普通高等学校招生全国统一考试全国卷理科数学试题及解答WORD版.doc
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2006年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅰ卷)
数学(理工农医类)
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.第I卷1至2页。
第II卷3至4页。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷
注意事项:
1.答题前,考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上的对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效。
3.本卷共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题意要求的。
球的表面积公式
S=4
其中R表示球的半径,
球的体积公式
V=,
其中R表示球的半径
参考公式:
如果事件A、B互斥,那么
P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互独立,那么
P(A·B)=P(A)·P(B)
如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么
n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
Pn(k)=CPk(1-P)n-k
一、选择题:
(1)设集合
(A)(B)(C)(D)
(2)已知函数的图像与函数的图像关于直线对称,则
(A)(B)
(C)(D)
(3)双曲线的虚轴长是实轴长的2倍,则
(A)(B)(C)(D)
(4)如果复数是实数,则实数()
A.1B.-1C.D.
(5)函数的单调增区间为()
A.B.
C.D.
(6)的内角的对边分别为若成等比数列,且,则()
A.B.C.D.
(7)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积是()
A.B.C.D.
(8)抛物线上的点到直线距离的最小值是()
A.B.C.D.
(9)设平面向量的和,如果平面向量满足,且顺时针旋转后与同向,其中,则()
A.B.
C.D.
(10)设是公差为正数的等差数列,若,则()
A.120B.105C.90D.75
(11)用长度分别为(单位:
cm)的5根细木棒围成一个三角形(允许连接,但不允许折断),能够得到的三角形的最大面积为()
A.B.C.D.
(12)设集合,选择的两个非空子集和,要使中最小的数大于中最大的数,则不同的选择方法共有()
A.50种B.49种C.48种D.47种
第Ⅱ卷
二.本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上.
13.已知正四棱椎的体积为12,地面的对角线为,则侧面与底面所成的二面角为____________
14设,式中x,y满足下列条件,则z的最大值为___________
15.安排7位工作人员5月1日至5月7日值班,每人值班一天,其中甲、乙两人不安排在5月1日和5月2日,不同的安排方法数共有____________
16.设函数,若是奇函数,则=__________
三、解答题(本大题共6小题,共74分。
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
)
(17)三角形ABC的三个内角A、B、C,求当A满足何值时取得最大值,并求出这个最大值
(18)(本题满分12分)
A、B是治疗同一种疾病的两种药,用若干试验组进行对比试验。
每个试验组由4只小白鼠组成,其中2只服用A,另2只服用B,然后观察疗效。
若在一个试验组中,服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多,就称该试验组为甲类组。
设每只小白鼠服用A有效的概率为,服用B有效的概率为.
(Ⅰ)求一个试验组为甲类组的概率;
(Ⅱ)观察3个试验组,用表示这3个试验组中甲类组的个数,求的分布列和数学期望。
(19)(本题满分12分)
如图,、是互相垂直的异面直线,MN是它们的公垂线段。
点A、B在上,C在上,AM=MB=MN。
(Ⅰ)证明ACNB
(Ⅱ)若,求NB与平面ABC所成角的余弦值.
(20)(12分)在平面直角坐标系xoy中,有一个点和为焦点,离心率为的椭圆,设椭圆在第一象限的部分曲线为C,动点P在C上,C在P点处的切线与x、y轴的交点分别为A、B,且向量,求
(Ⅰ)点M的轨迹方程;
(Ⅱ)的最小值
(21)(本小题满分14分)
已知函数
(Ⅰ)设,讨论的单调性;
(Ⅱ)若对任意恒有,求的取值范围。
(22)(本小题满分12分)
设数列的前项和
(Ⅰ)求首项与通项;
(Ⅱ)设证明:
2006年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅰ卷)
理科数学参考答案
一.选择题:
本题考查基本知识和基本运算,每小题5分,满分60分。
1.C2.C3.B4.D5.A6.D
7.C8.B9.C10.B11.B12.D
二.填空题:
本题考查基本知识和基本运算,每小题4分,满分16分。
13.15514.7015.10016.①③④
三.解答题
(17)本小题主要考查三角函数性质及图像的基本知识,考查推理和运算能力。
满分12分。
解:
(I)
∵x=是函数y=f(x)的图像的对称轴,
∴sin(2×+)=±1,
∴+=kπ+,k∈Z.
