偏导数的运算文档格式.docx
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,y。
),
如果|巩f(x。
Xy。
)-f(x°
y。
)存在,则称此极限为函数z二f(x,y)在点(x0,y。
)处对x的偏导数,记为
<
zcf
,—,Zx(x。
)或fx(x。
).
伙(x。
』。
)苏(冷』0)
fx(x。
)
lim
.x—0
f(X。
X,y。
)一f(x。
zx
同理可定义函数z=f(x,y)在点(x。
)处对y的偏导数,为
f(x。
y)〜f(x。
记为z
(xo,yo)
,zy(x°
y°
)或fy(x°
(xo,y°
即fy(xo,yo)呷叽%号「("
0)=dLf(xo,y)
yzyo°
如果函数z=f(x,y)在区域D内任一点(x,y)处对x的偏导数都存在,那么这个
偏导数就是x、y的函数,它就称为函数z=f(x,y)对自变量x的偏导函数,简称偏导数
_zf,
记作&
,孑,zx或fx(x,y).
同理可以定义函数z=f(x,y)对自变量y的偏导数,记作一z,—,zy或fy(x,y)•cycy
偏导数的概念可以推广到二元以上函数
如u=f(x,y,z)在(x,y,z)处
fx(x,y,卄啊f(x5,y⑵一f(x,y⑵
f(x,y•:
y,z)-f(x,y,z)fy(X,y,z)pmo-
fzxz)呷fwn®
2、计算:
从偏导数的定义可以看出,计算多元函数的偏导数并不需要新的方法,若对某一个自变
量求导,只需将其他自变量常数,用一元函数微分法即可。
曰
是,
元函数的求导公式和求
导法则都可以移植到多元函数的偏导数的计算上来。
x23xyy2在点(1,2)处的偏导数.
L、
解法一:
z:
z
2x3y;
3x2y.
.x:
y
;
:
z
ex(1,2)
2132=8,:
£
y(1,2)=3汉〔+2乂2_7
解法二:
欣(1,2严宀
i“亠2
dz
Ix^=1+3y+y
(1,2)5)
“先求偏导函数再代值求某点的偏导数”不一定简便。
如下例
有时,
y^=7
这里我们要知道,
例2:
f(x,y,z)
xyz
二xe
2、cf
(xy)arctanln(1xyz),求——
ex
(1,0,1)-
解:
fx(x,0,1)=xx0
拼
=x,.——
(1,0,1)=1.
例3已知理想气体的状态方程pV=RT(R为常数),
求证:
空兰1=-1.
V订.:
p
证明:
p:
二E=
VeV
RT-
—
』T
PV二
T
-P
2T
8
RT
_V2
=-1
PV
有关偏导数的几点说明:
1、偏导数—是一个整体记号,不能拆分;
2、求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求;
例如,z=f(x,y)二
•,莎求fx(0,0),fy(0,0).
j
fx(0,0)巳m|x0|-0=0二fy(0,0).
例4:
设f(x,沪宀°
沪(0,°
),求f(x,y)的偏导数。
〔0(x,y)=(0,0)
当(x,y)=(0,0)时,fx(x,y)=y(x2y2)—2xxy
y(y2-x2)
fy(x,y)=
222
(xy)
222'
“22、小
x(xy)_2yxy
(xy)
当(x,y)=(0,0)时,按定义可知
仁(0,0)侧305。
。
=l.im卫-0,
」0j.x
f(0,3)—f(0,0)fy(0,0)少0(,y(,
啊十0,
、/y(y-x)
故fx(x,y)=*(X2+y2)2
b
3、偏导数存在与连续的关系
(x,y)=(O,O)
(X,y)=(0,0)
^22
x(x-y)
r/、-~2T~2
fy(x,y)=<
(x+y)
(x,A(0,0)
(x,y)=(0,0)
元函数中在某点可导,函数在该点一定连续,但多元函数中在某点偏导数存在,函数
'
xy
例如,函数f(x,y)=*
x2+y2
0,
未必连续
x2y2-0
依定义知在(0,0)处,
x2y2二0
fx(0,0)=fy(0,0)=0.但函数在该点处并不连续•
4、偏导数的几何意义
设M0(X0,y0,f(Xo’y。
))是曲面z二f(x,y)上一点,则
偏导数fx(x0,y0)就是曲面被平面y二y0所截得的曲线在点M0处的切线M0Tx对x轴的斜
率;
偏导数fy(x0,y0)就是曲面被平面x二x0所截得的曲线在点M0处的切线M0Ty对y轴
的斜率.
二、高阶偏导数
设函数z=f(x,y)在区域D内的两个偏导数fx(x,y)、fy(x,y)的偏导数也存在,则
称它们是函数Z=f(x,y)的二阶偏导数。
记作
-2
=fxx(x,y),=
JfHy^=fyy(x,y)
d(cz^
一一I
列\、px3cxcy
=fxy(x,y),
二fyx(x,y)
定义:
二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.
例5设z=x3y2—3xy3
.:
2z
-xy1,求亍
;
:
z223
3xy-3y
x
-:
-y,-
32
二2xy-9xy
-x;
2Cz2
6xy,36y,
■y
二2x3T8xy;
■n2
=6xy—9y-1,
x:
y:
y:
例6设u=eaxcosby,求二阶偏导数.
axuax
aecosby,besinby;
.xy
.2.2
U2axU,2ax
2aecosby,2becosby,.x;
=-abeaxsinby,_:
x;
「u=-abeaxsinby.
■y.x
问题:
混合偏导数都相等吗?
例7设f(x,y)=t
x3y
(X"
)珂0,0,求fxy(0,0),fyx(0,0).
(x,y)=(0,0)
当(x,y)=(0,0)时,
fx(x,y)二
3x2y(x2y2)-2xx3y
/22、2
3x2y2x4y
~2_~2,
xy(xy)
fy(x,y)二
332
x2xy
"
2_~2r~2,
当(x,y)=(0,0)时,按定义可知:
fx(0,0)=叽f(gf(0Q)
=lim
匚xx
f(0,Ay)—f(0,0)
fy(0,0)Pm0y
二lim2=0,
y—0._.y
fxy(0,0)^^=0
显然fxy(0,0)=fyx(0,0).
具备怎样的条件才能使混合偏导数相等?
定理2.1如果函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏导数
2厂2
及上Z在区域D内连
xfx;
续,那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等.
例8验证函数u(x,y)=1nx2y2满足拉普拉斯方程
.■.2.■.2
Uu
220-
x:
证明:
m、,x2
=丄1n(x
y2),二
u
.:
-2/2222.2
■u(xy)-x2xy-x:
-u
一2■22^"
2,一2.x(xy)(xy);
(x2y2)-y2y
x-y
/2.2X2-
2影2222
uruy「xx-y
+—+n
=0.x;
y(xy)(xy)
内容小结:
1•偏导数的定义(偏增量比的极限)
2•偏导数的计算、偏导数的几何意义
3•高阶偏导数:
纯偏导,混合偏导及其相等的条件
思考题:
若函数f(x,y)在点Po(xo,yo)连续,能否断定f(x,y)在点Po(x。
)的
偏导数必定存在?
思考题解答:
不能。
例如f(x,y)—x2•y2在(0,0)处连续,但fx(0,0)=fy(0,0)不存在。
作业:
练习册P5---P8.
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- 关 键 词:
- 导数 运算