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标准离差率是以相对数来衡量待决策方案的风险,一般情况下,标准离差率越大,风险越大;
相反,标准离差率越小,风险越小。
标准离差率指标的适用范围较广,尤其适用于期望值不同的决策方案风险程度的比较。
标准离差率是一个相对指标。
它表示某资产每单位预期收益中所包含的风险的大小。
1.适用条件:
一般情况下标准离差率越大,资产的相对风险越大;
相反,标准离差率越小,资产的相对风险越小。
标准离差率指标可以用来比较预期收益率不同的资产之间的风险大小。
2.注意:
如果资产的预期收益率相同不需要计算标准离差率。
计算标准离差率
标准离差率=σ/E
期望值不同的情况下,标准离差率越大,风险越大
比如甲乙两个方案,甲方案期望值10万,标准离差是10万,乙方案期望值100万,标准离差是15万。
这时如果根据标准离差来对比,那么可以明显的看出,乙方案的标准离差要大于甲方案,但二者的期望值不一样,所以这时候需要进一步计算标准离差利率,并以此来判断方案选择。
计算出来的方案标准离差或者标准离差率与预先设定值进行对比,如果计算出来的值小于等于设定值,那么说明方案的投资风险可接受,反之则不可接受。
标准差
标准差(StandardDeviation)
也称均方差(meansqureerror)
各数据偏离平均数的距离(离均差)的平均数,它是离差平方和平均后的方根。
用σ表示。
因此,标准差也是一种平均数
标准差是方差的算术平方根。
标准差能反映一个数据集的离散程度。
平均数相同的,标准差未必相同。
例如,A、B两组各有6位学生参加同一次语文测验,A组的分数为95、85、75、65、55、45,B组的分数为73、72、71、69、68、67。
这两组的平均数都是70,但A组的标准差为17.08分,B组的标准差为2.16分,说明A组学生之间的差距要比B组学生之间的差距大得多。
标准差也被称为标准偏差,或者实验标准差。
关于这个函数在EXCEL中的STDEVP函数有详细描述,EXCEL中文版里面就是用的“标准偏差”字样。
但我国的中文教材等通常还是使用的是“标准差”。
公式如图。
P.S.
在EXCEL中STDEVP函数就是下面评论所说的另外一种标准差,也就是总体标准差。
在繁体中文的一些地方可能叫做“母体标准差”
因为有两个定义,用在不同的场合:
如是总体,标准差公式根号内除以n,
如是样本,标准差公式根号内除以(n-1),
因为我们大量接触的是样本,所以普遍使用根号内除以(n-1),
外汇术语:
标准差指统计上用于衡量一组数值中某一数值与其平均值差异程度的指标。
标准差被用来评估价格可能的变化或波动程度。
标准差越大,价格波动的范围就越广,股票等金融工具表现的波动就越大。
阐述及应用
简单来说,标准差是一组数值自平均值分散开来的程度的一种测量观念。
一个较大的标准差,代表大部分的数值和其平均值之间差异较大;
一个较小的标准差,代表这些数值较接近平均值。
例如,两组数的集合{0,5,9,14}和{5,6,8,9}其平均值都是7,但第二个集合具有较小的标准差。
标准差可以当作不确定性的一种测量。
例如在物理科学中,做重复性测量时,测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。
当要决定测量值是否符合预测值,测量值的标准差占有决定性重要角色:
如果测量平均值与预测值相差太远(同时与标准差数值做比较),则认为测量值与预测值互相矛盾。
这很容易理解,因为如果测量值都落在一定数值范围之外,可以合理推论预测值是否正确。
标准差应用於投资上,可作为量度回报稳定性的指标。
标准差数值越大,代表回报远离过去平均数值,回报较不稳定故风险越高。
相反,标准差数值越细,代表回报较为稳定,风险亦较小。
样本标准差
在真实世界中,除非在某些特殊情况下,找到一个总体的真实的标准差是不现实的。
大多数情况下,总体标准差是通过随机抽取一定量的样本并计算样本标准差估计的。
均方差
均方差也叫标准差,方差开根号为均方差,工程中其量纲与变量一致,应用较广.
样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均数叫做样本方差;
样本方差的算术平方根叫做样本标准差。
样本方差和样本标准差都是衡量一个样本波动大小的量,样本方差或样本标准差越大,样本数据的波动就越大。
数学上一般用D=E{[X-E(X)]^2}来度量随机变量X与其均值E(X)的偏离程度,称为X的方差,D开根号为均方差.