∵-π<<0,
∴=-.
(II)由(I)知=-,因此
y=sin(2x-).
由题意得
2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z.
所以函数y=sin(2x-)的单调增区间为
[kπ+,kπ+],k∈Z.
(III)由y=sin(2x-)知
x
0
π
y
-
-1
0
1
0
-
故函数y=f(x)在区间[0,π]上的图像是
(18)本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识及思维能力和空间想象能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力,满分12分。
方法一:
(I)证明:
∵PA⊥面ABCD,CD⊥AD,
∴由三垂线定理得:
CD⊥PD.
因而,CD与面PAD内两条相交直线AD,PD都垂直,
∴CD⊥面PAD.
又CD面PCD,∴面PAD⊥PCD.
(II)解:
过点B作BE∥CA,且BE=CA,则∠PBE是AC与PB所成的角.
连结AE,可知AC=CB=BE=AE=,又AB=2,
所以四边形ACBE为正方形.
由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°,
在Rt△PEB中BE=,PB=,
cos∠PBE=
∴AC与PB所成的角为arccos.
(III)解:
作AN⊥CM,垂足为N,连结BN.
在Rt△PAB中,AM=MB,又AC=CB,
∴△AMC≌△BMC,
∴BN⊥CM,故∠ANB为所求二面角的平面角。
∵CB⊥AC,由三垂线定理,得CB⊥PC,
在Rt△PCB中,CM=MB,所以CM=AM.
在等腰三角形AMC中,AN·MC=.
∴AN=.
∵AB=2,
∴cos∠ANB=
故所求的二面角为arccos(-).
方法二:
因为PA⊥AD,PA⊥AB,AD⊥AB,以A为坐标原点,AD长为单位长度,如图建立空间直角坐标系,则各点坐标为
A(0,0,0),B(0,2,0),C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),M(0,1,).
(I)证明:
因=(0,0,1),=(0,1,0),故·=0,所以AP⊥DC.
又由题设知AD⊥DC,且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线,由此得DC⊥面PAD。
又DC在面PCD上,故面PAD⊥面PCD.
(II)解:
因=(1,1,0),=(0,2,-1),
故||=,||=,·=2,所以
cos<·>==
由此得AC与PB所成的角为arccos
(III)解:
在MC上取一点N(x,y,z),则存在λ∈R,使
=λ,
=(1-x,1-y,-z),=(1,0,-),
∴x=1-λ,y=1,z=λ.
要使AN⊥MC只需·=0,即
x-z=0,解得λ=.
可知当λ=时,N点坐标为(,1,),能使·=0.
此时,=(,1,),=(,-1,),有·=0.
由·=0,·=0得AN⊥MC,BN⊥MC.所以∠ANB为所求二面角的平面角.
∵||=,||=,·=-.
∴cos<,>=
故所求的二面角为arccos(-).
(19)本小题主要考查二次函数、方程的根与系数关系,考查运用数学知识解决问题的能力.满分12分。
解:
(I)∵f(x)+2x>0的解集为(1,3),
∴f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且a<0.因而
f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a.①
由方程f(x)+6a=0得
ax2-(2+4a)x+9a=0.②
因为方程②有两个相等的根,所以△=[-(2+4a)]2-4a·9a=0,
即5a2-4a-1=0.
解得a=1或a=-.
由于a<0,舍去a=1.将a=-代入①得f(x)的解析式
f(x)=-x2-x-.
(II)由
f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a
=a(x-)2-
及a<0,可得f(x)的最大值为-.
由
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