小学六年级奥数教案行程问题.docx

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小学六年级奥数教案行程问题

小学六年级奥数教案：

行程问题行程问题第一讲总是要涉及到三个数量：

一个物体的移动，行车、走路、;距离走了多远，行驶多少千米，移动了多少米等等;行走或移动的距离）小时内1例如（速度在单位时间内.时间行走或移动所花时间这三个数量之间的关系，可以用下面的公式来表示：

速度×时间=距离很明显，只要知道其中两个数量，就马上可以求出第三从数学上说，这是一种最基本的数量关系，在小学.个数量的应用题中，这样的数量关系也是最常见的，例如.每个人的数量×人数=总量.工作效率×时间=工作量因此，我们从行程问题入手，掌握一些处理这种数量关.系的思路、方法和技巧，就能解其他类似的问题

当然，行程问题有它独自的特点，在小学的应用题中，它不仅在小学，而.行程问题的内容最丰富多彩，饶有趣味因此，.且在中学数学、物理的学习中，也是一个重点内容我们非常希望大家能学好这一讲，特别是学会对一些问题的.思考方法和处理技巧千米5用这一讲，3用千米，5小时表示速度是每小时/米3秒表示速度是每秒/米一、追及与相遇有两个人同时在行走，一个走得快，一个走得慢，当走这就产生.得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，.比走得慢的人多走的距离，也就是要计算两人走的距离之差如果设甲走得快，乙走得慢，在相同时间内，乙走的距离-甲走的距离=乙的速度×时间-甲的速度×时间.乙的速度）×时间-甲的速度=（.通常，“追及问题”要考虑速度差

小轿千米，6小轿车的速度比面包车速度每小时快1例车和面包车同时从学校开出，沿着同一路线行驶，小轿车比分钟到达城门，当面包车到达城门时，小轿车10面包车早?

千米，问学校到城门的距离是多少千米9已离城门解：

先计算，从学校开出，到面包车到达城门用了多少.时间千米，而小轿车与面包9此时，小轿车比面包车多走了小时，因此/千米6车的速度差是）.所用时间=9÷6=1.5（小时分钟到达城门，面包车到达时，10小轿车比面包车早千米，说明小轿车的速度是9小轿车离城门）.小时/千米54-6=48（面包车速度是城门离学校的距离是）.48×1.5=72（千米

.千米72答：

学校到城门的距离是为了提早.米50原打算每分种走小张从家到公园，2例每分钟走他把速度加快，分钟到，10?

问家到公园多远.米75.解一：

可以作为“追及问题”处理75考虑小张以.分钟出发10假设另有一人，比小张早分钟速度去追赶，追上所需时间是/米）?

分钟-50）=20（50×10÷（75因此，小张走的距离是）.75×20=1500（米米1500答：

从家到公园的距离是..还有一种不少人采用的方法家到公园的距离是

一种解法好不好，首先是“易于思考”，其次是“计算对不同的解法进行比?

方便”.那么你更喜欢哪一种解法呢.较，能逐渐形成符合你思维习惯的解题思路有一辆汽车一辆自行车在前面以固定的速度行进，3例.要去追赶如;小时才能追上1小时，要/千米30如果速度是问自行车的.分钟才能追上40小时，要/千米35果速度是速度是多少?

小时走了1解一：

自行车已超前距离，-30×1分钟走了40自行车分钟，走了20自行车多走

因此，自行车的速度是.小时/千米20答：

自行车速度是追上距离÷速度差=解二：

因为追上所需时间2∶3.3∶2.所以两者的速度差之比是分钟是40小时与1请看下面示意图：

自行车速度是15.马上可看出前一速度差是

）.小时/千米35-15=20（这一解.解二的想法与第二讲中年龄问题思路完全类同.法的好处是，想清楚后，非常便于心算分钟8分，小明骑自行车从家里出发，8点8上午4例.千米的地方追上了他4后，爸爸骑摩托车去追他，在离家然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是?

