压轴题训练一二次函数面积问题.doc
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成章实验中学祁东校区压轴专题一:
二次函数面积问题
1.(2010河南)在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A,B,C三点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值.
(3)若点P是抛物线上的动点,点Q是直线上的动点,判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q的坐标.
1.
(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),则有
解得
∴抛物线的解析式y=x2+x﹣4……………………………………3分
(2)过点M作MD⊥x轴于点D.设M点的坐标为(m,n).
则AD=m+4,MD=﹣n,n=m2+m-4.
∴S=S△AMD+S梯形DMBO-S△ABO
=(m+4)(﹣n)+(﹣n+4)(﹣m)-×4×4
=﹣2n-2m-8
=﹣2(m2+m-4)-2m-8
=﹣m2-4m(-4 ∴S最大值=4……………………………………………………7分 (3)满足题意的Q点的坐标有四个,分别是: (-4,4),(4,-4), (-2+,2-),(-2-,2+)……………………………11分 2.(2009广安)已知: 抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C.其中点A在x轴的负半轴上,点C在y轴的负半轴上,线段OA、OC的长(OA (1)求A、B、C三点的坐标; (2)求此抛物线的解析式; (3)若点D是线段AB上的一个动点(与点A、B不重合),过点D作DE∥BC交AC于点E,连结CD,设BD的长为m,△CDE的面积为S,求S与m的函数关系式,并写出自变量m的取值范围。 S是否存在最大值? 若存在,求出最大值并求此时D点坐标;若不存在,请说明理由. 解: (1)∵OA、OC的长是x2-5x+4=0的根,OA ∴OA=1,OC=4 ∵点A在x轴的负半轴,点C在y轴的负半轴 ∴A(-1,0)C(0,-4) ∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1 ∴由对称性可得B点坐标为(3,0) ∴A、B、C三点坐标分别是: A(-1,0), B(3,0),C(0,-4) (2)∵点C(0,-4)在抛物线y=ax2+bx+c图象上 ∴c=-4 将A(-1,0),B(3,0)代入y=ax2+bx-4得 解之得 ∴所求抛物线解析式为: (3)根据题意,BD=m,则AD=4-m 在Rt△OBC中,BC==5 ∵DE//BC,∴△ADE∽△ABC ∴ ∴ 过点E作EF⊥AB于点F,则sin∠EDF=sin∠CBA= ∴ ∴EF=DE==4-m ∴S△CDE=S△ADC-S△ADE =(4-m)×4(4-m)(4-m) =m2+2m(0 ∵S=(m-2)2+2,a=<0 ∴当m=2时,S有最大值2. ∴点D的坐标为(1,0). 3.(2009永州市)如图,在平面直角坐标系中,点A、C的坐标分别为(-1,0)、(0,),点B在x轴上.已知某二次函数的图象经过A、B、C三点,且它的对称轴为直线x=1,点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点(点P与B、C不重合),过点P作y轴的平行线交BC于点F. y x B A F P x=1 C O (1)求该二次函数的解析式; (2)若设点P的横坐标为m,试用含m的代数式表示线段PF的长; (3)求△PBC面积的最大值,并求此时点P的坐标. 3.解: (1)设二次函数的解析式为,由抛物线的对称性知点坐标为依题意得: 1分 x y B F O A C P x=1 (第25题) 解得: 2分 所求二次函数的解析式为 3分 (2)点的横坐标为点的纵坐标为 4分 设直线的解析式为依题意,得 故直线的解析式为 5分 点的坐标为 6分 (3)的面积 = 当时,的最大面积为 8分 把代入得 点的坐标为 10分 4.(2011宁波)如图,平面直角坐标系中,点的坐标为,点的坐标为,抛物线经过、、三点,连结、、,线段交轴于点. (1)求点的坐标; (2)求抛物线的函数解析式; (3)点为线段上的一个动点(不与点、重合),直线与抛物线交于、两点(点在轴右侧),连结、,当点在线段上运动时,求△BON面积的最大值,并求出此时点的坐标; (4)连结AN,当△BON面积最大时,在坐标平面内求使得△BOP与△OAN相似(点、、分别与点、、对应)的点的坐标. 4.解: (1) 设 将点代入得 得 ∴ 当时,.∴3分 (2)设抛物线的函数解析式为, 将代入得解得 ∴抛物线的解析式为.6分 G HG S T y x (第26题) O B N A M E F Q (3) 过点作轴的垂线,垂足为,交OB于点Q,过作⊥轴于, 设,则 则 7分 ∴当时,△BON面积最大,最大值为,8分 此时点的坐标为.9分 (4)解: 过点A作AS⊥GQ于S ∵, ∴∠AOE=∠OAS=∠BOH=45°,OG=3,NG=,NS=,AS=5 在Rt△SAN和Rt△NOG中 ∴tan∠SAN=tan∠NOG= ∴∠SAN=∠NOG ∴∠OAS-∠SAN=∠BOG-∠NOG ∴∠OAN=∠BON10分 ∴ON的延长线上存在一点P,使△BOP∽△OAN ∵ 在Rt△ASN中,AN= 当△BOP∽△OAN时 得OP= 过点P作PT⊥x轴于点T ∴△OPT∽△ONG∴ 设∴(舍) ∴点的坐标为11分 将△OPT沿直线OB翻折,可得出另一个满足条件的点 由以上推理可知,当点的坐标为或时,△BOP与△OAN相似.12分 6
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