李庆扬数值分析第五版第5章和第7章习题答案解析文档格式.docx
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||x||max|xi|
1in
7、何谓矩阵范数?
何谓矩阵的算子范数?
给出矩阵A=(aij)的三种范数||A||1,||A||2,
精品.资料
||A||∞,||A||1与||A||2哪个更容易计算?
为什么?
向量范数定义见p162,需要满足四个条件。
正定条件
齐次条件
相容条件
矩阵的算子范数有
||A||
2
从定义可知,||A||1更容易计算。
8、什么是矩阵的条件数?
如何判断线性方程组是病态的?
设A为非奇异阵,称数
cond(A)vAA(v1,2,)为矩阵A的条件数
v
当cond(A)1时,方程是病态的。
9、满足下面哪个条件可判定矩阵接近奇异?
(1)矩阵行列式的值很小。
(2)矩阵的范数小。
(3)矩阵的范数大。
(4)矩阵的条件数小。
(5)矩阵的元素绝对值小。
接近奇异阵的有
(1)、
(2)
注:
矩阵的条件数小说明A是良态矩阵。
矩阵的元素绝对值小,不能说明行列式的值小等。
10、判断下列命题是否正确:
(1)只要矩阵A非奇异,则用顺序消去法或直接LU分解可求得线性方程组Ax=b的解。
错误,主元位置可能为0,导致无法计算结果。
(2)对称正定的线性方程组总是良态的。
正确。
(3)一个单位下三角矩阵的逆仍为单位下三角矩阵。
(4)如果A非奇异,则Ax=b的解的个数是由右端向量b的决定的。
解释:
若A|b与A的秩相同,则A有唯一解。
若不同,则A无解。
(5)如果三对角矩阵的主对角元素上有零元素,则矩阵必奇异。
(6)范数为零的矩阵一定是零矩阵。
(7)奇异矩阵的范数一定是零。
错误,可以不为0。
(8)如果矩阵对称,则||A||1=||A||
∞。
根据范数的定义,正确。
(9)如果线性方程组是良态的,则高斯消去法可以不选主元。
错误,不选主元时,可能除数为0。
(10)在求解非奇异性线性方程组时,即使系数矩阵病态,用列主元消去法产生的误差也很
小。
错误。
对于病态方程组,选主元对误差的降低没有影响。
(11)||A||1=||AT||
T||
(12)若A是nn的非奇异矩阵,则
cond(
A)cond(A)。
A是nn的非奇异矩阵,则A存在逆矩阵。
1cond(A)AA
根据条件数的定义有:
111111
cond(A)A(A)AAAA
习题
1、设A是对称阵且a0,经过高斯消去法一步后,A约化为
11
T
a
0A
,证明
A是对
称矩阵。
证明:
aa...a
11121n
设对称矩阵
A
1222n2
............
,则经过1次高斯校区法后,有
1n2nnn
(1)
aa
121n
0aa...aa
2212n212
1111
1n1n
2n12nn12
1212
2212n21n
n212nn1n
所以
a1[a12...a2]
aa...aa
.........
所以A2为对称矩阵。
2、设A是对称正定矩阵,经过高斯消去法一步后,A约化为()
Aa,其中A(aij)n,
ijn
(2)
A2(aij)n1;
(1)A的对角元素a0(i1,2,,n);
ii
A是对称正定矩阵;
(1)依次取xi(0,0,,0,1,0,,0),i1,2,,n,则因为A是对称正定矩阵,
i
T所以有axAx0
ii。
i11j
()ijn
A中的元素满足aij,(,2,3,,),又因为A是对称正定
2ij
矩阵,满足aija,i,j1,2,,n,所以
ji
aaaa
(2)i11j1ij1
(2)
aijaaa,
ijjiji
A是对称矩阵。
3、设
L为指标为k的初等下三角矩阵(除第k列对角元以下元素外,Lk和单位阵I相同),
k
...
L
m
k1,k
......