千米，这时是几点几分8解：

画一张简单的示意图：

图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了）.千米8-4=4（）.千米4+8=12（而爸爸骑的距离是

这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的千米，爸爸可以8按照这个倍数计算，小明骑）.12÷4=3（倍）.8×3=24（千米骑行分钟，骑行了8但事实上，爸爸少用了4+12=16（）.千米）.千米24-16=8（少骑行16千米需要16分，爸爸骑行/千米1摩托车的速度是.分钟8+8+16=32..分32点8答：

这时是下面讲“相遇问题”.小王从甲地到乙地，小张从乙地到甲地，两人在途中相如.遇，实质上是小王和小张一起走了甲、乙之间这段距离果两人同时出发，那么乙走的距离+甲走的距离乙的速度×时间+甲的速度×时间=.乙的速度）×时间+甲的速度=（

.“相遇问题”，常常要考虑两人的速度和分钟，小王骑自行36小张从甲地到乙地步行需要5例他们同时出发，几分钟后两人.分钟12车从乙地到甲地需要?

相遇解：

走同样长的距离，小张花费的时间是小王花费时间倍，3，因此自行车的速度是步行速度的）36÷12=3（倍的也可以说，在同一时间内，小王骑车走的距离是小张步行走段，4如果把甲地乙地之间的距离分成相等的.倍3的距离的段，小张花费的时间是1段，小张走了3小王走了）.36÷（3+1）=9（分钟.分钟后相遇9答：

两人在小王从乙千米，5每小时步行小张从甲地到乙地，6例每小时步行地到甲地，然后在离甲、两人同时出发，.千米4.千米的地方相遇，求甲、乙两地间的距离1乙两地的中点解：

画一张示意图

点，从图上可以看出，小张走A千米的地方是1离中点1千米，小王走了两地距离的一半少1了两地距离的一半多千米2从出发到相遇，小张比小王多走了.千米千米，从出发到相遇所用（5-4）小张比小王每小时多走的时间是）.小时-4）=2（2÷（5因此，甲、乙两地的距离是）.（5+4）×2=18（千米本题表面的现象是“相遇”，实质上却要考虑“小张比对小学的应?

小王多走多少?

”岂不是有“追及”的特点吗重要的是抓住题目的本.用题，不要简单地说这是什么问题质，究竟考虑速度差，还是考虑速度和，要针对题目中的条千万不要“两人面对面”就是“相遇”，.件好好想一想“两人一前一后”就是“追及”..请再看一个例子相向而行，两地同时出发，B，A乙两车分别从甲、7例5如果甲车速度不变，乙车每小时多行.点C小时后相遇于6

两地同时出发相向而行，则相遇地B，A千米，且两车还从千5如果乙车速度不变，甲车每小时多行;千米12点C点距两地同时出发相向而行，则相遇地点B，A米，且两车还从求.千米16点C距.两地距离B，A解：

先画一张行程示意图如下.点E甲加速后与乙相遇于点，D设乙加速后与甲相遇于.同时出发后的相遇时间，是由速度和决定的不论甲加速，千米，因此，不5还是乙加速，它们的速度和比原来都增加点相遇，所用时间是一样的，这是E点相遇，还是在D论在.解决本题的关键.下面的考虑重点转向速度差点，而不加速，E在同样的时间内，甲如果加速，就到12+这两点距离是.点D只能到，加速与不加）千米28（16=点D因此，在.小时/千米5速所形成的速度差是相遇所用时间是）点E或（

）.28÷5=5.6（小时）.小时6-5.6=0.4（点相遇少用C比小时，0.4点速度是一样的，少用C，和到达D甲到达千米，因此甲的速度是12少走/12÷0.4=30（千米）.小时同样道理，乙的速度是）.小时/16÷0.4=40（千米）.距离是（30+40）×6=420（千米B到A.千米420两地距离是B，A答：

不能简单地说成是“相遇问题”.7很明显，例千3是C到B从千米下坡路，1是B到A从如图，8例D到C米平路，从小张和小王步行，下.千米上坡路2.5是小时，上/千米4小时，平路速度都是/千米6坡的速度都是.小时/千米2坡速度都是

相向而行，同时出发，D，A小张和小王分别从

（1）问：

?

