SARS 数学建模Word下载.docx
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4)忽略“非典病人的个体差异”,假设传染期为常数;
2早期模型建立:
假定初始时刻的病例数为N0,平均每位病人每天可传染K个人(K一般为小数),平均每个病人可以直接感染他人的时间为L天。
则在L天之内,病例数目的增长随时间t(单位天)的关系是:
N(t)=N0(1+K)t
如果不考虑对传染期的限制,则病例数将按照指数规律增长。
考虑传染期限L的作用后,变化将显著偏离指数律,增长速度会放慢。
我们采用半模拟循环计算的办法,把到达L天的病例从可以引发直接传染的基数中去掉。
为了简单起见,从开始至到高峰期间均采用同样的K值(从拟合这一阶段的数据定出)。
到达高峰期后,在10天的范围内逐步调整K值到比较小,然后保持不变,拟合其后在控制阶段的全部数据。
二、早起模型的合理性和实用性的简评
A.早期模型的优点:
1.模型简明
本模型主要有三个参数N0、K、L,且都具有实际意义。
L可理解为平均每个病人在被发现前后可以造成直接传染的期限,在此期限后失去传染能力,可能原因是被隔离、病愈或死去等等。
K表示某种社会条件下平均每位病人每天传播的人数(但并非文中所述的一个病人的感染他人的平均概率)。
整个模型抓住了SARS传播过程中两个主要特征:
传染期L和传染率K,反映了SARS的传播过程。
使人很容易理解该模型。
2.模型灵活
通过调整N0、K、L值,就可以描述不同地区,不同环境下SARS的初期传播规律
3.预测准确
通过模型对北京、广东与香港的疫情进行了分析,得到的预测值与实际统计数据较接近。
可大致预测出疫情的爆发点和发展趋势。
B.早期模型的缺点:
1.对于如何确定对于三个参数N0、K、L,未给出一般的原则或算法,只能通过对于已发病地区的数据进行拟合得出。
按照作者的表述,K值是以病发高峰为界取各段的平均值作为传染概率,虽然简化了运算,但是在现实情况下,不同地区的K值是不同的。
在实际应用中,如果没有一定量的数据,是无法得出K值的。
在我们对该模型进行拟合事发现,对于N0、K、L作者未给出调整的标准和相关理论,所以我们很难重复该求解过程。
2.当需要对某一地区进行疫情分析时,还需考虑到该地区相对于北京、广州、香港这类人口密集,人员流动性大的城市之间的差异。
地域因素会造成不同地区的K值不同(如人口密度和人口流动大的城市若爆发传染病,初期的K值会比人口密度和人口流动小的城市大,等等),而很难找到地域因素几乎相同的两城市。
所以此作法可能导致预测结果相差较大。
综上所述,该模型能较好的反映非典传染的特征性,具有一定的实际意义。
但是,参数的取值包含有一定的主观因素,且需要大量的数据进行拟合,且未给出调整的标准和相关理论,在实际应用中实用价值不大。
第二问,
模型一,
模型假设
1,在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变,既不考虑生死,,也不考虑迁移。
人群分为易感染者和已感染者两类,时刻t这两类人在总人数中所占比例分别记为s(t)和i(t)。
2,每个病人每天有效接触的平均人数是常数k,k称为日接触率。
当病人与健康者有效接触时,使健康者受感染为病人。
问题分析
根据假设,可知,人群分为两类,一是健康者,二是病人,只要一类人群随时间的变化规律知道,这另一类人群也可马上求解。
由于传染病过程中通常取病人为研究对象,所以决定求解病人随时间的变化规律。
模型求解
对于t时刻,病人的增加率为Nisk,即
(1)
又因为
S(t)+i(t)=1
(2)
再令初始时刻的病人比例为i0,这
(3)
显然此为logistic模型,它的解为
(4)
参数的确定
通过对北京的累计病例数用spss进行曲线拟合,结果如下
模型汇总和参数估计值
因变量:
累计病例数
方程
模型汇总
参数估计值
R方
F
df1
df2
Sig.