n,k
求证当i,jk时,
LILI也是一个指标为k的初等下三角矩阵,其中Iij为初等置换
kijkij
矩阵。
4、试推导矩阵A的Crout分解A=LU的计算公式,其中L为下三角矩阵,U为单位上三角
本题不推导。
参见书上例题。
P147页。
5、设Uxd,其中U为三角矩阵。
(1)就U为上及下三角矩阵推导一般的求解公式,并写出算法
(2)计算解三角方程组Uxd的乘除法次数
(3)设U为非奇异矩阵,试推导求U1的计算公式
本题考查求解公式的一般方法,可从第n个元素开始,逐步计算n-1,⋯1时对应的求解公式。
解法,略。
6、证明:
(1)如果A是对称正定矩阵,则A1也是对称正定矩阵
(2)如果A是对称正定矩阵,则A可以唯一地写成ALTL,其中L是具有正对角元的下
三角矩阵
均是对称正定矩阵的性质。
应予以记住。
7、用列主元消去法解线性方程组
12x3x3x15
123
18x3xx15
xxx
6
并求出系数矩阵A的行列式的值
1233
A1831
111
123315
A|b183115
1116
使用列主元消去法,有
183115
7
015
3
71731
6186
00
6666
217
A的行列式为-66
方程组的解为
X1=1,x2=2,x3=3
8、用直接三角分解(Doolittle分解)求线性方程组的解
456
9
345
8
xx2x8
本题考查LU分解。
解:
12
100
10
U0
1113
6090
957
540
9、用追赶法解三对角方程组Axb,其中
210001
121000
A01210,b0。
001210
000120
追赶法实际为LU分解的特殊形式。
设U为、单位上三角矩阵。
有
(1)计算
i的递推公式
1c1/b11/20.5
2c2/(b2a21)1/(2
(1)(0.5))2/3
3c3/(b3a32)1/(2
(1)(2/3))3/4
4c4/(b4a43)1/(2
(1)(3/4))4/5
(2)解Ly=f
y1f1/b11/2
y2(f2a2y1)/(b2a21)(0
(1)(1/2))/(2
(1)(0.5))1/3
y3(f3a3y2)/(b3a32)(0
(1)(1/3))/(2
(1)(2/3))1/4
y4(f4a4y3)/(b4a43)(0
(1)(1/4))/(2
(1)(3/4))1/5
y5(f5a5y4)/(b5a54)(0
(1)(1/5))/(2
(1)(4/5))1/6
(3)解UX=y
x5y51/6
x4y44x51/5(4/5)1/61/3
x3y33x41/4(3/4)1/31/2
x2y22x31/3(2/3)1/22/3
x1y11x22(1/2)2/35/6
10、用改进的平方根法解方程组
211
x
4
5
。
131
本题明确要求使用平方根法进行求解。
实际考查的LDU分解。
见P157
10723
x1,x,x。
23
999
11、下列矩阵能否分解为LU(其中L为单位下三角阵,U为上三角阵)?
若能分解,那么
分解是否唯一。
123111126
A241,B221,C2515。
46733161546
LU分解存在的条件
一个可逆矩阵可以进行LU分解当且仅当它的所有子式都非零。
如果要求其中的L矩阵(或
U矩阵)为单位三角矩阵,那么分解是唯一的。
同理可知,矩阵的LDU可分解条件也相同,
并且总是唯一的。
即使矩阵不可逆,LU仍然可能存在。
实际上,如果一个秩为k的矩阵的前k个顺序主子式
不为零,那么它就可以进行LU分解,但反之则不然。
因为A的一、二、三阶顺序主子式分别为1,0,-10,所以A不能直接分解为三
角阵的乘积,但换行后可以。
因为B的一、二、三阶顺序主子式分别为1,0,0,所以B不能分解为三角阵的
乘积。
因为C的一、二、三阶顺序主子式分别为1,5,1,所以C能够分解为三角阵的
乘积,并且分解是唯一的。
12、设
0.60.5
A,
0.10.3
计算A的行范数,列范数,2-范数及F-范数。
本题考查的是矩阵范数的定义及求法
行范数0.6+0.5=1.1
列范数0.5+0.3=0.8
2-范数的计算需要用到特征值,特征值的计算可以使用幂法进行计算,也可以直接求。
AA的最大特征值为0.3690
所以2-范数为0.6074
F-范数0.8426
13、求证:
(a)xxnx
;
(b)
FAA
F
根据定义求证。
xmaxxxxnmaxxinx。
1in1in
n11
Aa
ij
nn
i,j1
A2(AA)
max
14、设
P且非奇异,又设x为
R
R上一向量范数,定义xpPx。
试证明xp是
R上向量的一种范数。
根据向量范数的定义来证明:
要求就有正定性,齐次性,三角不等式等性质。
显然xpPx0,cxpPcxcPxcxp、
x1x2(12)121212,从而
pPxxPxPxPxPxxx
pp
x是
p
上向量的一种范数。
15、设
AR为对称正定,定义
x(Ax,x)
,
试证明
显然
xAxxxAx
(,)20
2T
cx(Acx,cx)2c(xAx)c(Ax,x)2cx
AA
xx(A(xx),(xx))(xx)A(xx)
1212121212
TT
xAxxAxxx
112212
16、设A为非奇异矩阵,求证
min
y
Ay
因为
x0
1,
AyAy
Ax0
y0
所以得证
17、矩阵第一行乘以一数,成为
A,证明当
时,cond(A)有最小值。
本题考查条件数的计算
cond(A)AA
首先计算A的逆阵
2|3|2
|3||3|2
,当
3,取得最小值为2
||
取值越大,则最小值为2
从而
cond(A)AA
(2)max3,2,
又当
时,
13
cond(A)
(2)max3,2
(2)27。
当
cond(A)
(2)max3,2
(2)3367。
综上所述,cond(A)7时最小,这时
,即
18、设
10099
A,计算A的条件数cond(A)v(v2,)
9998
由
A可知,
9899
A,从而
99100
(A
989998991940519602
1TA,
)()
99100991001960219801
1940519602
1TA2,
由I(A)()3920610
1960219801
10099100991980119602
T,AA
999899981960219405
1980119602
T,
由IAA3920610
1960219405
可得A2A19603384277608,从而
cond(A)2AA1960338427760839206。
11A
A199,A199,从而cond(A)A199********。
19、证明:
如果A是正交矩阵,则
cond(A)1
若A是正交阵,则
1T,从而ATAI,AAAAI
1)T11
A(,故
A1,cond(A)2AA1。
2A
20、设A,BR,且为
R上矩阵的算子范数,证明:
cond(AB)cond(A)cond(B)
11111cond(AB)(AB)ABBAABBAAB
(AA)(BB)cond(A)cond(B)
21、设Axb,其中A为非奇异矩阵,证明:
AA为对称正定矩阵;
T2
cond(AA)(cond(A))
TT2
x(AA)x(Ax)Axb0,所以
AA为对称正定矩阵。
(cond(A))
max(AA)
min(AA)
由于
AA为对称正定矩阵,所以
AAAA
TTT1
cond(AA)AA(AA)
TTT
max((AA)(AA))
min((AA)(AA))
则
max(AAAA)
min(AAAA)
第7章
1.什么是方程的有根区间?