问多少时间后他们相遇当某一个人达到终点时，两人继续向前走，相遇后，

（2）?

另一人离终点还有多少千米A小张从

（1）解：

小王）;1÷6×60=10（分钟需要B到当小王）;2.5÷6×60=25（分钟也是下坡，需要C到D从，走了）分钟25-10=15（点时，小张已在平路上走了C到达由小张）千米3-1=2（之间平路上留下C与B因此在和小王共同相向而行，直到相遇，所需时间是）.2÷（4+4）×60=15（分钟从出发到相遇的时间是）.分钟25+15=40（点B点，从B分钟平路，到达30相遇后，小王再走

（2）分钟到达终60即他再走分钟，1÷2×60=30点需要走A到.点

分钟可走45点，D分钟平路到达15小张走小张离终点还有）.千米2.5-1.5=1（小王到达终点时，小张.分钟后小张和小王相遇40答：

.千米1离终点还有二、环形路上的行程问题人在环形路上行走，计算行程距离常常与环形路的周长.有关米的环形500在周长为小张和小王各以一定速度，9例分/米180小王的速度是.跑道上跑步.秒75小张和小王同时从同一地点出发，反向跑步，

（1）?

分/后两人第一次相遇，小张的速度是多少米小张和小王同时从同一点出发，同一方向跑步，小

（2）?

张跑多少圈后才能第一次追上小王

两人相遇，也就是合起来跑了.分-1.25秒

（1）75解：

小张的速度是.一个周长的行程）.分/米-180=220（500÷1.25在环形的跑道上，小张要追上小王，就是小张比小

（2），因此需要的时间是）一个周长（王多跑一圈）.分-180）=12.5（500÷（220）.220×12.5÷500=5.5（圈分/米220小张的速度是

（1）答：

圈后才5.5小张跑;

（2）.能追上小王点，小A是圆的直径的两端，小张在B、A如图，10例离C点第一次相遇，C点同时出发反向行走，他们在B王在A求这个圆.米6O点B点离D点第二次相遇，D在;米80点.的周长

第二次相;解：

第一次相遇，两人合起来走了半个周长从出发开始算，两个人合起.遇，两个人合起来又走了一圈因此，第二次相遇时两人合起来所走的行程.来走了一周半的D到A倍，那么从3是第一次相遇时合起来所走的行程的C到A距离，应该是从是D到A倍，即3距离的）.80×3=240（米）.米240-60=180（）.0×2=360（米18.米360答：

这个圆的周长是在一条路上往返行走，与环行路上行走，解题思考时极.为类似，因此也归入这一节千米，小张与小王分别从甲、6甲村、乙村相距11例到达另一村后就马（乙两村同时出发，在两村之间往返行走上返回小王到达甲村后.分钟两人第一次相遇40在出发后）.问小张和小.千米的地方两人第二次相遇2返回，在离甲村?

王的速度各是多少解：

画示意图如下：

如图，第一次相遇两人共同走了甲、乙两村间距离，第倍，因此所3二次相遇两人已共同走了甲、乙两村间距离的需时间是）.40×3÷60=2（小时从图上可以看出从出发至第二次相遇，小张已走了）.千米-2=10（6×2）.千米6+2=8（小王已走了因此，他们的速度分别是，）小时/10÷2=5（千米小张/8÷2=4（千米小王）.小时小/千米4小时和/千米5答：

小张和小王的速度分别是.时

小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村12例，他们在离甲村）到达另一村后就马上返回（之间往返行走问他.千米处第二次相遇2在离乙村千米处第一次相遇，3.5）?

