新大学生建模报告汇总家教问题Word下载.docx
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我们每个人几乎都有做家教的经历,那我们在选择家教时会考虑哪些因素呢?
怎样才能使我们受益最大?
今天我们一起来探讨一下。
首先要考虑年级,这不仅由于我们的自身能力等,而且家交费时有所受年级决定的。
费用标准如下:
初二及各个年级15元/小时
初三,高一,高二20元/小时
高三25元/小时
家教年级确定后,家教费率也就确定了,这时候左右我们的主要是路程的远近。
我们到底可以接受怎样的距离范围?
有付出才有回报,作家教师除了脑力劳动还付出了那些成本?
这些成本与时间又有怎样的关系?
为什麽有人不愿意做家教?
这些问题就是我们这篇论文所要解决的问题。
二.数据的说明
本文的数据来自我们在网上查询的一些资料,以及实地考察。
经过我们分析和处理得到一些数据:
花费在家教上的时间上限4小时
做家教与学习时间总和8小时
不做家教,学习时间上限6小时
学习效率最高时间点3小时
注:
这些时间均为双休日的时间。
三.化简与假设
<
1>
只考虑每小时15,20,25元三种家教费率,因为其他费率的家教往往是在特殊原因下产生的(如高考前高三补习家教是30元/小时)
2>
家教需求信息是充足的,我们可以自由选择。
3>
我们有能力胜任各年级的家教。
4>
家教费用是按照讲授时间和年级支付的,与路程远近无关。
5>
家教时间与学习时间总和一定,即此消彼长。
6>
不考虑其他主观因素的影响,例如孩子是否好处。
四.符号说明
T讲授时间
t花费在路程上的时间(包括等车时间,乘车时间等)以下简称交通时间
p花费在家教上的总时间,既p=T+t
x学习花费的时间
k讲授费率
m往返车费
M讲授工资
r家教收益率
R家教收益(现金收益)
h学习收益率
H学习收益
Y净收益
五.建立模型
家教收益
对于不同年级,我们有不同的讲授费率,但对我们而言,讲授费率并不是我们单位时间的收益,现在我们定义一个函数:
家教收益率
r(t,T,k)=
=
在将p=T+t代如上式,得到另外两种表达方式:
r(p,T,k)=
r(p,t,k)=
简化计算,我们假设m(t)=2,也就是假设我们往返花费在公车上的费用一共是2元.
对于这个函数,特别值得注意的是:
这个函数的下方图形的面积并不是我们的总收益。
我们家教收益率随着家教时间增加而增加,这是因为这样我们因坐车而花费的时间占的比率相对减少(随着家教时间增加而减少),但是家教总收益和坐车时间没有直接关系的
R(p)和r(p)的关系如下图,R相当于星线包围的区域面积:
下面我们将分别固定t,T,并且在不同的k下讨论。
固定t,在不同k下讨论:
这里并不是为了讨论实际问题,而是希望为下文进一步讨论提供方便。
而且根据调查,对于不同的k我们能接受的t是不同的。
也就是在这两个参数不是独立的情况下,调查的到数据如下:
乘车时间讲授费率
0.6小时15元/小时
1.44小时20元/小时
1.97小时25元/小时
将这三组数据以及m(t)=2代入
r(p,t,k)=k-
:
我们就可以得到方程
r1(p)=15-
r2(p)=20-
r3(p)=25-
我们家教p小时可以获得的总收益应该是
R(p)=r(p)*p,于是的到:
•R1(p)=15p-11
•R2(p)=20p-30.8
•R3(p)=25p-51.25
根据调查问卷得到:
我们能够接受的花费上面的最长的事件是4小时,将p=4代入上述三个式子,得到了:
R1=49,R2=49.2,R3=48.75
由此可见,总体而言,无论做那个年级的家教,我们在交通时间,总家教时间的心理极限下,可以获得的收益是一样的,这是为什麽呢?
到底这49元反映了什麽信息呢?
就是因为我们在做家教,获得了现金收益的时候,我们同时付出了成本,也就是学习时间!
前面一进假设我们能教各个年级,那末无论我们教那个年级,相同时间我们所付出的机会成本是一致的。
这个49元就应该是我们“收益=成本”的时刻,在这个时刻之后,我们的“收益〈成本”,所以说4小时是一个心理极限,这样的情况是个别存在的。
自习收入
根据调查问卷得到的数据,在不做家教的情况下,我们周末学习的最长时间是6小时。
其中学习效率最高的时刻是3小时,完成基本任务需要的事件是2.5消失。
如果有家教,家教与自习时间总和是8小时。
不妨将学习效率的曲线假设为二次函数:
h(x)=-a+c
将上述数据代入,得到x〈=6时,有
h(x)=-a+9a
=-a+6ax
现在目的就是要求a,使得h(x)表示的是习收益率,即学习第x小时,可以给我们带来的潜在收益:
先用h(x)表示我们家教p小时(p>
=2)付出的成本H(p),即如果我们将这段时间用于学习可以创造的潜在收益:
H(p)=
根据上文的论述,知道H(4)=R(4)=83,于是有方程:
H(4)=
解得a=5.25,代入h(x),H(p)得到:
•h(x)=
•H(x)=
•
•=
注意:
当p<
2时没有成本
这样我们就得到了学习收益率,机会成本的表达式。
下面对他们和家教收益率,家教收益(现金收益)的关系进行讨论。
成本与收益
在我们可以接受的交通时间和家教时间的极限,花费4个小时家教可以让我们不赔也不赚。
也就是将我们学习的潜在收益等价转化为现金收益。
可是在现实生活中,我们要找一份家教,是在固定的T,k情况下,来研究对方的t我们是否能够接受。
固定T,k
当然要保证收益成本。
也就是R(p)〉=H(p)
已知R(T,k)=kT-2,H(p)=
R与t无关,将H(t)转化成t的函数:
H(t)=
我们要求的就是满足R(t)〉=H(t)的t的取值
范围。
下图就是讲授时间为1小时,2小时,3小时的情况下,随交通时间的变化,我们的收益与成本变化的曲线图。
途中焦点就是我们在那种情况下所能接受的最长的交通时间,如果超过那个限度现金收益就会小于机会成本,我们得不偿失!
