数学基础知识与典型例题复习圆锥曲线.doc
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数学基础知识与典型例题(第八章圆锥曲线)
椭圆
知识关系网
椭圆
1.椭圆的定义:
第一定义:
平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.
第二定义:
平面内到定点F与到定直线l的距离之比是常数e(0 2.椭圆的标准方程及其几何性质(如下表所示) 标准方程 图形 顶点 对称轴 轴,轴,长轴长为,短轴长为 焦点 、 、 焦距 焦距为 离心率 (0 准线方程 点P(x0,y0) 的焦半径公式 |PF右|=a-ex0,|PF左|=a+ex0 (“左加右减”) |PF上|=a-ey0,|PF下|=a+ey0 椭圆 注: 1.焦半径(椭圆上一点到焦点的连线段)公式不要求记忆,但要会运用椭圆的第二定义. 2.椭圆参数方程: 如图点的轨迹为椭圆. 椭圆 例1.F1,F2是定点,且|F1F2|=6,动点M满足|MF1|+|MF2|=6,则M点的轨迹方程是() (A)椭圆(B)直线(C)圆(D)线段 例2.已知的周长是16,,B,则动点的轨迹方程是() (A)(B)(C)(D) 例3.若F(c,0)是椭圆的右焦点,F与椭圆上点的距离的最大值为M,最小值为m,则椭圆上与F点的距离等于的点的坐标是() (A)(c,)(C)(0,±b)(D)不存在 例4.如果椭圆上有一点P,它到左准线的距离为2.5,那么P点到右焦点的距离与到左焦点的距离之比是()。 (A)3: 1(B)4: 1(C)15: 2(D)5: 1 例5.设F1(-c,0)、F2(c,0)是椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点,P是以F1F2为直径的圆与椭圆的一个交点,若∠PF1F2=5∠PF2F1,则椭圆的离心率为() (A)(B)(C)(D) 例6.设A(-2,),椭圆3x2+4y2=48的右焦点是F,点P在椭圆上移动,当|AP|+2|PF|取最小值时P点的坐标是()。 (A)(0,2)(B)(0,-2)(C)(2,)(D)(-2,) 椭圆 例7.P点在椭圆上,F1、F2是两个焦点,若,则P点的坐标是. 例8.写出满足下列条件的椭圆的标准方程: (1)长轴与短轴的和为18,焦距为6;. (2)焦点坐标为,,并且经过点(2,1);. (3)椭圆的两个顶点坐标分别为,,且短轴是长轴的;____. (4)离心率为,经过点(2,0);. 例9.是椭圆的左、右焦点,点在椭圆上运动,则的最大值是. 例10.椭圆中心是坐标原点O,焦点在x轴上,e=,过椭圆左焦点F的直线交椭圆于P、Q两点,|PQ|=,且OP⊥OQ,求此椭圆的方程. 双曲线知识关系网 双曲线 1.双曲线的定义: 第一定义: 平面内到两个定点F1、F2的距离之差的绝对值等于定值2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的焦距. 第二定义: 平面内到定点F与到定直线l的距离之比是常数e(e>1)的点的轨迹是双曲线,定点叫做双曲线的焦点,定直线叫做双曲线的准线,常数叫做双曲线的离心率. 标准方程 图形 顶点 对称轴 轴,轴,实轴长为,虚轴长为 焦点 焦距 焦距为 离心率 (e>1) 准线方程 点P(x0,y0) 的焦半径公式 如需要用到焦半径就自己推导一下: 如设是双曲线上一点,(c,o)为右焦点,点到相应准线的距离为,则. 当在右支上时,; 当在左支上时, 即,类似可推导 2.双曲线的标准方程及其几何性质(如下表所示) 双曲线 例11.命题甲: 动点P到两定点A、B的距离之差的绝对值等于2a(a>0);命题乙: 点P的轨迹是双曲线。 则命题甲是命题乙的() (A)充要条件(B)必要不充分条件(C)充分不必要条件(D)不充分也不必要条件 例12.到定点的距离与到定直线的距离之比等于log23的点的轨迹是() (A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线 (D)抛物线 双曲线 例13.过点(2,-2)且与双曲线有相同渐近线的双曲线的方程是() (A)(B)(C)(D) 例14.如果双曲线的焦距为6,两条准线间的距离为4,那么双曲线的离心率为() (A)(B)(C)(D)2 例15.如果双曲线上一点到它的左焦点的距离是8,那么点到它的右准线的距离是( ) (A)(B)(C)(D) 例16.双曲线的两焦点为在双曲线上,且满足,则的面积为() 例17.设的顶点,,且,则第三个顶点C的轨迹方程是________. 例18.连结双曲线与(a>0,b>0)的四个顶点的四边形面积为,连结四个焦点的四边形的面积为,则的最大值是________. 例19.根据下列条件,求双曲线方程: ⑴与双曲线有共同渐近线,且过点(-3,); ⑵与双曲线有公共焦点,且过点(,2). 