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运筹学报告运筹帷幄
上海大学2011~2012学年冬季学期通识课课程期末报告
课程名称:
运筹帷幄-为解决问题提供最佳决策课程编号:
0100J001
论文题目:
浅谈整数模型、投资模型及纳什均衡
——运筹学案例建模、算法与分析
作者姓名:
学号:
成绩:
论文评语:
评阅人:
评阅日期:
注:
后附课堂论文的正文
浅谈整数模型、投资模型及纳什均衡
——运筹学案例建模、算法与分析
作者:
学号:
日期:
2012.3.2
摘要:
安排方案:
由于每个员工的休息日都是连续的两天,因此当确定每个员工开始休息的时间就等于确定了工作的时间,即确定每天开始休息的人数就知道每天开始工作的人数,然后得到每天工作的人数。
目标函数:
第五年末的本息总额;决策变量:
每年初各个项目的投资额;约束条件:
每年初所具有的资金总额。
在经营决策中,定价、谈判、拍卖、委托-代理等是静态博弈,通过纳什均衡的理论量化成数据,经过纳什均衡划线法求解出,寻找出最优解是否符合自身利益。
关键词:
博弈论、纳什均衡、联盟博弈论、不完全信息静态博弈、纳什均衡点、囚徒困境、多重纳什均衡、博弈人生
正文:
1引言
运筹学是一门年轻的科学,然而其中有众多的案例与各种解决问题的模型,其实,由于运筹的应用广泛性,其发展迅速,根据案例的各异情况创立了几个分支,并将“运筹于帷幄之中,决胜于千里之外”的理念传递出去。
解决运筹问题的根本思路常常是将看似非线性的问题或者繁杂问题转化成线性问题,进而通过线性代数及其他学科的知识准确地处理出来。
在分析背包问题、路径问题、指派问题上,我们需要根据决策变量、目标函数和约束条件列出一系列等式或不等式,进行数学分析并作出解答。
比如在指派问题上,我们需要在多任务、多人员的情况下,从任务的性质、人员的专长出发,进行合理的任务分配。
设用[
]表示分配问题的效率矩阵,令
则分配问题的数学模型一般写为:
s.t.
(引自《运筹学基础及运用》P110)
通过线性规划,我们可以简洁明了地观察到问题的实质,并为我们解决问题作下铺垫。
这一类的问题解决时不必考虑问题的变化,即无需“随机应变”,问题不会因我们选择不同的方案而发生改变。
如下有3个案例分析。
2人力资源分配问题
好又美超市是个建在大学城边上的大型百货商场,每周对收银人员的需求,统计如下表:
星期
1
2
3
4
5
6
7
人数
6
5
8
7
10
18
15
为了保证收银人员充分休息,收银人员每周工作5天,休息2天。
问应如何安排收银人员的工作时间,使得所配收银人员的总费用最小?
解答如下:
假设条件:
①、每人每天工作8小时;②、每个人的休息时间为连续两天;③、每天安排的收银员人数不得低于需求量,但可以超过需求量;④、每周每个员工的工资相同且均为500元。
考虑因素:
不可变因素:
总需求量、员工休息时间、员工单位每日工资;可变因素:
安排的员工人数、员工总工资。
安排方案:
由于每个员工的休息日都是连续的两天,因此当确定每个员工开始休息的时间就等于确定了工作的时间,即确定每天开始休息的人数就知道每天开始工作的人数,然后得到每天工作的人数。
设定变量:
每天开始休息的人数
。
约束条件:
①、每个人休息2天(说明每个不等式中只有5个变量);
②、每天工作人数不低于需求量。
第
天工作的人数就是从第
天往前数5天内开始工作的人数,得到以下不等式:
③、变量非负约束:
目标函数:
总费用Z最小。
总人数:
.
最终得到线性规划的标准形式(优化模型):
s.t.
