高三数学第一轮复习测试及详细解答(1)《集合与函数》.doc
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高三数学第一轮复习单元测试
(1)—《集合与函数》
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合,则满足的集合B的个数是 ()
A.1 B.3 C.4 D.8
2.已知集合M={x|},N={y|y=3x2+1,xÎR},则MÇN= ()
A.Æ B.{x|x³1} C.{x|x>1} D.{x|x³1或x<0}
3.有限集合中元素个数记作card,设、都为有限集合,给出下列命题:
①的充要条件是card=card+card;
②的必要条件是cardcard;
③的充分条件是cardcard;
④的充要条件是cardcard.
其中真命题的序号是
A.③、④ B.①、② C.①、④ D.②、③
4.已知集合M={x|x<3},N={x|log2x>1},则M∩N= ()
A. B.{x|0<x<3} C.{x|1<x<3} D.{x|2<x<3}
5.函数的反函数是 ()
A. B.
C. D.
6.函数的定义域是 ()
A. B. C. D.
7.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 ()
A. B.
C. D.
8.函数的反函数的图象与y轴交于点
(如图2所示),则方程的根是()
A.4 B.3 C.2 D.1
9.已知函数若则 ()
A. B.
C. D.与的大小不能确定
10.为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文密文(加密),接收方由密文明文(解密),已知加密规则为:
明文对应密文例如,明文对应密文当接收方收到密文时,则解密得到的明文为 ()
A. B. C. D.
11.如图所示,单位圆中弧AB的长为x,f(x)表示弧AB与弦AB所
围成的弓形面积的2倍,则函数y=f(x)的图象是()
12.关于的方程,给出下列四个命题:
①存在实数,使得方程恰有2个不同的实根;
②存在实数,使得方程恰有4个不同的实根;
③存在实数,使得方程恰有5个不同的实根;
④存在实数,使得方程恰有8个不同的实根.
其中假命题的个数是 ()
A.0B.1C.2D.3
二、填空题:
本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上.
13.函数对于任意实数满足条件,若则_______.
14.设f(x)=log3(x+6)的反函数为f-1(x),若〔f-1(m)+6〕〔f-1(n)+6〕=27,则f(m+n)=___________________.
15.设则__________.
16.设,则的定义域为_____________.
三、解答题:
本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
已知函数满足且对于任意,恒有成立.
(1)求实数的值;
(2)解不等式.
18(本小题满分12分)
20个下岗职工开了50亩荒地,这些地可以种蔬菜、棉花、水稻,如果种这些农作物每亩地所需的劳力和预计的产值如下:
每亩需劳力
每亩预计产值
蔬菜
1100元
棉花
750元
水稻
600元
问怎样安排,才能使每亩地都种上作物,所有职工都有工作,而且农作物的预计总产值达到最高?
19.(本小题满分12分)
已知函数
(1)若且函数的值域为,求的表达式;
(2)在
(1)的条件下,当时,是单调函数,求实数k的取值范围;
(3)设,且为偶函数,判断+能否大于零?
20.(满分12分)
已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x2+y_=f(x)-x2+x.
(1)若f
(2)-3,求f
(1);又若f(0)=a,求f(a);
(2)设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)=x0,求函数f(x)的解析表达式.
21.(本小题满分12分)
设函数.
(1)在区间上画出函数的图像;
(2)设集合.试判断集合和之间的关系,并给出证明;
(3)当时,求证:
在区间上,的图像位于函数图像的
上方.
22.(本小题满分14分)
设a为实数,记函数的最大值为g(a).
(1)设t=,求t的取值范围,并把f(x)表示为t的函数m(t);
(2)求g(a);
(2)试求满足的所有实数a.
参考答案
(1)
1.C.,,则集合B中必含有元素3,即此题可转化为求集合的子集
个数问题,所以满足题目条件的集合B共有个.故选择答案C.
2.C.M={x|x>1或x£0},N={y|y³1}故选C
3.B.选由card=card+card+card知card=card+
cardcard=0.由的定义知cardcard.
4.D. ,用数轴表示可得答案D.
5.A.∵∴即
∵∴即
∴函数的反函数为.
6.B.由,故选B.