相遇指迎面相遇（们两人第四次相遇的地点离乙村多远.解：

画示意图如下倍，因3第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村距离的此张走了）.3.5×3=10.5（千米甲、因此，.千米2第二次相遇处离乙村从图上可看出，乙两村距离是）.千米10.5-2=8.5（

倍2每次要再相遇，两人就要共同再走甲、乙两村距离倍（3+2+2）第四次相遇时，两人已共同走了两村距离.的路程其中张走了.的行程，）3.5×7=24.5（千米千米24.5=8.5+8.5+7.5（）.就知道第四次相遇处，离乙村）.千米8.5-7.5=1（.千米1答：

第四次相遇地点离乙村.下面仍回到环行路上的问题13例小张和小王从湖边某一地点千米，24绕湖一周是小时后休1小时速度每走/千米4小王以.同时出发反向而行分钟后休息50小时速度每走/千米6小张以;分钟5息分10?

问：

两人出发多少时间第一次相遇.钟千米我们5分钟走50小时，/千米6解：

小张的速度是可以把他们出发后时间与行程列出下表：

大，从表上可以看出，他们相遇在出发24比12+15=27.分之间15小时3分至10小时2后分小张已走了10小时2出发后此时两人相距）.千米24-（8+11）=5（千5由于从此时到相遇已不会再休息，因此共同走完这米所需时间是）.5÷（4+6）=0.5（小时小时2.分40小时2分再加上半小时是10.分40小时2答：

他们相遇时是出发后

个点把这个圆周分成三等3厘米，90一个圆周长14例它们同时出发，按.个点上3分别在这C，B，A只爬虫3分，秒，/厘米10的速度是.A顺时针方向沿着圆周爬行的速度B只3秒，/厘米3的速度是C秒，/厘米5是?

爬虫出发后多少时间第一次到达同一位置解：

先考虑这两只爬虫，什么时候能到达同一位C与B厘米C（5-3）能追上B每秒钟厘米，30它们相差开始时，.置0.）.秒-3）=15（30÷（5与B秒后15因此以后再要到达同一位.到达同一位置C厘米，需要90一圈，也就是追上C要追上B置，）.秒-3）=45（90÷（5到达同一位置，出发后的秒数是C与B

，„„195，150，105，，15B与A再看看.什么时候到达同一位置第一次是出发后，）秒-5）=6（30÷（10以后再要到达同一位置是需要.一圈B追上A，）秒-5）=18（90÷（10到达同一位置，出发后的秒数是B与A，„96，78，，42，24，6只爬虫到3秒60对照两行列出的秒数，就知道出发后.达同一位置秒第一次爬到同一位置60只爬虫出发后3答：

.只爬虫第二次到达同一位置是出发后多少3请思考，?

秒已知汽车在.是一条环形公路ABCD图上正方形15例AB小时，/千米120上的速度是BC在小时，/千米90上的速度是60上的速度是CD在/千米80上的速度是DA小时，在/千米，同时反向各发出一辆汽车，它们将在P上一点CD从.小时

，同时反向各发出一辆汽车，M中点PC如果从.中点相遇AB求.处相遇N上一点AB它们将在题.解：

两车同时出发至相遇，两车行驶的时间一样多要计算方便，.中有两个“相遇”，解题过程就是时间的计算.取什么作计算单位是很重要的1.所需时间是CD设汽车行驶根据“走同样距离，时间与速度成反比”，可得出

这样，24.把这些所需时间都乘以分数计算总不太方便，12，24所需时间分别是AD，AB，BC，CD汽车行驶18.，16，中点相AB点同时反向各发一辆车，它们在P从.所用时间相等P→C→B与遇.P→D→A上所需时间PC上所需时间-PD所需时间-CB所需时间=DA=18-12=6.上所需时间（PC而24.上所需时间CD是）上所需时间+PD根据“和差”计算得上所需时间是（24+6）÷2=15，PC24-15=9.上所需时间是PD