!
用另外的图形表示特就是R(t)/H(t)>
=1,这样我们就可以把机会成本高价值的兑换成现金,绘制的R(t)/H(t)图形如下:
可以从图上读出各种情况我们能接受的最长交通时间(小时):
15元/小时
20元/小时
25元/小时
T=1
1.90
1.97
2.09
T=2
1.17
1.38
1.57
T=3
0.45
0.70
0.90
我们家教时间在这个范围内,就是一个理性选择,我们可以把这个时间段称为一个理性时间段,超过那个时间段,我们就相当于在减价出卖我们的学习,赔本出卖我们的脑力劳动。
只要我们往返的交通时间在这个范围之内,我们就不会亏本。
但是哪有人做事是为了不亏本的?
可见我们的这个理性选择不够聪明!
那末我们什么时后能获得最大的净收益呢?
在计算最大差值时分两步
净收益最大
在一般情况下,我们会考虑收益与成本的差值,差值越大,净收益越大。
Y(t)=R(t)-H(t)=kT-2-
不需要计算,我们直接可以看出,在t=0时,净收益最大,因为随着t的增加,R不变,H(t)在增大.
显然,得到的结果没有实际意义,当然越近越好。
事实上,这样的方法并不科学,我们来举一个例子:
T=2,k=25就是一份家教信息,25元/小时,要求以此作两个小时。
分别就t=0和t=0.5进行讨论。
t
r
h
R
H
Y
24
48
0.5
19.2
14.438
10.935
37.063
•可以看出,虽然我们的现金收益没有改变,净收益随交通时间的增加减少了,机会成本也增加了,但是在t=0.5的时候,我们的h<
=r,也就是说,虽然我花费了时间在交通上面,但是如果我们去做家教,我们的单位时间获得的收益仍然会比低效率的学习效果好,也就是说,如果去做家教会让我们的时间更有价值。
最优时间段
在前文给出了一个理性的时间段范围。
在那个时间段范围内,开始时边际收益大于边际成本,但达到某一时间点之后,边际收益已经小于边际成本了,这时我们的现金折算就开始变小,也就是开始抵消我们前面的高比例折算,知道抵消完,使得我们的折算比例是1:
1。
那末如果找到这个转折点,只要在这个转折点之前,我们就是聪明的选择!
讨论边际收益r(t)和边际成本h(t)的关系:
还用上面的例子:
r(t)=
=T=1
h(t)=T=2
=T=3
得到交点为:
1.20
1.30
1.40
0.53
0.60
根据我们上面得到的不同情况下“理性选择”和“聪明选择”,可以画出如下的图形,并且将实际调查得到的家教数据也画入图中
由图可见,因为实际条件的制约“信息并不充裕,我们选择范围并不广”等等实际因素,数据中一部分的选择在理性选择的范围之内,但是很难达到聪明选择的区域!
当然,由于数据有限,图中的点并不能反映我们现在做家教是否是理性选择的分布状况,不过可以看出,存在一部分人做家教是不划算的状况,但是,也不排除他的学习曲线与我们得到的有比较大的差异的情形。
六.模型的结论与思路总结:
在一个理想的信息平台,我们要选择一份理想的家教来做,既能给我们锻炼的机会,又不会影响我们学习,就不妨根据自己的情况构置一个自己的h(t),r(t)函数,看看怎样的选择是理性的选择,怎样的选择是聪明的选择。
总体思路是:
•我们能够接受的花费在家教上面的最长时间是p0,利用恒等式H(p0)=R(p0),将我们假设的中的未知数计算出来
•利用不等式R(t)>
=H(t)计算出我们理性选择的交通时间t的范围
•利用不等式r(t)>
=h(t)计算出我们聪明选择的交通时间t的范围
七.模型的优缺点
这个模型的数据是根据调查问卷得来的,但因为条件所限,得到的数据并不多,虽然具有一定的代表性,但是比较粗糙,没有大量的数据,使得我们能够研究的方向也有限,而且和实际有一定的区别。
但是这个模型的建立思路我们认为是可取的,无论一个人的学习曲线如何,都可以根据自己的数据利用文章中的等式求解自己的自习收益,即使不做家教,不妨拿自己对家教的价值观作为现金参考,求解出自己平时学习的潜在收益。
参考文献:
[1]姜启源谢金星叶俊《数学模型(第三版)》高等教育出版社
[2]精锐创作组《MATLAB6.0》人民邮电出版社
[3]曼昆《经济学原理》机械工业出版社
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- 大学生 建模 报告 汇总 家教 问题