建立模型后,由于
均是整数,即该线性规划问题为整数规划问题。
整数规划的解题方法往往有以下几种:
匈牙利法、分支定界法、割平面法等。
例如,该问题较适合运用分支定界法,且有以下几步基本步骤:
第一步:
寻找替代问题并求解;第二步:
分支与定界(对替代问题分成若干个子问题,对子问题进行求解);第三步:
剪枝(将各子问题边界值与保留的可行解的值进行比较)。
(引自《运筹学基础及运用》P115、P116)
3职场规划方案
在职场上,职业生涯中的“五个坎”可被列为:
•第一坎:
“青黄不接”阶段;
•第二坎:
“职业塑造”阶段;
•第三坎:
“职业锁定”阶段;
•第四坎:
“事业开拓”阶段;
•第五坎:
“事业平稳”阶段。
针对这五个阶段,你应该怎样规划自己?
设计模型与算法,给出你的最佳职场规划方案。
目标:
成为一名企业高端的领导人(进修硕士、博士,进入一家著名外资企业,成为一名高端管理者)。
规划理念:
“计划”、“奋斗”、“技巧”是指向成功彼岸的捷径。
心无杂念,敢闯敢拼。
“场景设置”:
大学前期为第一坎,大学后期、读研、读博时期为第二坎,短期工作(培养职业能力、社交能力)为第三坎,找到一份稳定的适合自己的工作的时期为第四坎,胜任高层管理人员一段时间后的时期为第五坎。
可控变量:
学习成效、努力程度、交际方面。
不可控因素:
刚进入公司对职务的生疏、生活上的某些不确定情况,人际交往中可能出现的异端,继续深造或是大学毕业后直接迈入社会。
限制:
在初出茅庐时对社会认知的缺陷、能力的限制、人脉的限制。
推演方式:
“青黄不接”阶段指在大一、大二、大三仍在大学学习知识的阶段;“职业塑造”阶段指从大四开始对自己未来的工作思索与寻找、刚找到工作后进行的实习(一般情况下不会继续留在公司),继而进修硕士、博士以提高能力的阶段;“职业锁定”阶段指硕士、博士读出后经过了一段时间的实习、工作、对社会以及人生做了一些考虑之后,决定从事某项职业。
“事业开拓”指经过5年左右对生涯职业的工作之后,开始对自己所擅长的方面,对自己管理公司的能力,为事业开拓人脉关系,对自己的管理技术进行传播,培养自己的知名度,为更多的企业管理方面做贡献。
“事业平稳”时期是指45岁左右开始,对企业方面的管理已有一套体系,在自己年龄增长下,逐渐退居二线,进行企业员工的能力培养与“接任人”管理思维的培养。
这个阶段保持企业的稳定发展。
最佳规划结论:
大学本科掌握知识、培养学习能力、交际能力;读研、读博提升自己专业的管理能力;实习阶段培养对社会的认知、实际工作情况、如何处理的能力;进入外企后立即适应管理能力并发展自己,运用储备知识,创新;进入高层一段时间后开始培养接替人。
4最优投资策略问题
某部门先有资金100万元,五年内有以下投资项目供选择:
项目A:
从第一年到第四年每年初投资,次年末收回本金且获利15%。
项目B:
第三年初投资,第五年末收回本金且获利25%,最大投资额为40万元。
项目C:
第二年初投资,第五年末收回本金且获利40%,最大投资额为30万元:
项目D,每年初投资,年末收回本金且获利6%。
提供你的投资策略使第五年末本息总额最大。
解答如下:
目标函数:
第五年末的本息总额;决策变量:
每年初各个项目的投资额;约束条件:
每年初所具有的资金总额。
用x表示第i年初(i=1,2,…,5)项目j(j=1,2,3,4分别代表A,B,C,D)的投资额,根据题目所给条件列出如下表求解x。
年份(每年初)
项目A
项目B
项目C
项目D
1
2
3
4
5
表:
投资策略决策变量x的求解表
约束条件:
第1年初:
将100万元全部投入A、D,得到
;
第2年初:
总额资金为第一年投资
的本息,全部投入A、C、D,得到
;
第3年初:
总额资金为第1年投资
和第2年投资
总的本息,全部投入A、B、D,得到
;
第4年初:
总额资金为第2年投资
和第3年投资
总的本息,全部投入A、D,得到
;
第5年初:
总额资金为第3年投资
和第3年投资
总的本息,得到本息总额
;
题干中对
和
投资资金额的限制:
;
决策变量的有意义性:
;
第5年末的本息总额为
。
最终得到线性规划的标准形式(优化模型):
s.t.