M→P→D→A→N点同时出发反向而行，M现在两辆汽车从与中点.P→D→A→NPC是.M所用时间相等M→C→B→N与时间相等，就有C→B→N上所需时间-AN上所需时间BN所需时间-CB所需时间=P→D→A=（9+18）-12=15.上所需时间=AB上所需时间+AN上所需时间BN=16.AN，15.5上所需时间是BN立即可求0.5.所需时间是从这一例子可以看出，对要计算的数作一些准备性处理，.会使问题变得简单些三、稍复杂的问题

在这一节希望读者逐渐掌握以下两个解题技巧：

;在行程中能设置一个解题需要的点

（1）.灵活地运用比例

（2）4.8小王的步行速度是16例小张的步行速小时，/千米小李骑自行.小时，他们两人从甲地到乙地去/千米5.4度是人同3他们.小时，从乙地到甲地去/千米10.8车的速度是.分钟，小王又与小李相遇5时出发，在小张与小李相遇后?

问：

小李骑车从乙地到甲地需要多少时间解：

画一张示意图：

A图中B点是小张与小李相遇的地点，图中再设置一个分钟后小王与.5李两人相遇时小王到达的地点它是张、点，与B分钟的时间，小王和小李共同走了5小李相遇，也就是之间这段距离，它等于A

这段距离也是出发后小张比小王多走的距离，小王与小小张比小王多走这段距.小时/千米（5.4-4.8）张的速度差是离，需要的时间是）.4.8）×60=130（分钟-1.3÷（5.4小李的速.这也是从出发到张、李相遇时已花费的时间因此小.倍2小时的/千米5.4小时是小张速度/千米10.8度到甲地需要A李从130÷2=65（分钟）.从乙地到甲地需要的时间是.分15小时）=3分钟130+65=195（.分15小时3答：

小李从乙地到甲地需要个人，既有“相遇”，又有“追及”，3上面的问题有思考时要分几个层次，弄清相互间的关系，问题也就迎刃而.点，使我们的思考直观简明些B在图中设置一个.解了小玲和小华姐弟俩正要从公园门口沿马路向东去17例小华问姐姐：

.某地，而他们的家要从公园门口沿马路往西

“是先向西回家取了自行车，再骑车向东去，还是直接从公园门口步行向东去快”?

姐姐算了一下说：

“如果骑车与步24∶1，那么从公园门口到目的地的距离超过行的速度比是千米时，回家取车才合算.”请推算一下，从公园到他们家?

的距离是多少米解：

先画一张示意图设与公B点，公园离B千米处，设置一个2是离公园A如果从公园往西走到家，那么用同样多的时.园离家一样远现在问题就转变成：

.点B间，就能往东走到B骑车从家开始，步行从A点开始，骑车追步行，能在.点或更远处追上步行具体计算如下：

个单位，因为骑车速度是步行1的距离为A到B不妨设A倍，所以从家到4速度的的B个单位，从家到4的距离是是A从公园到.个单位1.5是B公园到.个单位3距离是

）.单位1+1.5=2.5（）.2000÷2.5=800（米每个单位是因此，从公园到家的距离是）.800×1.5=1200（米.米1200答：

从公园门口到他们家的距离是这一例子中，取计算单位给计算带来方便，是值得读者.请再看一例.仿照采用的.相向而行两地同时开出，B，A快车和慢车分别从18例用了A到B已知慢车从.小时两车相遇5经过小时，慢12.5问：

.小时后返回1停留B快车到.停留半小时后返回A车到?

