高中数学基础知识梳理(共十章)(精编版).doc
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高中数学基础知识梳理(共十章)(精编版)
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第一章集合与简易逻辑基础知识梳理
一、集合
⒈集合的概念:
某些指定的对象集在一起就成为一个集合,简称集;集合中的每一
个对象叫集合的元素.
元素a在集合M内的表示法,元素a不在集合M内的表示法.
⒉集合中的元素必须具备“三性”:
、、.
⒊空集的意义及记号:
不含任何元素的集合叫空集,空集记作Ø;
⒋常用数集及记号:
⑴非负整数集(零和正整数的全体)——N;
⑵正整数集——N*或N+;
⑶整数集——Z;⑷有理数集——Q;⑸实数集——R.⑹无理数集——CRQ
⒌集合的分类(按集合中的元素个数来分):
⑴有限集——
⑵无限集——
⒍集合的表示法:
⑴列举法——把集合中元素一一列举出来写在大括号内;
⑵描述法——把集合中元素的公共熟性用语言或式子描述出来写在大括号内,其基
本模式是{x|p(x)}.
⒎集合的形象表示法——韦恩图,即用一条封闭的曲线围成的图形(内部)表示集合.
⒏子集、交集、并集、补集:
Ⅰ子集
⑴子集、真子集的意义:
对于两个集合A、B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,那么集
合A叫做集合B的子集,记作AÍB;如果A是B的子集,并且B中至少有一
个元素不属于A,那么集合A叫做集合B的真子集,记作AB.
⑵子集的性质:
(用Í、填空)
①AA,ØA,若A≠Ø,则ØA;
②若AÍB,BÍC,则AC;③若AB,BÍC,则AC;
④若AÍB,BC,则AC;④若AB,BC,则AC.
⑶子集的个数:
若集合A中有n个元素,则①集合A的子集个数是2n;②集合A的真子集
个数是2n−1;③集合A的非空真子集个数是2n−2.
⑷集合相等的意义:
若集合A与B含有相同的元素,称它们相等,记作A=B;
集合相等的充要条件:
A=BÛAÍB且BÍA.
Ⅱ交集
⑴交集的意义:
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A、B的交集,
A
B
记作A∩B,即A∩B={x|x∈A且x∈B}
请根据右面的韦恩图打出A∩B的阴影.
⑵交集的性质:
①A∩A=;②A∩Ø=;③A∩B=B∩A;
④若A∩BÍA,则A∩BÍB;⑤若A∩BÍA,则AÍB.
Ⅲ并集
⑴并集的意义:
由所有属于集合A或者属于集合B的元素所组成的集合,叫做集合A、B的并
A
B
集,记作A∪B,即A∪B={x|x∈A或x∈B}
请根据右面的韦恩图打出A∪B的阴影.
⑵并集的性质:
①A∪A=;②A∪Ø=;③A∪B=B∪A;
④A∪BÊA;⑤A∪BÊB;⑥A∪B=AÛBÍA
Ⅳ补集
⑴全集、补集的意义:
如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合叫做全集,全
集通常用U表示;
设S是一个集合,A是S的一个子集(即AÍS),由S中所有不属于A的元素组
成的集合,叫做集合A的补集(或余集),记作CSA,即CSA={x|x∈S且xÏA}.
S
A
请根据右面的韦恩图打出CSA的阴影.
⑵补集的性质:
①A∪CUA=;②A∩CUA=;③CUU=;
④CUØ=;⑤CU(CUA)=;
⑥CU(A∪B)=(CUA)∩(CUB);⑦CU(A∩B)=(CUA)∪(CUB).
⒐集合的元素的个数:
⑴“集合A的元素的个数”可用符号记作;
⑵对任意两个有限集合A,B,有
card(A∪B)=card(A)+card(B)−card(A∩B).
二、简易逻辑
⒈命题概念:
可以判断真假的语句叫做命题.
⒉逻辑联结词:
“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词.
⒊简单命题:
不含逻辑联结词的命题叫做简单命题.
⒋复合命题:
由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫做复合命题.
⒌真值表:
表示命题的真假的表叫真值表.