常数
b1
Logistic
.926
1
63
.000
.001
.865
自变量为时间。
可得拟合的函数关系式为
,y=N*i
通过取一系列t来估计出相应的k值,结果如下
时间
20
30
40
50
60
k值大小
由图像可知,当t较大时,曲线拟合的数据与实际测量值越接近,所以就取t=60时所对应的k值,即。
此值可以近似看做当政府没有采取措施,即传染病的自然传染能力大小。
但同时根据附件1的求解方法,我们计算了4月20日到4月29日期间每日的k值大小,再求平均,得
=(消息内容请看附件1)。
对于k和
之间的差异,这是由于模型1并未考虑到政府控制前和控制后k值将改变,且k1>
k2。
所以由于
只考虑控制前,所以比k要略大,我们考虑传染病的每天平均自然传染人数时,取值为
=。
但由于此模型未考虑到病人会被治愈而成为健康者,所以在模型1的基础上进行改进,建立了模型2。
模型2
在模型1的假设条件下增加的条件为,
3,每天被治愈的病人数或死于该传染病人数占病人总数的比例为常数p。
病人治愈后由于获得了免疫能力,同时也由于心理作用,更加保护自己,所以可以假设治愈后再次感染的几率为0,且该种人群在总人群中所占有的比例为u(t)。
不难看出,考虑到假设3,模型1中的
(1)式应修改为
(5)
而且对于健康者,其增加率为
(6)
对于移出者而言,其增加率为
(7)
由于人群只由健康者,病人和移出者组成,所以
S(t)+i(t)+u(t)=1(8)
模型求解
查资料,得到2003年北京市市区总人口数目为万人
从而可以得到初始条件i0=339/(*10^(-4))=*10^(-5),s0=0.(取4月20号为初始条件)
同时根据附件2中的死亡累计和治愈累计,求得每日的移出率p,在求平均值得到
在模型一中求得
=;
将上述参数代入(5)式和(6))式,求得数值解和绘制的图像(详细内容见附件1)
由图像可得i(t)随时间的推移先逐渐变大,之后变小,趋向于0,s(t)随时间的推移而逐渐减小,根据常识,一种传染病中的病人比例最终是为0,由此模型2还是比较符合客观事实的,但从图像中大致可以判断i(t)=0时大约要经过225多天。
这与实际过程中大约经过100多天北京的sars就平息存在较大误差,仔细分析,我们发现该模型忽略了sars的潜伏期,实际上健康人与sars患者接触后虽然被感染了,但还处于潜伏期,没有传染能力。
所以将模型2进行改进,得到模型3。
模型3
1,将人群分为四类,分别为健康人群,能感染的sars病人,sars潜伏者和移出者(包括sars的死亡者和治愈者),他们在人群中的比重分别为s(t),i(t),w(t),u(t);
其中已确诊病人和sars潜伏者统称为sars病毒携带者,记为x1(t),表示其t时刻的人数,人口总人数为N。
2,每个病人每天有效接触的平均人数是常数k,k称为日接触率。
3,sars潜伏者无传染能力,但最终会成为病人,具有传染能力。
该模型比起模型2更为复杂,在该模型中还必须将sars病毒携带者分为两类,显然增加了计算难度,在此中还应该考虑潜伏周期T。
在t时刻sars病毒携带者x1(t)=Ni(t)+Nw(t)(9)
sars病毒携带者的增长率为
(10)
健康人的增长率为
(11)
移出者的增长率为
(12)
潜伏者的增长率为
(13)
确诊病人的增长率为
(14)
除此之外,还有一条公式,为
S(t)+i(t)+w(t)+u(t)=1(15)
由(9)到(16)式联立,可得到
(16)
将(14)和(17)式联立,可得
(17)
将t-T用t代替,可得
(18)
在对(16)式两边对t进行求导,可得
(19)
结合(11),(12),(18)可求得
(20)
最终对(11),(18),(20)联立的方程组进行数值求解,可得图像如下
从图像中我们可以观察到在300多天时i(t)会接近于0,这比模型2还要久,,因此,我们还把政府的干预考虑进来,也就得到了模型4。
由于时间限制,模型4中考虑的因素更多,所以一时没能解决,也就导致了第二问实际上还不能完全解决,但是我们已经有了思路,即再引入一类人群,就是隔离人群,通过引入该人群,实际上是改变了病人的有效接触人数k,我们根据北京4月29日之后的实际数据,求得每日的k值,再求平均,得
我们想采用分段函数,即确定一个时刻t,为
值改变的时刻,在这个时刻前与后都可以适用模型3。
只是在考虑t时刻后,它的初始条件为4月29日的数据。
通过t的改变,可以解决第二问中政府早五天调控和晚五天调控的差别。
第三问
附件3:
北京市接待海外旅游人数(单位:
万人)
年
1月
2月
3月
4月
5月
6月
7月
8月
9月
10月
11月
12月
1997
1998
1999
21
2000
26
23
2001
28
2002
29
2003
表格1-1
建立灰色预测模型GM(1,1)
由附件3,建立1997—2002年的矩阵,计算每年的年平均值,记为
求得级比σ(i)=/(i)
对
=,=(i=2,3…6),
记
求均值数列
(k=2,3…6),
即=(…).于是建立灰色微分方程为
(k)+a=b
1-1
相应的白化微分方程为
1-2
记u=,=,B=,则由最小二乘法,求得达到最小值的=.
于是求解方程1-1,得
则
1-3
由1-2式可以得到2003年的平均值为x,则观测2004年的总产值为X=12·
x.根据历史数据,可以统计计算出2003年第i个月的指标值占全年总值的比例为u,即
1-4
则,于是可得2003年每一个月的指标值为Y=X·
u
模型的求解:
由表格1-1的数据,可以求得年平均值、一次累加值分别为
,,,,,)
=(,,,,,)
可求得的所有级比为(,,,,)
也就是说的所有级比都在可容区域,内
取参数α=求得均值数列=(,,,,)
由1-1式进行最小二乘法拟合可得
从而得到:
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