5博弈论的纳什均衡
有一类问题,我们必须“应时而变”,这便是博弈论。
博弈论(Gametheory)在社会生活和经济、军事活动中的应用及其广泛。
博弈中需要精密的计算,因为在不确定型的决策分析中,决策的对手是大自然或是没有思考能力的事物;然而在博弈当中,决策的对手是理性的人,他们对对方将要以及已经执行的措施(战略)产生了反应,并且具有进攻性。
博弈论三要素players、strategies、payoffvector由Nash、Harsanyi、Selten研究并发展出各类应用。
在经营决策中,定价、谈判、拍卖、委托-代理等是静态博弈,通过纳什均衡的理论量化成数据,经过纳什均衡划线法求解出,寻找出最优解是否符合自身利益。
在通行系统中,联盟博弈论也起着至关重要的作用。
ApartoftheabstractfromCoalitionalGameTheoryforCommunicationNetWorks:
ATutorial:
Gametheoryprovidesaformalanalyticalframeworkwithasetofmathematicaltoolstostudythecomplexinteractionsamongrationalplayers.Throughoutthepastdecades,gametheoryhasmaderevolutionaryimpactonalargenumberofdisciplinesrangingfromengineering,economics,politicalscience,philosophy,orevenpsychology.Inrecentyears,therehasbeenasignificantgrowthinresearchactivitiesthatusegametheoryforanalyzingcommunicationnetworks.
该种游戏理论是基于博弈论的研究继而开发运作。
Thisismainlydueto:
(i)-Theneedfordevelopingautonomous,distributed,andflexiblemobilenetworkswherethenetworkdevicescanmakeindependentandrationalstrategicdecisions;and(ii)-theneedforlowcomplexitydistributedalgorithmsthatcanefficientlyrepresentcompetitiveorcollaborativescenariosbetweennetworkentities.
发展自主、分布式、柔性移动网络,低复杂度,是有效地表达分布式算法之间竞争或者合作的网络实体。
通信系统中运用稳定性分析对信息的交流与转换等实施相应的变换,并使网络系统不致瘫痪。
这正是建立在纳什均衡的理论基础之上的。
毕竟,通信的两方甚至多方并不知道其他方向来源的信息的数量、速度、时间间隔,因此这正是一种不完全信息静态博弈。
其中,Harsanyi提出的海萨尼转换(引入一个虚拟的局中人N使两者之间的信息转换变为三人博弈,并且能够迅速地传达信息)、贝叶斯博弈、古诺博弈等均为不完全信息情况下的博弈模型,能够使得通信上更为便捷。
云计算也是动态博弈论研究的结晶,促使资源迅疾而大量地被使用。
引用维基百科中对纳什平衡点的定义:
若
,则纳什称s为平衡点。
其中
为参与者
的收获(payoff),
代表所有参与者之策略,
代表参与者
的一种可能策略,
指参与者
单方面改变策略成
。
(引自AnnalsofMathematics1951,P287)。
博弈模型最为经典的案例便是囚徒困境问题。
若将策略的表达式表现为如下:
甲乙
坦白不坦白
坦白
不坦白
(-3,-3)(0,8)
(-8,0)(-1,-1)