⑴非p形式复合命题的真值表(填“真”或“假”)
p
非p
真
假
⑵p且q形式复合命题的真值表(填“真”或“假”)
p
q
P且q
对p且q形式的复合命题,只要p和q中有一个是假即为.
真
真
真
假
假
真
假
假
⑶p或q形式复合命题的真值表(填“真”或“假”)
p
q
P或q
对p或q形式的复合命题,只要p和q中有一个是真即为.
真
真
真
假
假
真
假
假
⒍四种命题:
⑴互逆命题及逆命题的概念:
在两个命题中,如果第一个命题的条件(或题设)是第二个命题的结论,且第一
个命题的结论是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题;如果把第一
个命题叫做原命题,那么另一个叫做原命题的逆命题.
⑵互否命题及否命题的概念:
在两个命题中,如果一个命题的条件和结论,分别是另一个命题的条件的否定
和结论的否定,那么这样的两个命题叫做互否命题;把其中一个命题叫做原命
题,另一个就叫做原命题的否命题.
⑶互为逆否命题及逆否命题的概念:
在两个命题中,如果一个命题的条件和结论,分别是另一个命题的结论的否定
和条件的否定,那么这样的两个命题叫做互为逆否命题;把其中一个命题叫做
原命题,另一个就叫做原命题的逆否命题.
⑷四种命题的一般形式:
(用符号“┐”表示否定)
①原命题:
若p则q;②逆命题:
;
③否命题:
;④逆否命题:
.
⑸四种命题之间的关系:
在下列双箭头符号旁填上相应的文字)
原命题
逆命题
逆否命题
否命题
⑹一个命题的真假与其他三个命题的真假关系:
①原命题为真,它的逆命题;
②原命题为真,它的否命题;
③原命题为真,它的逆否命题.
⑺用反证法证明命题的一般步骤:
①假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立;
②从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾;
③由矛盾判断假设不正确,从而肯定命题的结论正确.
⒎充分条件和必要条件:
⑴充分条件和必要条件的概念:
若p则q,即pÞq,我们说,p是q的条件,q是p的条件.
⑵充要条件的概念:
若p则q,且若q则p,即pÛq,我们说p是q的条件,
q是p的条件.
第二章函数基础知识梳理
一、映射:
⒈映射的定义:
设A、B是两个集合,按照某种对应法则f,对于集合A中的任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合A、B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射,记作f:
A→B.
⒉象与原象的概念:
给定一个集合A到B的映射,且a∈A,b∈B.如果元素a和元素b对应,那么我们把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象.
⒊一一映射的定义:
设A、B是两个集合,f:
A→B是集合A到集合B的映射,如果在这个映射下,对于集合A中的不同元素,在集合B中都有不同的象,而且B中每一个元素都有原象,那么这个映射叫做A到B上的一一映射.
二、函数:
⒈函数的传统定义:
设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值,y都有唯一的值与它对应,那么就说x是自变量,y是x的函数.我们将自变量x取值的集合叫做函数的定义域,和自变量x的值对应的y的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域.
⒉函数的近代定义:
如果A、B都是非空数集,那么A到B的映射f:
A→B就叫做A到B的函数,记作y=f(x),其中x∈A,y∈B.原象的集合A叫做函数y=f(x)的定义域,象集合C(CÍB)叫做函数y=f(x)的值域.
函数的三要素是:
、、.
⒊函数的表示法:
解析法、列表法、图象法.
⒋关于区间的概念:
⑴满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间,表示为;
⑵满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间,表示为;
⑶满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间,分别表示为
或.
以上的实数a与b都叫做相应区间的端点.
⒌函数解析式的求法:
⑴换元法;⑵待定系数法.
⒍求函数定义域的主要依据:
⑴分式中的分母不为0;⑵偶次根式的被开方数不小于零;⑶对数的真数大于零;
⑷零指数幂的底数不等于零;⑸指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1;
⑹对于应用问题,要注意自变量所受实际意义的限制.
⒎求函数值域的方法有:
⑴配方法;⑵换元法;⑶判别式法;⑷单调性法;
⑸基本不等式法;⑹数形结合法;⑺反函数法.
三、函数的单调性:
⒈函数单调性的定义:
如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数.这个区间叫增区间.
如果
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