贝叶斯统计复习.doc
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贝叶斯统计复习.doc
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贝叶斯统计习题
1.设是一批产品的不合格率,从中抽取8个产品进行检验,发现3个不合格品,假如先验分布为
(1)
(2)
求的后验分布。
解:
2.设是来自均匀分布的一个样本,又设的先验分布为Pareto分布,其密度函数为
其中参数,证明:
的后验分布仍为Pareto分布。
解:
样本联合分布为:
因此的后验分布的核为,仍表现为Pareto分布密度函数的核
即
即得证。
3.设是来自指数分布的一个样本,指数分布的密度函数为,
(1)证明:
伽玛分布是参数的共轭先验分布。
(2)若从先验信息得知,先验均值为0.0002,先验标准差为0.0001,确定其超参数。
解:
4.设一批产品的不合格品率为,检查是一个接一个的进行,直到发现第一个不合格品停止检查,若设X为发现第一个不合格品是已经检查的产品数,则X服从几何分布,其分布列为
假如只能以相同的概率取三个值1/4,2/4,3/4,现只获得一个观察值,求的最大后验估计。
解:
的先验分布为
在给定的条件下,X=3的条件概率为
联合概率为
X=3的无条件概率为
的后验分布为
5。
设是来自如下指数分布的一个观察值,
取柯西分布作为的先验分布,即
求的最大后验估计。
解后验密度
6.设是来自均匀分布的一个样本,又设服从Pareto分布,密度函数为
求的后验均值和后验方差。
解:
的先验分布为:
令
可得后验分布为:
则的后验期望估计为:
,
后验方差为:
.
7.设x服从伽玛分布,的分布为倒伽玛分布,
(1)证明:
在给定x的条件下,的后验分布为倒伽玛分布。
(2)求的后验均值与后验方差。
解:
由可以得出
(1)的后验分布为:
即为倒伽玛分布的核。
所以的后验分布为
(2)后验均值为
后验方差为
8.对正态分布作观察,获得三个观察值:
2,3,5,若的先验分布为,求的0.95可信区间。
9.设某电子元件的失效时间X服从指数分布,其密度函数为
若未知参数的先验分布为倒伽玛分布。
计算该种元件在时间200之前失效的边缘密度。
解:
10.设相互独立,且。
若是来自伽玛分布的一个样本,找出对的联合边缘密度。
解:
11.某厂准备一年后生产一种新产品,如今有三个方案供选择:
改建本厂原有生产线(),从国外引进一条自动化生产线();与兄弟厂协助组织“一条龙”生产线()。
厂长预计一年后市场对此产品的需求量大致可分为三种:
较高();一般();较低()。
假设其收益矩阵为(单位:
万元),
假设厂长根据自己对一年后市场需求量是高,中,低,给出的主观概率分别为0.6,0.3,0.1。
求在悲观准则,乐观准则,和先验期望准则下的最优行动。
解:
悲观准则下:
首先行动,,的最小收益分别为-200,-800,-30,。
然后选出其中最大的收益为-30,从而最优行动为
乐观准则下:
首先行动,,的最大收益分别为700,980,400,。
然后选出其中最大的收益为980,从而最优行动为。
先验期望准则下:
各行动的先验期望收益为
从而最优行动为。
12.某水果店准备购进一批苹果投放市场,市场需求量和采购量都在500至2000公斤之间,已知其收益函数为,假设的先验分布为上的均匀分布,该店应购进多少苹果可使先验期望收益最大?
解:
先验期望收益为
当a=1343时,先验期望达到最大,故应购进1343公斤苹果。
13.设某决策问题的收益函数为,若服从上的均匀分布,
(1)求该决策问题的损失函数。
(2)在先验期望损失最小的原则下寻求最优行动。
解:
14.一位卖花姑娘每晚购进鲜花第二天去卖,假设每束花的购进价格为1元,售价为6元,若当天卖不掉,因枯萎而不能再卖。
根据经验一天至少能卖5束鲜花,最多能卖10束鲜花。
(1)写出状态集和行动集。
(2)写出收益函数。
(3)在折中准则下,对乐观系数的不同值,讨论卖花姑娘前一天应购进几束鲜花为好。
解:
:
15.在二行动决策问题中,收益函数为
若,计算先验EVPI。
解:
16.在二行动决策问题中,收益函数为
若,对,分别计算先验EVPI。
解:
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