弹性力学读书报告课案Word下载.docx
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假设物体的
变形是微小的,即物体受力后,所有各点的位移都远小于物体的原有尺寸,应变都很小。
这样,在考虑物体变形后的平衡状态时,可以用变形前的尺寸来代替变形后的尺寸。
二、三维方程
2.1三维应力状态下的平衡微分方程
物体处在平衡状态,其内部的每一点都处于平衡状态。
使用一个微六面体代表物体内的一点,则作用在该微六面体上的所有力应满足平衡条件,由此可以导出平衡微分方程。
如图一所示,取直角坐标系的坐标轴和边重合,各边的长度分别为dx,dy,dz。
在微六面体x=0面上,应力是(TxTxyTXZ;
在X=dX面上的应力,
心+.萨J
B
dy
O
图一
根据应力函数的连续性并按泰勒级数对x=0的面展开,略去高阶项,可得
旳x抚xyCTxz
二x-dx,xy—dx,xz—dx
exexcx
同理,可由y=0,z=0面上的应力表示y=dy,z=dz面上的应力。
最后,所有各面上的应力如图一示。
当弹性体平衡时,P点的平衡就以微元体平衡表示。
这样,就有6个平衡方程
3Fx二0,=Fy二0,=Fz二0
3Mx=0,=My=0,
3Mz=0
考虑微单元体沿x方向的平衡,可得
(Jxdx)dydz—;
「xdydz(
ex
yx
'
yxdy)dxdz-y
-yxdxdz(zx亠dz)dxdy-zxdxdyXdxdydz二0cz
整理上式并除以微单元体的体积dxdydz,得
&
TcTx氏
__「•亠.X=0(2-1.1)
x:
yz
同理,建立y、z方向的平衡条件,可得
这就是弹性力学的平衡微分方程,其中X,Y,Z是单位体积里的体积力沿x,y.
z方向上的分量
考虑图一中微单元体的力矩平衡。
对通过点C平衡于x方向的轴取力矩平衡得
(yxyxdy)dxdzd^yxdxdzd^-(zyzxdy)dxdy-dz-zydxdy-dz-0
cy22cz22
于是力矩平衡方程在略去高阶项之后只剩两项
yxdxdz■dyzydxdy
22
-0
由此可得
•yx=zy
同理可得
与两个平面的交线
根据剪应力互等定
这6个应力描述了
这既是剪应力互等定理。
它表明:
在两个互相垂直的平面上,垂直的剪应力分量的大小相等,方向指向或者背离这条交线。
理,式(1-1)中包含的九个应力分量中只有6个是独立的,物体内部的任意一点的应力状态。
2.2三维应力状态下的几何方程
.:
u
:
w
{z}={
L!
xy
yz
u;
:
v
r
y;
x
zx
泊:
W
■z:
y
£
w十£
;
x;
z
2.3三维应力状态下的物理方程
1
x=E匚x_2y_^z
x=E:
-x-比y-七z
z=一(g-kkr-kkr\zezxy
物理方程的矩阵形式
其中矩阵[D]称为三维应力状态下的弹性矩阵
E
■1
-P
-k000
▽x
1000
<
Tzgz
>
=]{a}
02(1+門00|
Txy
002(1+4)0
Eyz
0002(1+4)_[
Fzx,
—卩
三、在极坐标系下的基本方程
3.1应力坐标变换
我们知道,直角坐标系和极坐标系变量之间的关系为
222
rxy
v-arctany
也可以在
称为应
弹性体在一定的应力状态下,可以在已知直角坐标系中求解应力分量,极坐标中求解。
因而应力分量在两种坐标系中的表达式就有一定的联系,力的坐标变化。
在直角坐标系中求出三角微元体的应力分量为
◎十cya◎—eraA亠
—'
x'
cos2;
-.—sin2
CT+CTaCT—CTa
二x..x-cos2^r.sin2^
er—cyp
sin2)r/Cos2J
在直角坐标系下的应力分量表示可在极坐标系下表示,变换后可得方程
CTCT-CT
-'
丄ycos2—xySin2二
22xy
cr+cra-cr
-―丄ycos2一「Sin2二
a-cr
c=%2ysin2丁xycos2-
3.2极坐标下的平衡方程
3.3极坐标下的几何方程为
cr
