高三数学试题精选届高考数学导数综合复习题5Word格式.docx
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c.4x--4=0D.4x+-4=0
解析依题意得′=3x2+1,因此曲线=x3+x-2在点A(1,0)处的切线的斜率等于4,相应的切线方程是=4(x-1),即4x--4=0,选c
4.函数=x3-3x2-9x+14的单调区间为()
A.在(-∞,-1)和(-1,3)内单调递增,在(3,+∞)内单调递减
B.在(-∞,-1)内单调递增,在(-1,3)和(3,+∞)内单调递减
c.在(-∞,-1)和(3,+∞)内单调递增,在(-1,3)内单调递减
D.以上都不对
解析′=3x2-6x-9=3(x2-2x-3)=3(x+1)(x-3),
令′>0得x<-1或x>3,
故增区间为(-∞,-1),(3,+∞).
令′<0得-1<x<3,
故减区间为(-1,3).
5.函数f(x)=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值和最小值分别是()
A.12,-15B.-4,-15
c.12,-4D.5,-15
解析f′(x)=6x2-6x-12,令f′(x)=0得x=-1或x=2,∵f(0)=1,f
(2)=-15,f(3)=-4,
∴f(x)ax=5,f(x)in=-15,故选D
6.(2018苏州四市高三调研)已知曲线=x24的一条切线的斜率为12,则切点的横坐标为
()
A.1B.2
c.3D.4
答案A
解析∵′=x2=12,∴x=1
7.(2018甘肃省河西五市联考)设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数,则曲线=f(x)在x=5处的切线的斜率为()
A.-15B.0
c15D.5
答案B
解析可把f(x)的图象想象成下图.
∴′|x=5=0
8.设函数f(x)=ax3+bx2+cx在x=±
1处均有极值,且f(-1)=-1,则a,b,c的值为()
A.a=-12,b=0,c=-32
B.a=12,b=0,c=-32
c.a=-12,b=0,c=32
D.a=12,b=0,c=32
解析f′(x)=3ax2+2bx+c,
由题知3a+2b+c=03a-2b+c=0-a+b-c=-13a+c=0b=0-a+b-c=-1,
∴a=-12,b=0,c=32
9.已知函数f(x)是定义在R上的函数,如果函数f(x)在R上的导函数f′(x)的图象如图,则有以下几个命题
(1)f(x)的单调递减区间是(-2,0)、(2,+∞),
f(x)的单调递增区间是(-∞,-2)、(0,2);
(2)f(x)只在x=-2处取得极大值;
(3)f(x)在x=-2与x=2处取得极大值;
(4)f(x)在x=0处取得极小值.
其中正确命题的个数为()
解析由图知,当x<-2或0<x<2时,f′(x)>0;
当-2<x<0或x>2时,f′(x)<0,所以
(1)、(3)、(4)正确.
10.(2018北京师大附中)已知函数f(x)=x2+bx的图象在点A(1,f
(1))处的切线斜率为3,数列{1f(n)}的前n项为Sn则S2018的值为()
A20182018B20182018
c20182018D2*******
解析∵f′(x)=2x+b,f′
(1)=2+b=3,∴b=1,
∴f(x)=x2+x,∴1f(n)=1n2+n=1n(n+1)=1n-1n+1,
∴S2018=(1-12)+(12-13)+…+(12018-12018)=20182018,故选A
11.要做一个圆锥形漏斗,其母线长为20c,要使其体积最大,其高应为()
A2033cB.100c
c.20cD203c
解析设高为h,则半径为202-h2,
体积V=13πr2h=13π(202-h2)h
=-13πh3+2023πh(0<h<20),
V′=-πh2+2023π
令V′=0,得h=2033或h=-2033(舍去),
即当h=2033时,V为最大值.
12.己知f(x)=-x3-x,x∈[,n],且f()f(n)<0,则方程f(x)=0在区间[,n]上()
A.至少有三个实数根
B.至少有两个实根
c.有且只有一个实数根
D.无实根
解析∵f′(x)=-3x2-1<0,
∴f(x)在区间[,n]上是减函数,又f()f(n)<0,故方程f(x)=0在区间[,n]上有且只有一个实数根.
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,请将答案填在题中的横线上。
13.
(1)如图,函数f(x)的图象是折线段ABc,其中A,B,c的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则f(f(0))=________;
(2)函数f(x)在x=1处的导数f′
(1)=________
答案
(1)2
(2)-2
解析
(1)由图及题中已知可得f(x)=
-2(x-2),0≤x≤2x-2,2<x≤6,f(0)=4,
则f(f(0))=f(4)=2
(2)f′
(1)=-2
14.(2018河北三市联测)曲线=x3+x-2的一条切线平行于直线=4x-1,则切点P0的坐标为______________.
答案(1,0)或(-1,-4)
解析由=x3+x-2,得′=3x2+1,由已知得3x2+1=4,解之得x=±
1当x=1时,=0;
当x=-1时,=-4
∴切点P0的坐标为(1,0)或(-1,-4).
点评利用导数研究函数的性质是导数的重要应用之一,导数的广泛应用为我们解决函数问题提供了有力的帮助.本小题主要考查利用导数求切点的坐标.