两车从第一次相遇到再相遇共需多少时间解：

画一张示意图：

C从小时，5用了C到B慢车从.点是第一次相遇处C设1我们把慢车半小时行程作为）.小时12.5-5=7.5（用了A到

2慢车每小时走.个单位A15到C个单位，C10到.B个单位.个单位3个单位，快车每小时走.有了上面“取单位”准备后，下面很易计算了小时8共再加停留半小时，，A到C慢车从此时快车在.小时，共行驶7快车行驶.小时1停留B去掉它在?

何处呢点A离.点D再往前一个单位到C到B从）.3×7=21（单位）.单位15-1=14（单位，14，同时出发共同行走D，快车从A现在慢车从相遇所需时间是）.14÷（2+3）=2.8（小时返回行驶至与快车相遇共用了A到C慢车从）.小时7.5+0.5+2.8=10.8（小时10答：

从第一相遇到再相遇共需.分48回来.小时2地往返一次共用B地到A一只小船从19例千米，因此第二小时8时顺水，比去时的速度每小时多行驶.两地距离B至A求.千米6比第一小时多行驶

小时是行驶全程的一半时间，因为去时逆水，小1解：

点，是小船逆水C之前设置一个B我们在.地B船到达不了如下图.小时到达处1行驶距离B至C第二小时比第一小时多行驶的行程，恰好是.千米3是B至C千米，就知6倍，它等于2的千米，8为了示意小船顺水速度比逆水速度每小时多行驶D点，D在图中再设置顺水行驶A至D也就是.千米8是C至千米顺水行驶，5是B至.D现在就一目了然了.小时1时间是逆水行驶B至C与因此.千米时间一样多3顺水速度∶逆水速度=5∶3.立即可得出.千米8由于两者速度差是

）.千米12+3=15（距离是B至A.千米15两地距离是B至A答：

在第一段.它分成三段从甲市到乙市有一条公路，20例千米，在第二段上，汽车速度是40上，汽车速度是每小时.千米50千米，在第三段上，汽车速度是每小时90每小时2已知第一段公路的长恰好是第三段的现有两辆汽车分.倍分后，在第20小时.1别从甲、乙两市同时出发，相向而行二段的解一：

画出如下示意图：

时，从甲城出发的C当从乙城出发的汽车走完第三段到汽车走完第一段的

把第一段分成两部分D处，这样，D到达分相当于20时

因此就知道，汽车在第一段需要）;30×3=90（分钟第二段需要甲、乙两市距离是.千米185答：

甲、乙两市相距

把每辆车从出发到相遇所走的行程都分成三段，而两车这样通过“所用时间”使各段.逐段所用时间都相应地一样也是13例、8例.这是一种典型的方法.之间建立了换算关系.类似思路，仅仅是问题简单些.还可以用“比例分配”方法求出各段所用时间第一段所用时间∶第三段所用时间=5∶2..时间一样第一段所用时间∶第二段所用时间=5∶9.因此，三段路程所用时间的比是5∶9∶2.

）.80×2=160（分种汽车走完全程所用时间是，可以20%如果车速提高.一辆车从甲地开往乙地21例千米后，120如果以原速行驶;比原定时间提前一小时到达25%再将速度提高那么甲、乙两地.分钟到达40，则可提前?

相距多少千米1.解：

设原速度是后，所用时间缩短到原时间的%

.这是具体地反映：

距离固定，时间与速度成反比用原速行驶需要，所用时间缩短到原来的25%同样道理，车速提高，可少时间25%如果一开始就加速

）.分钟72-40=32（分钟，40现在只少了分钟，它应是32说明有一段路程未加速而没有少这个这段路程所用时间，原速的行程与加速的行程）分钟320-160=160（真巧，因此全程长.所用时间一样

.千米270答：

甲、乙两地相距千米，这一条件只在最后120十分有意思，按原速行驶事实上，其他条件已完全确定了“原速”与“加速”.用上两段行程的时间的比例关系，当然也确定了距离的比例关.系，就有x全程长还可以用下面比例式求出，设全程长为x∶120=72∶32.