例20.设双曲线上两点A、B,AB中点M(1,2) ⑴求直线AB方程; ⑵如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点,那么A、B、C、D是否共圆,为什么? 抛物线知识关系网 抛物线 1.抛物线的定义: 平面内到定点F和定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(点F不在上).定点F叫做抛物线的焦点,定直线叫做抛物线的准线. 2.抛物线的标准方程及其几何性质(如下表所示) 标准方程 图形 对称轴 轴 轴 轴 轴 焦点 顶点 原点 准线 离心率 1 点P(x0,y0) 的焦半径公式 用到焦半径自己推导一下即可 如: 开口向右的抛物线上的点P(x0,y0)的焦半径等于x0+. 注: 1.通径为2p,这是抛物线的过焦点的所有弦中最短的弦. 2.(或)的参数方程为(或)(为参数). 抛物线 例21.顶点在原点,焦点是的抛物线方程是() (A)x2=8y(B)x2=-8y(C)y2=8x(D)y2=-8x 例22.抛物线上的一点到焦点的距离为1,则点的纵坐标是() (A)(B)(C)(D)0 例23.过点P(0,1)与抛物线y2=x有且只有一个交点的直线有() (A)4条(B)3条(C)2条(D)1条 例24.过抛物线(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ的长分别为p、q,则等于() (A)2a(B)(C)(D) 例25.若点A的坐标为(3,2),F为抛物线y2=2x的焦点,点P在抛物线上移动,为使|PA|+|PF|取最小值,P点的坐标为() (A)(3,3)(B)(2,2)(C)(,1) (D)(0,0) 例26.动圆M过点F(0,2)且与直线y=-2相切,则圆心M的轨迹方程是. 例27.过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和抛物线交于两点,设这两点的纵坐标为y1、y2,则y1y2=_________. 例28.以抛物线的焦点为圆心,通径长为半径的圆的方程是_____________. 例29.过点(-1,0)的直线l与抛物线y2=6x有公共点,则直线l的倾斜角的范围是. 例30设是一常数,过点的直线与抛物线交于相异两点A、B,以线段AB为直经作圆H(H为圆心)。 (Ⅰ)试证: 抛物线顶点在圆H的圆周上; (Ⅱ)求圆H的面积最小时直线AB的方程. 轨迹 问题 上一章已经复习过解析几何的基本问题之一: 如何求曲线(点的轨迹)方程,它一般分为两类基本题型: 一是已知轨迹类型求其方程,常用待定系数法,如求直线及圆的方程就是典型例题;二是未知轨迹类型,此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外,通常设法利用已知轨迹的定义解题,化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。 因此在求动点轨迹方程的过程中,一是寻找与动点坐标有关的方程(等量关系),侧重于数的运算,一是寻找与动点有关的几何条件,侧重于形,重视图形几何性质的运用。 求轨迹方程的一般步骤: 建、设、现(限)、代、化. 轨迹方程 例31.已知两点M(-2,0),N(2,0),点P满足=12,则点P的轨迹方程为() 例32.⊙O1与⊙O2的半径分别为1和2,|O1O2|=4,动圆与⊙O1内切而与⊙O2外切,则动圆圆心轨迹是() (A)椭圆 (B)抛物线 (C)双曲线 (D)双曲线的一支 例33.动点P在抛物线y2=-6x上运动,定点A(0,1),线段PA中点的轨迹方程是() (A)(2y+1)2=-12x(B)(2y+1)2=12x(C)(2y-1)2=-12x(D)(2y-1)2=12x 例34.过点(2,0)与圆相内切的圆的圆心的轨迹是( ) (A)椭圆 (B)双曲线 (C)抛物线 (D)圆 例35.已知的周长是16,,B则动点的轨迹方程是() (A)(B)(C)(D) 例36.椭圆中斜率为的平行弦中点的轨迹方程为. 例37.已知动圆P与定圆C: (x+2)+y=1相外切,又与定直线l: x=1相切,那么动圆的圆心P的轨迹方程是______________. 圆锥曲线综合问题 直线与圆锥曲线的位置关系 ⑴直线与圆锥曲线的位置关系和判定 直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况: 相交、相切、相离. 直线方程是二元一次方程,圆锥曲线方程是二元二次方程,由它们组成的方程组,经过消元得到一个一元二次方程,直线和圆锥曲线相交、相切、相离的充分必要条件分别是、、
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- 数学 基础知识 典型 例题 复习 圆锥曲线