7.B.在其定义域内是奇函数但不是减函数;C在其定义域内既是奇函数又是增函数;D在其定义域内不是奇
函数,是减函数;故选A.
8.C.利用互为反函数的图象关于直线y=x对称,得点(2,0)在原函数的图象上,即,
所以根为x=2.故选C
9.B.取特值,选B;或二次函数其函数值的大小关系,分类研究对
成轴和区间的关系的方法,易知函数的对成轴为,开口向上的抛物线,由,x1+x2=0,需
分类研究和对成轴的关系,用单调性和离对成轴的远近作判断,故选B;
10.B.理解明文密文(加密),密文明文(解密)为一种变换或为一种对应关系,构建方程组求解,依提意用明文表示密文的变换公式为,于是密文14,9,23,28满足,即有,选B;
11.D.当x=时,阴影部分面积为个圆减去以圆的半径为腰的等腰直角三角形的面积,故此时,即点()在直线y=x的下方,故应在C、D中选;而当x=时,,阴影部分面积为个圆加上以圆的半径为腰的等腰直角三角形的面积,即,即点()在直线y=x的上方,故选D.
12.B.本题考查换元法及方程根的讨论,要求考生具有较强的分析问题和解决问题的能力;据题意可令①,则方程化为②,作出函数的图象,结合函数的图象可知:
(1)当t=0或t>1时方程①有2个不等的根;
(2)当0 故当t=0时,代入方程②,解得k=0此时方程②有两个不等根t=0或t=1,故此时原方程有5个根;当方程②有两个不等正根时,即此时方程②有两根且均小于1大于0,故相应的满足方程的解有8个,即原方程的解有8个;当时,方程②有两个相等正根t=,相应的原方程的解有4个;故选B. 13.由得,所以,则. 14.f-1(x)=3x-6故〔f-1(m)+6〕·〔f-1(x)+6〕=3m·3n=3m+n=27 \m+n=3\f(m+n)=log3(3+6)=2. 15.. 16.由得,的定义域为。 故,解得. 故的定义域为. 17. (1)由知,…①∴…②又恒成立,有恒成立,故. 将①式代入上式得: 即故. 即,代入②得,. (2)即∴ 解得: ,∴不等式的解集为. 18.设种蔬菜、棉花、水稻分别为x亩,y亩,z亩,总产值为u, 依题意得x+y+z=50,,则u=1100x+750y+600z=43500+50x. ∴x0,y=90-3x0,z=wx-400,得20x30,∴当x=30时,u取得大值43500,此时y=0,z=20. ∴安排15个职工种30亩蔬菜,5个职工种20亩水稻,可使产值高达45000元. 19 (1)∵,∴又恒成立, ∴,∴,∴. ∴ (2)则 当或时,即或时,是单调函数. (3)∵是偶函数∴, ∵设则.又 ∴+ ∴+能大于零. 20. (1)因为对任意xεR,有f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x,所以f(f (2)-22+2)=f (2)-22+2. 又由f (2)=3,得f(3-22+2)-3-22+2,即f (1)=1. 若f(0)=a,则f(a-02+0)=a-02+0,即f(a)=A. (2)因为对任意xεR,有f(f(x))-x2+x)=f(x)-x2+x. 又因为有且只有一个实数x0,使得f(x0)-x0.所以对任意xεR,有f(x)-x2+x=x0. 在上式中令x=x0,有f(x0)-x+x0=x0,又因为f(x0)-x0,所以x0-x=0,故x0=0或x0=1. 若x0=0,则f(x)-x2+x=0,即f(x)=x2–x.但方程x2–x=x有两上不同实根,与题设条件矛质, 故x2≠0.若x2=1,则有f(x)-x2+x=1,即f(x)=x2–x+1.易验证该函数满足题设条件. 综上,所求函数为f(x)=x2–x+1(xR). 21. (1) (2)方程的解分别是和, 由于在和上单调递减, 在和上单调递增,因此 . 由于. (3)[解法一]当时,. , .又, ①当,即时,取, . ,则. ②当,即时,取,=. 由①、②可知,当时,,. 因此,在区间上,的图像位于函数图像的上方. [解法二]当时,. 由得, 令,解得或, 在区间上,当时,的图像与函数的图像只交于一点;
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