数倍数•它们(包括30°角)都可以表示为
结论
30°k360°kZ)的形式.
因此,与30°角终边相同的角
明确
的集合为S{130°
k360°,kZ}.
总结
教学
教师
学生
教学
时
过程
行为
行为
意图
间
50
*动脑思考探索新知
一般地,与角终边相同的角(包括角
在内),都可以
说明
理解
强调
“.八r、厶匚计「、•
概念
衣示为k360(kZ)的形式.
与角终边相同的角有无限多个,它们所组成的集合为
的关
S{Ik360°,kZ}.
强调
记忆
键点
55
*巩固知识典型例题
例1
写出与下列各角终边相冋的角的集合,并把其中在-
360
T20°内的角写出来:
⑴60°;
⑵-114°26'.
质疑
观察
安排
分析
首先要写出与已知角终边相冋的角的集合
S,然后选取
与知
整数
k的值,使得k360°在指定的范围内.
识点
解
⑴与60°角终边相同的角的集合是
说明
思考
对应
{I60°k360°,kZ}.
的例
当
1k1时,60°
(1)360°300°;
当k0时,
题巩
60o
0360°60°;当k1时,60°1360
°420°.所以在
固新
-360°-720°之间与60。
角终边相同的角为
300°、60°和
讲解
主动
知
求解
420°
⑵与-114°26'角终边相同的角的集合是
S{|114°26k360°,k
Z}.
教学
过程
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间
当k0时,114°260360°114°26;
说明
思考
计算
当k1时,114°261360°245°34;
部分
可以
当k2时,114°262360°605°34.
教给
所以在-360°-720°之间与114°26角终边相同的角为
引领
理解
学生
114°26、245°34和605°34.
完成
例2写出终边在y轴上的角的集合.
分析在0°£60°范围内,终边在y轴正半轴上的角为90°,
终边在y轴负半轴上的角为270,因此,终边在y轴正半轴、
负半轴上所有的角分别是
利用
k360902k18090,
分析
领会
观察
k360270(2k1)18090,
图像
其中kZ•⑴式等号右边表示180°的偶数倍再加上90°;
(2)
加强
式等号右边表示180°的奇数倍再加上90°可以将它们合并为
总结
求解
问题
180°的整数倍再加上90°.
的理
解终边在y轴上的角的集合是
解
S{|n180°90°,nZ}.
当n取偶数时,角的终边在y轴正半轴上;当n取奇数时,
讲解
理解
角的终边在y轴负半轴上.
强调
规范
引领
明确
写法
教
学
教师
学生
教学
时
过
程
行为
行为
意图
间
70
*运用知识强化练习
教材练习5.1.2
1.在0°£60°范围内,找出与下列各角终边相同的角,
并指
提问
思考
及时
出它们是哪个象限的角:
了解
巡视
动手
学生
⑴405°;⑵165°;
⑶1563°;⑷
5421°.
求解
知识
2.写出与下列各角终边相冋的角的集合,并把其中在-
掌握
360°-360°范围内的角写出来:
情况
⑴45°;⑵-55°;
⑶-220°5⑷
1330°.
指导
交流
80
*归纳小结强化思想
培养
本次课学了哪些内容?
重点和难点各是什么?
引导
回忆
学生
总结
*自我反思目标检测
反思
本次课采用了怎样的学习方法?
提问
反思
学习
你是如何进行学习的?
交流
过程
教学
教师
学生
教学
时
过程
行为
行为
意图
间
你的学习效果如何?
能力
85
*继续探索活动探究
⑴读书部分:
教材章节7.1.1;
⑵书面作业:
;练习7.1;
说明
记录
(3)实践调查:
生活中角的概念的推广实例.
90
课
程
数学
第7章
第7.1.2节弧度制
授课时数
2
授课方法
讲授法
授课时间
授课班级
海乘1601/轮机1601
教学目的
知识目标:
⑴理解弧度制的概念;
⑵理解角度制与弧度制的换算关系.
能力目标:
(1)会进行角度制与弧度制的换算;
(2)会利用计算器进行角度制与弧度制的换算;
(3)培养学生的计算技能与计算工具使用技能.
教学重点
和难点
重点:
弧度制的概念,弧度与角度的换算.难点:
弧度制的概念.
复习提问与
作业布置
P6练习2预习
教学思路、方法、手段
(1)由问题引入弧度制的概念;
(2)通过观察一一探究,明晰弧度制与角度制的换算关系;
(3)在练习一一讨论中,深化、巩固知识,培养计算技能;
(4)在操作一一实践中,培养计算工具使用技能;
(5)结合实例了解知识的应用.
教学备品
教学课件
【教学过程】
教学
教师
学生
教学
时
过程
行为
行为
意图
间
*揭示课题
72.2弧度制
介绍
了解
*回顾知识复习导入
教
过
学
程
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间
问题
利用
角是如何度量的?
角的单位是什么?
质疑
思考
复习
解决
角度
1
将圆周的一圆弧所对的圆心角叫做1度角,记作1°,
360
制为
1度等于60分(1-60',)1分等于60秒(1=60〃)
引领
明确
新知
以度为单位来度量角的单位制叫做角度制.
识的
扩展
学习
计算:
23°35'26〃+31
°0'43”
做好
角度制下,计算两个角的加、
减运算时,经常会带来单位
思考
铺垫
换算上的麻烦.能否重新设计角的单位制,使两角的加、减运
讲解
了解
算像
10进位制数的加、减运算那样简单呢?
说明
5
*动脑思考探索新知
概念
将等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,记作
说明
理解
1弧度或1rad.以弧度为单位来度量角的单位制叫做弧度制.