’土+如
廿rr旳
rr严空十母一也
、一r点日crr
四、弹性力学解题的主要方法
4.1位移解法
位移解法是以位移分量作为基本未知量的解法。
把平衡方程、本构方程和几何方程简化为三个用位移分量表示的平衡方程,从中解出位移分量。
然后再代回几何方程和本构方程,进而求出应变分量和应力分量。
4.2应力解法
应力解法是以应力分量作为基本的未知数的解法。
由协调方程、本构方程和平衡方程简化出六个用应力分量表示的协调方程,再加上平衡方程和力边界条件解出六个应力分量。
然后由本构方程求出应变分量,再对几何方程积分即可得到位移分量。
由于应力与应变间的胡克定律是代数方程,应变解法的求解难度不会比应力解法有实质性的改善,而边界条件用应力表示则方便很多,所以很少采用应变解法。
4.3应力函数解法
在位移解法中,引进三个单值连续的位移函数,使协调方程自动满足,问题被归结为求解三个用位移表示的位移方程。
应变分量可由位移偏导数的组合来确定。
与此类似,在应力解法中也有可以引进某些自动满足平衡方程的函数,称之为应力函数,把问题归结为求解用应力函数表示的协调方程。
应力分量可由应力函数偏导数的组合来确定。
应力函数解法既保留了应力解法的优点(能直接求出应力分量),又吸收了位移解法的思想(能自动满足平衡方程,基本未知数降为三个),所以是弹性力学理论中最常用的解法之一。
五、弹性力学的应用举例
例一:
悬臂梁
(1)确定应力函数的边界条件
以A(0,h/2)为起始点,调整'
二!
axbyc中的任意常数使
选左手坐标系且M以逆时针为正,应力函数在边界条件上满足
化的主矢量和逆时钟向主距。
在下边界AB上,载荷处处为零。
由(b)式得:
^0<
x<
r
=0;
=0
r矽
y=h/2」
(d)
钟向公式(c)得
(2)选择域内应力函数
沿y方向的规律未知,由此可选
二fo(y)xfi(y)—f2(y)(f)
带入边界条件(d(e)可以定出待定函数的边界条件
当y=h/2时,fo=fi=f2=0
df0dfidf2
0(g)dydydy
当y=—2时,fo=—M;
fi=—P;
f2=—q
(3)求待定函数
由边界条件(g)可得出各待定常数:
A二一卑;
-r-
h3'
2P
F=0;
2Mq.
h3
M
10h‘
进而可得
c自;
2h
G竺
K=0;
2
R」
2(i)
辿
80
3M
P,,
qyy3
H4『)3”4痘型耸)2
2hh380h2
(j)
最后带回到公式(f)中得
11y
(MPxqx2)(1-34
22h
(4)求应力
把(k)式代入应力公式
-x
-2
y
r2'
-
-x2
可以得到
12
尹(M
y23
12y
Px尹)处暮25
为訓1一
吕(P-qx)(^-y2)
h4
例二:
圆环或圆筒受均布压力
(a)
(b)
a,b,内
图三
设一轴向长度很长的圆环或者圆筒的截面如图三示,起内外径分别为
径表面受内压力
qa和外压力qb作用
考虑边界条件
将式
A
S=p+B(1+2lnr)+2C
B(32lnr)2C(b)r
片日=巾=0
代入后得到
B(12lna)2C--qa
(c)
a
—B(V2lnb)2C--qbb
式中有三个未知数,连个方程不能确定。
对于多连体问题,位移须满足位移单值条件,即
4Br>
i
uHr「IsinvKcost-u_:
.2n-
要使其单值,必须有B=0,由式(c)得
a2b2
b2-a2
2.2qaa-qbbA七Mb-qa),2C「aWb-a
将其代回应力分量式(b)得应力分量为
上述应力表达式中
(2)
若qb=0(而qaz0),则径向应力和环向应力分别为
(3)
若qa=O(qbz0),径向应力和环向应力分别为
(4)若b——:
(qa=0),则转化为具有圆形孔道的无限大弹性问题,则有
例三:
矩形薄板的位移
图四取坐标轴如图所示,把位移函数设为
u=x(A+A2x+A3y)
v=x(RB2xB3y)
所以
5=x,u2二xu3二xy
v^x,V2=xV3=xy
不论各系数如何取值,上式都满足固定边的位移边界条件:
(U)x£
=0,(V)x£
=0
按瑞利-里兹法求解。
板的应力边界条件为
板上边界:
(X)y「,(Y)y「0
板下边界:
板右边界:
将位移试函数代入式
芈二XUmdxdy亠liXUmdS
-Ams
s
(J
[Yv2dS=fs2dyxa2b
/Ub12
-:
Ba
五'
丫v3dS「0aydy工ab
将位移试函数代入应变势能表达式,通过积分运算,将结果代入上面六个方程可确定6个待
定系数。
其结果是:
A=A2=A3—0
B=21],b2二b3=0
结论:
弹性力学也称弹性理论,主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移,从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚度问题。
在研究对象上,弹性力学同材料力学和结构力学之间有一定的分工。
材料力学基本上只研究杆状构件;
结构力学主要是在材料力学的基础上研究杆状
构件所组成的结构,即所谓杆件系统;
而弹性力学研究包括杆状构件在内的各种形状的弹性体。
弹性力学是固体力学的重要分支,它研究弹性物体在外力和其它外界因素作用下产生的变形和内力,也称为弹性理论。
它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础,广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。
弹性体是变形体的一种,它的特征为:
在外力作用下物体变形,当外力不超过某一限度时,除去外力后物体即恢复原状。
绝对弹性体是不存在的。
物体在外力除去后的残余变形很小时,一般就把它当作弹性体处理。
弹性力学的发展大体分为四个时期。
人类从很早时就已经知道利用物体的弹性性质了,比如古代弓箭就是利用物体弹性的例子。
当时人们还是不自觉的运用弹性原理,而人们有系统、定量地研究弹性力学,是从17世纪开始的。
发展初期的工作是通过实践,探索弹性力学的基本规律。
这个时期的主要成就是R.胡克于1678年发表的弹性体的变形与外力成正比的定律,后来被称为胡克定律。
第二个时期是理论基础的建立时期。
这个时期的主要成就是,从1822〜1828年间,在A.-L•柯西发表的一系
列论文中明确地提出了应变、应变分量、应力和应力分量概念,建立了弹性力学的几何方程、平衡(运动)微分方程,各向同性和各向异性材料的广义胡克定律,从而为弹性力学奠定了理论基础。
弹性力学的发展初期主要是通过实践,尤其是通过实验来探索弹性力学的基本规律。
英国的胡克和法国的马略特于1680年分别独立地提出了弹性体的变形和所受外力成正比的定律,后被称为胡克定律。
牛顿于1687年确立了力学三定律。
同时,数学的发展,使得建立弹性力学数学理论的条件已大体具备,从而推动弹性力学进入第二个时期。
在这个阶段除实验外,人们还用最粗糙的、不完备的理论来处理一些简单构件的力学问题。
这些理论在后来都被指出有或多或少的缺点,有些甚至是完全错误的。
在17世纪末第二个时期开始时,人们主要研究梁的理论。
到19世纪20年代法国的纳维和柯西才基本上建立了弹性力学的数学理论。
柯西在1822〜1828年间发表的一系列论文中,明确地提出了应变、应变分量、应力和应力分量的概念,建立了弹性力学的几何方程、运动(平衡)方程、各向同性以及各向异性材料的广义胡克定律,从而奠定
了弹性力学的理论基础,打开了弹性力学向纵深发展的突破口。
第三个时期是线性各向同性弹性力学大发展的时期。
这一时期的主要标志是弹性力学广泛应用于解决工程问题。
同时在理论方面建立了许多重要的定理或原理,并提出了许多有效的计算方法。
1855〜1858年间法国的圣维南发表了关于柱体扭转和弯曲的论文,可以说是第三个时期的开始。
在他的论文中,理论结果和实验结果密切吻合,为弹性力学的正确性提供了有力的证据。
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