15.已知f(x)=x3+3x2+a(a为常数),在[-3,3]上有最小值3,那么在[-3,3]上f(x)的最大值是________.
答案57
解析本题考查导数的应用f′(x)=3x2+6x,令f′(x)=0,得3x(x+2)=0x=0,x=-2i)当0≤x≤3,或-3≤x≤-2时,f′(x)≥0,f(x)单调递增,ii)当-2x0时,f(x)单调递减,由最小值为3知,最小为f(-3)或f(0)f(-3)=(-3)3+3×
(-3)2+a=a,f(0)=a,则a=3,∴f(x)=x3+3x2+3,其最大值为f(-2)或f(3),f(-2)=(-2)3+3×
(-2)2+3=7,f(3)=33+3×
32+3=57,则最大值为57
16.若函数f(x)=x3-x2+22-5的单调递减区间为(-9,0),则=________
答案-272
解析f′(x)=3x2-2x
法一令f′(x)<0则3x2-2x<0
若>0,则0<x<23与单调递减区间为(-9,0)矛盾.
若<0,则23<x<0,
∴-9=23,∴=-272
法二令f′(x)<0,则3x2-2x<0,
由题意得,不等式的解集为(-9,0),
∴-9,0是方程3x2-2x=0的两个根.
∴-9+0=--23,∴=-272
三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出字说明、演算步骤或证明过程。
17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=x3-3ax,
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)当a=1时,求证直线4x++=0不可能是函数f(x)图象的切线.
解析
(1)∵f′(x)=3x2-3a=3(x2-a),
当a≤0时,f′(x)=3x2-3a≥0对x∈R恒成立,
∴f(x)的递增区间为(-∞,+∞).
当a>0时,由f′(x)>0,得x<-a或x>a,
由f′(x)<0,得-a<x<a
此时,f(x)的递增区间是(-∞,-a)和(a,+∞);
递减区间是(-a,a).
(2)证明∵a=1,∴f′(x)=3x2-3
直线4x++=0的斜率为-4,假设f′(x)=-4,即3x2+1=0
此方程无实根,∴直线4x++=0不可能是函数f(x)图象的切线.
18.(2018东青岛一模)(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax3-3x2+1-3a(a∈R且a≠0),试求函数f(x)的极大值与极小值.
解析由题设知a≠0,f′(x)=3ax2-6x=3ax(x-2a),令f′(x)=0得x=0或x=2a
当a>0时,随x的变化,f′(x)与f(x)的变化如下表
x(-∞,0)0(0,2a)
2a
(2a,+∞)
f′(x)+0-0+
f(x)极大值极小值
∴f(x)极大值=f(0)=1-3a,
f(x)极小值=f(2a)=-4a2-3a+1
当a<0时,随x的变化,f′(x)与f(x)的变化如下表
x(-∞,2a)
(2a,0)
0(0,+∞)
f′(x)-0+0-
f(x)极小值极大值
总之,当a>0时,f(x)极大值=f(0)=1-3a,
f(x)极小值=f(2a)=-4a2-3a+1;
当a<0时,f(x)极大值=f(0)=1-3a,
19.(2018北京市东城区高三示范学校质量检测)(本小题满分12分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-23与x=1时都取得极值.
(1)求a、b的值与函数f(x)的单调区间;
(2)若对x∈[-1,2],不等式f(x)<c2恒成立,求c的取值范围.
解析
(1)∵f(x)=x3+ax2+bx+c,
∴f′(x)=3x2+2ax+b由
f′(-23)=129-43a+b=0f′
(1)=3+2a+b=0,
解得a=-12b=-2,∴f′(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),
函数f(x)的单调区间如下表
x(-∞,-23)
-23
(-23,1)
1(1,+∞)
所以函数f(x)的递增区间是(-∞,-23)与(1,+∞),递减区间是(-23,1).
(2)由f(x)=x3-12x2-2x+c,x∈[-1,2],
当x=-23时,f(x)=2227+c为极大值,而f
(2)=2+c,
所以f
(2)=2+c为最大值.
要使f(x)<c2对x∈[-1,2]恒成立,须且只需c2>f
(2)=2+c解得c<-1或c>2
20.(本小题满分12分)函数f(x)=x3+ax2+bx+c,过曲线=f(x)上的点P(1,f
(1))的切线方程为=3x+1
(1)若=f(x)在x=-2时有极值,求f(x)的表达式;
(2)在
(1)的条下,求=f(x)在[-3,1]上的最大值.
解析
(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c,求导数得f′(x)=3x2+2ax+b,过=f(x)上的点P(1,f
(1))的切线方程为-f
(1)=f′
(1)(x-1),即为-(a+b+c+1)=(3+2a+b)(x-1),而过P(1,f
(1))的切线方程是=3x+1,∴3+2a+b=3c-a-2=1①
又=f(x)在x=-2时有极值,∴f′(-2)=0,∴-4a+b=-12,②
联立方程组得a=2,b=-4,c=5,
即f(x)=x3+2x2-4x+5
(2)f′(x)=3x2+4x-4=(3x-2)(x+2),
f(x)、f′(x)的变化如下表
x[-3,-2)-2(-2,23)
23
(23,1]
f(x)递增极大递减极小递增
f(x)极大值=f(-2)=13,又f
(1)=4,
∴f(x)在区间[-3,1]上的最大值是13
21.(2018河南省实验中学期中试卷)(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±
1处取得极值.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求证对于区间[-1,1]上任意两个自变量x1、x2都有|f(x1)-f(x2)|≤4;
(3)若过点A(1,)(≠-2)可作曲线=f(x)的三条切线,求实数的取值范围.