它与求根有何关系?
P213,若f(x)C[a,b]且f(a)f(b)0,根据连续函数性质可知f(x)0在[a,b]内至
少有一个实根,这时称[a,b]为f(x)0的有根区间。
2.什么是二分法?
用二分法求f(x)0的根,f要满足什么条件?
P213
一般地,对于函数f(x)0如果存在实数c,当x=c时,若f(c)0,那么把x=c叫做函数
f(x)0的零点。
解方程即要求f(x)0的所有零点。
假定f(x)0在区间(x,y)上连续,
先找到a、b属于区间(x,y),使f(a)f(b)0,说明在区间(a,b)内一定有零点,然后求
f((ab)/2),现在假设f(a)0,f(b)0,ab
①果f((ab)/2)0,该点就是零点,如果f((ab)/2)0,则在区间[(ab)/2),b]内
有零点,从①开始继续使用中点函数值判断。
②如果f((ab)/2)0,则在区间[a,(ab)/2)]内有零点,从①开始继续使用中点函数
值判断。
③这样就可以不断接近零点。
通过每次把f(x)的零点所在小区间收缩一半的方法,使区间
的两个端点逐步迫近函数的零点,以求得零点的近似值,这种方法叫做二分法。
④从以上可以看出,每次运算后,区间长度减少一半,是线形收敛。
3.什么是函数(x)0的不动点?
如何确定(x)使它的不动点等价于f(x)的零点
P215.
将方程f(x)0改写成等价的形式x(x),若要求x*满足f(x*)0,则x*(x*);
反之亦然,称x*为函数(x)的一个不动点。
4.什么是不动点迭代法?
(x)满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于
(x)的不动点
P215
求f(x)0的零点就等价于求(x)
的不动点,选择一个初始近似值x0,将它代入x(x)
的右端,可求得
x1(x0),如此反复迭代有
x1(x),k0,1,2,...,
(x)称为迭代函数,如果对任何
x0[a,b],由xk1(xk),k0,1,2,...得到的序列
x有极限
limxkx*,则称迭代方程收敛,且x*(x*)为(x)的不动点,故称k
x1(x),k0,1,2,...为不动点迭代法。
5.什么是迭代法的收敛阶?
如何衡量迭代法收敛的快慢?
如何确定
x1(x)(k0,1,2,...)的收敛阶
P219
设迭代过程
x1(x)收敛于x(x)的根x*,如果当k时,迭代误差
exx*满足渐近关系式
e
1,0
CCconst
则称该迭代过程是p阶收敛的,特别点,当p=1时称为线性收敛,P>
1时称为超线性收敛,
p=2时称为平方收敛。
以收敛阶的大小衡量收敛速度的快慢。
6.什么是求解f(x)0的牛顿法?
它是否总是收敛的?
若f(x*)0,x*是单根,f是光
滑,证明牛顿法是局部二阶收敛的。
牛顿法:
xx
k1k
f(x)
当|f(x)|1
时收敛。
7.什么是弦截法?
试从收敛阶及每步迭代计算量与牛顿法比较其差别。
在牛顿法的基础上使用2点的的斜率代替一点的倒数求法。
就是弦截法。
收敛阶弦截法1.618小于牛顿法2
计算量弦截法<
牛顿法(减少了倒数的计算量)
8.什么是解方程的抛物线法?
在求多项式全部零点中是否优于牛顿法?
P229
设已知方程f(x)0
的三个近似根,x,x1,x2,以这三点为节点构造二次插值多项式p
kkk
(x),并适当选取p
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