弧度
概念
较为
记忆
抽象
讲解
若圆的半径为r,圆心角ZAOB所对的圆弧长为2r,那么
时注
2r
ZAOB的大小就是空弧度
r
2弧度.
举例
重分
规定:
正角的弧度数为正数,
负角的弧度数为负数,零角
析关
教学
教师
学生
教学
时
过程
行为
行为
意图
间
的弧度数为零.
键点
分析
弧长
由定义知道,角的弧度数的绝对值等于圆弧长1与半径
与角
r的比,即||-(rad).
11r
的对
仔细
领会
应关
半径为r的圆的周长为2n,故周角的弧度数为
2n
分析
系
(rad)2n「ad)•
r
讲解
由此得到两种单位制之间的换算关系:
关键
360°2nrad,即180°nrad•
占
八、、
强调
换算公式
换算
on
1=——(rad)0.01745rad180
的方
180
1rad(——)57.35718•
n
归纳
法引
说明
明确
领学
生加
1.用弧度制表示角的大小时,在不至于产生误解的情况
下,通常可以省略单位"弧度”或“rad”的书写.例如,1rad,
强记
nn
2rad,-rad,可以分别写作1,2,-.
忆
22
2.采用弧度制以后,每一个角都对应唯一的一个实数;
反之,每一个实数都对应唯一的一个角.于是,在角的集合与
简单
说明
实数集之间,建立起了对应的关系.
强调
对应
说明
了解
关系
教
过
学
程
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间
20
*巩固知识典型例题
例1
把下列各角度换算为弧度
(精确到0.001):
⑴15°;⑵8°0
⑶-100°.
说明
思考
利用
分析
角度制换算为弧度制利用公式1°—(rad)0.01745rad•
180
例题
解
⑴1515nn0.262;
18012
强调
理解
强化
换算
⑵8308.58.5—
180
1120.148;
360
公式
n5
⑶100100———
1809
-1.745.
方法
例2
把下列各弧度换算为角度(精确到1':
讲解
求解
⑴3n;⑵2.1
5
;⑶-3.5.
分析
弧度制换算角度制利用公式1rad(^80)57.35718-
计算
n
方面
解
⑴3n3n180108°;
55n
分析
领会
可由
①180378
⑵2.12.1————
nn
12019;
学生
⑶-3.53.5型
冗
630
20032.
冗
自我
引领
计算
主动
完成
求解
30
*运用知识强化练习
教
过
学
程
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间
教材练习5.2.1
1.把下列各角从角度化为弧度
(口答)
:
及时
提问
思考
了解
180°;90°;
45°
;
15°
学生
60°;30°;
120°
270
o
知识
2.把下列各角从弧度化为角度
(口答)
:
掌握
n
n
n
n;一;
2
4-
;
8
情况
2n;n;
n
n
巡视
动手
33
6
12
3.把下列各角从角度化为弧度
求解
⑴75°;⑵-240°;
⑶
105°;
⑷67°0
纠错
4.把下列各角从弧度化为角度
答疑
⑴—;⑵匕;
⑶
4n
⑷6n.
155
3
指导
交流
40
*自我探索使用工具
培养
准备计算器.
质疑
小组
使用
观察计算器上的按键并阅读相关的使用说明书,
小组完成
讨论
计算
计算器弧度与角度转换的方法.
巡视
探究
器能
利用计算器,验证计算例题
1与例题2.
汇总
力
50
*巩固知识典型例题
例3某机械米用带传动,由发动机的王动轴带看丄作机的从
教师学生
行为行为
动轮转动.设主动轮A的直径为100mm,从动轮B的直径
为280mm.问:
主动轮A旋转360°,从动轮B旋转的角是质疑
多少?
(精确到1')
解主动轮A旋转360。
就是一周,
所以,传动带转过的长度为nX100=100n(mm).
再考虑从动轮,传动带紧贴着从动轮B转过100冗(mm)
的长度,那么,应用公式
1005
1407
说明
-,从动轮B转过的角就等于
r
128°34‘.
5
答从动轮旋转5n,用角度表示约为128°34'
7
例4如下图,求公路弯道部分AB的长I(精确到0.1m.图中长度单位:
m).
分析知道圆心角和半径,求弧长时,要首先将圆心角换算为
弧度制.
解60。
角换算为n弧度,因此
3
I|Rn453.1421547.1(m).
3
答弯道部分AB的长I约为47.1m.
讲解
说明
提问
引领
观察
思考
主动
求解
思考
理解
介绍
讨论
分析
教学时意图间安排实际问题使学生了解弧度制应用
重点分析题目中各数据的处理
计算部分交给学生完成
教学
教师
学生
教学
时
过程
行为
行为
意图
间
明确
求解
65
*运用知识强化练习
教材练习522
1.填空:
提问
思考
及时
⑴若扇形的半径为10cm,圆心角为60。
,则该扇形的弧长
了解
学生
l,扇形面积S.
知识
⑵已知1°的圆心角所对的弧长为1m,那么这个圆的半径是
巡视
动手
掌握
m.
求解
情况
2•自行车行进时,车轮在1min内转过了96圈•若车轮的半
指导
径为0.33m,则自行车1小时前进了多少米(精确到1m)?
交流
80
*归纳小结强化思想
培养
本次课学了哪些内容?
重点和难点各是什么?
引导
回忆
学生
总结
*自我反思目标检测
反思
本次课采用了怎样的学习方法?
提问
反思
学习
你是如何进行学习的?
交流
过程
你的学习效果如何?
能力
85
*继续探索活动探究
教
过
学
程
教师
行为
学生
行为
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- 任意 概念 弧度 教案设计