解析
(1)∵f′(x)=3ax2+2bx-3,
依题意f′
(1)=f′(-1)=0,
即3a+2b-3=03a-2b-3=0,解得a=1,b=0,∴f(x)=x3-3x
(2)∵f(x)=x3-3x,∴f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),
当-1<x<1时,f′(x)<0,故f(x)在区间[-1,1]上为减函数,
fax(x)=f(-1)=2,fin(x)=f
(1)=-2,
∵对于区间[-1,1]上任意两个自变量x1、x2
都有|f(x1)-f(x2)|≤|fax(x)-fin(x)|
即|f(x1)-f(x2)|≤|2-(-2)|=4
(3)f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),
∵曲线方程为f(x)=x3-3x,∴点A(1,)不在曲线上,
设切点为(x0,0),则点的坐标满足0=x30-3x0,
因f′(x0)=3(x20-1),故切线的斜率为3(x20-1)=x30-3x0-x0-1,整理得2x30-3x20++3=0
∵过点A(1,)可作三条切线,
∴关于x0的方程式2x30-3x20++3=0有三个实根,设g(x0)=2x30-3x20++3,
则g′(x0)=6x20-6x0由g′(x0)=0得x0=0或x0=1,
∴函数g(x0)=2x30-3x20++3的极值点为x0=0,x0=1,
∴关于x0的方程2x30-3x20++3=0有三个实数根的充要条是g
(1)g(0)<0即(+3)(+2)<0,
解得-3<<-2,故所求实数a的取值范围是-3<<-2
22.(2018福建,21)(本小题满分12分)已知函数f(x)=13x3+ax2+bx,且f′(-1)=0
(1)试用含a的代数式表示b;
(2)求f(x)的单调区间;
(3)令a=-1,设函数f(x)在x1、x2(x1<x2)处取得极值,记点(x1,f(x1)),N(x2,f(x2)).证明线段N与曲线f(x)存在异于,N的共点.
命题意图本小题主要考查函数、导数等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想.
解析解法一
(1)依题意,得
f′(x)=x2+2ax+b
由f′(-1)=1-2a+b=0得b=2a-1
(2)由
(1)得f(x)=13x3+ax2+(2a-1)x,故f′(x)=x2+2ax+2a-1=(x+1)(x+2a-1).
令f′(x)=0,则x=-1或x=1-2a
①当a>1时,1-2a<-1
当x变化时,f′(x)与f(x)的变化情况如下表
x(-∞,1-2a)(1-2a,-1)(-1,+∞)
f′(x)+-+
f(x)单调递增单调递减单调递增
由此得,函数f(x)的单调增区间为(-∞,1-2a)和(-1,+∞),单调减区间为(1-2a,-1).
②当a=1时,1-2a=-1此时,f′(x)≥0恒成立,且仅在x=-1处f′(x)=0,故函数f(x)的单调增区间为R
③当a<1时,1-2a>-1,同理可得函数f(x)的单调增区间为(-∞,-1)和(1-2a,+∞),单调减区间为(-1,1-2a).
综上所述当a>1时,函数f(x)的单调增区间为(-∞,1-2a)和(-1,+∞),单调减区间为(1-2a,-1);
当a=1时,函数f(x)的单调增区间为R;
当a<1时,函数f(x)的单调增区间为(-∞,-1)和(1-2a,+∞),单调减区间为(-1,1-2a).
(3)当a=-1时,得f(x)=13x3-x2-3x
由f′(x)=x2-2x-3=0,得x1=-1,x2=3
由
(2)得f(x)的单调增区间为(-∞,-1)和(3,+∞),单调减区间为(-1,3),所以函数f(x)在x1=-1,x2=3处取得极值.故(-1,53),N(3,-9).
所以直线N的方程为=-83x-1
由=13x3-x2-3x,=-83x-1,得x3-3x2-x+3=0
令F(x)=x3-3x2-x+3
易得F(0)=3>0,F
(2)=-3<0,而F(x)的图象在(0,2)内是一条连续不断的曲线,故F(x)在(0,2)内存在零点x0,这表明线段N与曲线f(x)有异于,N的共点.
解法二
(1)同解法一.
(2)同解法一.
由
(2)得f(x)的单调增区间为(-∞,-1)和(3,+∞),单调减区间为(-1,3),所以函数f(x)在x1=-1,x2=3处取得极值,
故(-1,53),N(3,-9).
解得x1=-1,x2=1,x3=3
∴x1=-1,1=53,x=1,2=-113,x3=3,3=-9
所以线段N与曲线F(x)有异于,N的共点(1,-113).
5c
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