浙江省中考数学《第讲一次函数及其图象》总复习讲解.doc
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第13讲 一次函数及其图象
1.一次函数与正比例函数的概念
考试内容
考试
要求
一次函数
一般地,如果(k、b是常数,k≠0),那么y叫做x的一次函数.
b
正比例函数
特别地,当时,y=kx+b变为(k是常数,k≠0),这时y叫做x的正比例函数.
2.一次函数的图象
考试内容
考试
要求
一次函数的图象
一次函数y=kx+b的图象是经过点(0,____________________)和(____________________,0)的一条____________________.
特别地,正比例函数y=kx的图象是经过点(0,)和(1,)的一条.
b
直线y=kx+b与y=kx之间的关系
直线y=kx+b可以看成是由直线y=kx平移得到,b>0,向平移个单位;b<0,向平移个单位.
c
3.一次函数y=kx+b的性质
考试内容
考试
要求
k、b符号
图象形状
经过的象限
函数的性质
c
k>0,b>0
____________________
y随x的增大而
_________________.
k>0,b<0
____________________
k<0,b>0
____________________
y随x的增大而
_________________.
k<0,b<0
____________________
易错点
一次函数图象不经过第二象限是指图象经过第一、三、四象限或第一、三象限.
4.确定一次函数的解析式
考试内容
考试
要求
常用方法
待定系数法.
b
常见类型
①已知两点坐标确定解析式;②已知两对函数对应值确定解析式;③通过平移规律确定函数解析式.
5.一次函数与方程、不等式的关系
考试内容
考试
要求
一次函数与一次方程
一元一次方程kx+b=0的根就是一次函数y=kx+b(k、b是常数,k≠0)的图象与轴交点的坐标.
c
一次函数与一元一次不等式
一元一次不等式kx+b>0(或kx+b<0)(k≠0)的解集可以看作一次函数y=kx+b取值(或值)时自变量x的取值范围.
一次函数与方程组
两直线的交点坐标是两个一次函数解析式y=k1x+b1和y=k2x+b2所组成的关于x、y的方程组的解.
b
6.一次函数的实际应用
考试内容
考试
要求
建模思想
将实际问题转化为数学问题,即数学建模.要做到这种转化,首先要分清哪个量是自变量,哪个量是函数;其次建立函数与自变量之间的关系,要注意自变量的取值范围.
c
实际问题中一次函数的应用
在实际问题中,可以根据自变量的取值求函数,或者由函数求自变量的值.由于自变量的取值范围一般受到限制,所以可以根据一次函数的性质求出函数在某个范围的最值.
考试内容
考试
要求
基本
方法
1.待定系数法,是求一次函数解析式的常用方法,一般是先设待求的函数关系式(其中含有未知常数),再根据条件列出方程或方程组,通过解方程或方程组,求出未知系数,从而得到所求函数解析式的方法.
2.利用函数图象解决实际问题时,要注意仔细分析图象中各点的含义,尤其是图象与图象或坐标轴的交点,要善于运用数形结合思想从图象中获取有用的信息.
c
1.(2017·温州)已知点(-1,y1),(4,y2)在一次函数y=3x-2的图象上,则y1,y2,0的大小关系是( )
A.0<y1<y2B.y1<0<y2C.y1<y2<0D.y2<0<y1
2.(2017·绍兴)某市规定了每月用水18立方米以内(含18立方米)和用水18立方米以上两种不同的收费标准,该市的用户每月应交水费y(元)是用水量x(立方米)的函数,其图象如图所示.
(1)若某月用水量为18立方米,则应交水费多少元?
(2)求当x>18时,y关于x的函数表达式,若小敏家某月交水费81元,则这个月用水量为多少立方米?
【问题】如图,直线AB分别交x,y轴于点A,B.
(1)若点A(-1,0),写出一条直线AB的解析式;
(2)若点A(-2,0),B(0,1),请你尽可能多的写出关于直线AB的信息.
【归纳】通过开放式问题,归纳、疏理一次函数概念以及图象与性质.
类型一 一次函数的图象和性质
一次函数y=2x+6.
(1)图象经过第________象限;
(2)图象与x轴的交点坐标为________,与y轴的交点坐标为________.
(3)当-1<x≤1时,y的取值范围是________;
(4)当点A(-5,y1)和B(-2,y2)都在图象上,则y1与y2的关系是________;
(5)图象与两坐标轴围成的三角形面积是________.
【解后感悟】一次函数的图象与性质问题,数形结合思想是解题的关键.
如图,已知直线l1:
y=-2x+4与x,y轴分别交于点N,C,与直线l2:
y=kx+b(k≠0)交于点M,直线l2与x轴的交点为A(-2,0),
(1)若点M的横坐标为1,则△AMN的面积是________;
(2)若点M在第一象限,则k的取值范围是____________.
【解后感悟】两条直线的相交问题,利用数形结合和图象的运动来解决.
1.
(1)(2017·海南模拟)一次函数y=mx+n与y=mnx(mn≠0),在同一平面直角坐标系的图象是( )
(2)(2017·南京模拟)关于直线l:
y=kx+k(k≠0),下列说法正确的是____________________.