如果单单观察该策略的表达式,则(-1,-1)正是囚徒困境中的最佳的解决方案。
然而,这并不是简单的向量加减问题,当问及某一囚徒时,他对不坦白心怀恐惧。
因为如果他没有坦白,而另一者坦白了,他将承受8年的监禁。
所以,在考虑该问题时,必须考虑其他各个情况的因和果。
所以分析这囚徒问题,(-1,-1)可能存在且为最优解,但不是最稳定的方案。
这反而阐明了运筹学中的博弈论的前前后后,曲折逶迤却缜密的思路的应用性。
博弈论走过了80多年,也愈发延伸壮大。
在生物学、经济学、国际关系、计算机科学、政治学、军事战略等学科中广泛地应用。
许多博弈问题有多重纳什均衡,即这些问题分析时有多个答案,无法选择。
这样的窘境在我们面对生活的时候经常遭遇到。
因此,处理这种问题是根据现状而采取不同的策略,以获取相对较大的利益。
举例一对恋人商量周末活动安排的案例,是看足球赛还是听音乐会。
男方女方
足球音乐会
足球
音乐会
(3,1)(-1,-1)
(-1,-1)(1,3)
通过划线法,我们可以得到两个纯策略解(足球,足球),(音乐会,音乐会)。
如果男女双方没有任何偏向,则这两种结果发生的可能性是各占50%的。
但是,如果男方比较尊重女方的偏好,那么可能结局就是(音乐会,音乐会);如果足球赛事实一场国际型的,而音乐会普普通通,那么可能会选择(足球,足球)。
因此,多种情况下,纳什均衡的聚点跟人们的各种习惯,情绪,文化等息息相关。
在博弈中,所以有关局中人的策略集、收益函数都是不同的,而且是有针对性的。
我们处理人际关系、面对生活中的挫折,都是将自己所面临的困境的解决方案,也就是策略整合到他人的、社会的策略考虑中去,随对手策略的改变、情况的更替而随机应变改变自己的战略,找到最有利于自己的战略。
(引自《运筹学基础及运用》P334)
当我重新审视“运筹”二字时,我发觉到,人生虽然不是线性的,但是如果我们将人生的时间段取到足够小时,我们人生的某个阶段就是线性的,我们面对线性问题就总会有解。
这解可以是无解,也可以是有一个解,甚至可能是无穷多解的。
混沌的人生好比我们无法解决一个线性题。
运筹学其中一个理念便是:
解决问题必须以整体为最优目标。
我们是博弈者,我们手中拿着的是人生的筹码。
在这个个利益纷争的时代,每个人都在为获得最大的利益而努力,在每个涉及到利益的领域,都需要我们运用博弈思维,提高自己对社会现象的洞察能力和决策能力,并将博弈的原理和规则运用到自己的人生实践中,在面对问题时作出理性的选择,减少失误,突破困境,取得事业和人生的成功。
人生如同博弈,在这场讲究规则的游戏中有各种各样的参与者,我们谁也不可能仅靠一个人的力量把事情做好,因此我们需要协作、妥协,最终达到共赢,这也是博弈的根本目的。
参考文献:
1.《CoalitionalGameTheoryforCommunicationNetWorks:
ATutorial》
WalidSaad,ZhuHan,MérouaneDebbah,AreHjørungnesandTamerBars¸ar
IEEESignalProcessingMagazine,SpecialIssueonGameTheory,toappear,2009
2.《企业联盟博弈论合作竞争》乔忠中文文摘2004
3.《第十二章博弈论》胡运权等高等教育出版社2008
4.XX百科运筹学、博弈论、博弈名词解释网络
5.维基百科纳什均衡点、整数模型名词解释网络
6.运筹帷幄-为解决问题提供最佳决策白延琴编著
7.联盟博弈论在通信系统中的应用
http:
//www.supelec.fr/d2ri/flexibleradio/cours/coalition.pdf
8.《运筹学》熊伟机械工业出版社2009
9.《运筹学基础手册》徐光辉主编科学出版社1999
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