①点(0,k)在直线l上;②直线l经过定点(-1,0);③当k>0时,y随x的增大而增大;④直线l经过第一、二、三象限;⑤直线l经过第一、二、三象限,则k>0.
类型二 一次函数的解析式
(1)如图,一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A,B两点,P是线段AB上任意一点(不包括端点),过P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为10,则该直线的函数表达式是____________.
(2)一次函数y=2x+b与两坐标轴围成三角形的面积为4,则b=________.
(3)已知一次函数图象交x轴于点(-2,0),与y轴的交点到原点的距离为5,则该一次函数解析式为___________________________________________________________.
(4)在平面直角坐标系xOy中,已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过点P(1,1),与x轴交于点A,与y轴交于点B,且tan∠ABO=3,那么点A的坐标是__________.
【解后感悟】待定系数法求一次函数解析式是本题的关键;注意数形结合、分类讨论思想运用.
已知直线l:
y=2x-1
(1)将直线l向上平移5个单位长度后再向左平移3个单位后所得的直线解析式为____________;
(2)将直线l与直线m关于x轴对称,则直线m的解析式为____________;
(3)将直线l绕原点顺时针旋转90°得到直线n,则直线n的解析式为______________.
【解后感悟】
(1)求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变,只有b发生变化;
(2)根据平面直角坐标系中,点关于x轴对称的特点求解;(3)根据点(a,b)绕原点顺时针旋转90°得到的点的坐标是(b,-a),得到它们绕原点顺时针旋转90°以后对应点的坐标,然后根据待定系数法求解.
2.
(1)(2017·温州模拟)根据下表中一次函数的自变量x与函数y的对应值,可得p的值为____________________.
x
-2
0
1
y
3
p
0
(2)(2017·南京市江宁区模拟)把一次函数y=kx+1的图象向上平移1个单位,再向右平移3个单位后所得直线正好经过点(5,3),则该一次函数表达式为____________________.
(3)(2017·绍兴模拟)把直线y=-x+3向上平移m个单位后,与直线y=2x+4的交点在第一象限,则m的取值范围是____________________.
(4)(2017·苏州模拟)如图,A(0,1),M(3,2),N(4,4).动点P从点A出发,沿y轴以每秒1个单位长度的速度向上移动,且过点P的直线l:
y=-x+b也随之移动,设移动时间为t秒.
①当t=3时,求l的解析式;
②若点M,N位于l的异侧,确定t的取值范围;
③直接写出t为何值时,点M关于l的对称点落在坐标轴上.
类型三 一次函数
与一次方程(组)及一元一次不等式(组)
(1)已知一次函数y=ax+b中,x和y的部分对应值如表:
x
-2
-1
0
1.5
2
3
y
6
4
2
-1
-2
-4
那么方程ax+b=0的解是________;不等式ax+b>2的解集是________.
(2)如图,直线y=x+b与直线y=kx+6交于点P(3,5),则关于x的不等式x+b>kx+6的解集是________.
【解后感悟】
(1)此题主要理解一次函数与一元一次方程关系,关键是正确求出一次函数关系式;
(2)从函数的角度看,就是寻求使一次函数y=x+b的值大于y=kx+6的值的自变量x的取值范围;从函数图象的角度看,就是确定直线y=x+b在直线y=kx+6上方部分所有的点的横坐标所构成的集合.解决此类问题一般方法为画出图象,仔细观察图象,根据图象写出方程(组)解、不等式解集.注意不等式解集交点(公共点)处函数值相等,所以解集要么在交点左侧要么在交点右侧.注意数形结合思想的运用.
3.
(1)(2017·菏泽)如图,函数y1=-2x与y2=ax+3的图象相交于点A(m,2),则关于x的不等式-2x>ax+3的解集是( )
A.x>2B.x<2C.x>-1D.x<-1
(2)(2017·潍坊模拟)如图,已知函数y=ax+b与函数y=kx-3的图象交于点P(4,-6),则不等式ax+b≤kx-3<0的解集是____________________.
第
(2)题图
(3)(2017·潍坊模拟)如图,直线y=kx+b经过A(2,1),B(-1,-2)两点,则不等式x>kx+b>-2的解集为____________________.
第(3)题图
(4)(2015·武汉)已知一次函数y=kx+3的图象经过点(1,4).求这个一次函数的解析式,并求关于x的不等式kx+3≤6的解集.
类型四 一次函数的应用
(2016·南京)如图中的折线ABC表示某汽车的耗油量y(单位:
L/km)与速度x(单位:
km/h)之间的函数关系(30≤x≤120),已知线段BC表示的函数关系中,该汽车的速度每增加1km/h,耗油量增加0.002L/km.
(1)当速度为50km/h、100km/h时,该汽车的耗油量分别为 L/km、 L/km.
(2)求线段AB所表示的y与x之间的函数表达式.
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- 第讲一次函数及其图象 浙江省 中考 数学 一次 函数 及其 图象 复习 讲解