定义
设X是一个随机变量,若E{[X-E(X)]^2}存在,则称E{[X-E(X)]^2}为X的方差,记为D(X)或DX。
即D(X)=E{[X-E(X)]^2},而σ(X)=D(X)^0.5(与X有相同的量纲)称为标准差或均方差。
由方差的定义可以得到以下常用计算公式:
D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2
方差的几个重要性质(设一下各个方差均存在)。
(1)设c是常数,则D(c)=0。
(2)设X是随机变量,c是常数,则有D(cX)=c^2D(X)。
(3)设X,Y是两个相互独立的随机变量,则D(X+Y)=D(X)+D(Y)。
(4)D(X)=0的充分必要条件是X以概率为1取常数值c,即P{X=c}=1,其中E(X)=c。
方差和标准差:
样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均数叫做样本方差;
数学上一般用E{[X-E(X)]^2}来度量随机变量X与其均值E(X)的偏离程度,称为X的方差。
定义
设X是一个随机变量,若E{[X-E(X)]^2}存在,则称E{[X-E(X)]^2}为X的方差,记为D(X)或DX。
由方差的定义可以得到以下常用计算公式:
D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2
方差的几个重要性质(设一下各个方差均存在)。
(1)设c是常数,则D(c)=0。
(2)设X是随机变量,c是常数,则有D(cX)=c^2D(X)。
(3)设X,Y是两个相互独立的随机变量,则D(X+Y)=D(X)+D(Y)。
(4)D(X)=0的充分必要条件是X以概率为1取常数值c,即P{X=c}=1,其中E(X)=c。
标准差(StandardDeviation)
各数据偏离平均数的距离(离均差)的平均数,它是离差平方和平均后的方根。
因此,标准差也是一种平均数
标准差能反映一个数据集的离散程度。
例如,A、B两组各有6位学生参加同一次语文测验,A组的分数为95、85、75、65、55、45,B组的分数为73、72、71、69、68、67。
标准偏差
标准偏差(StdDev,StandardDeviation)-统计学名词。
一种量度数据分布的分散程度之标准,用以衡量数据值偏离算术平均值的程度。
标准偏差越小,这些值偏离平均值就越少,反之亦然。
标准偏差的大小可通过标准偏差与平均值的倍率关系来衡量。
标准偏差公式:
S=Sqr(∑(xn-x拨)^2/(n-1))
公式中∑代表总和,x拨代表x的算术平均值,^2代表二次方,Sqr代表平方根。
例:
有一组数字分别是200、50、100、200,求它们的标准偏差。
x拨=(200+50+100+200)/4=550/4=137.5
S^2=[(200-137.5)^2+(50-137.5)^2+(100-137.5)^2+(200-137.5)^2]/(4-1)=[62.5^2+(-87.5)^2+(-37.5)^2+62.5^2]/3=[3906.25+7656.25+1406.25+3906.25]/3=16875/3=5625
标准偏差S=Sqr(5625)=75
方差
方差和标准差:
英文:
variationandstandarddeviation
右图为计算公式Variance'
sformula
数学上一般用E{[X-E(X)]^2}来度量随机变量X与其均值E(X)即期望的偏离程度,称为X的方差。
S^2=[(x1-x拔)2+(x2-x拔)^2+(x3-x拔)^2+…+(xn-x拔)^2]/n
(2)设X是随机变量,c是常数,则有D(cX)=(c^2)D(X)。
方差是标准差的平方
变异系数
变异系数又称“标准差率”,是衡量资料中各观测值变异程度的另一个统计量。
当进行两个或多个资料变异程度的比较时,如果度量单位与平均数相同,可以直接利用标准差来比较。
如果单位和(或)平均数不同时,比较其变异程度就不能采用标准差,而需采用标准差与平均数的比值(相对值)来比较。
标准差与平均数的比值称为变异系数,记为C.V。
变异系数可以消除单位和(或)平均数不同对两个或多个资料变异程度比较的影响。
标准变异系数是一组数据的变异指标与其平均指标之比,它是一个相对变异指标。
变异系数有全距系数、平均差系数和标准差系数等。
常用的是标准差系数,用CV(CoefficientofVariance)表示。
CV(CoefficientofVariance):
标准差与均值的比率。
用公式表示为:
CV=σ/μ
作用:
反映单位均值上的离散程度,常用在两个总体均值不等的离散程度的比较上。
若两个总体的均值相等,则比较标准差系数与比较标准差是等价的。
变异系数又称离散系数。
编辑词条
离差
离差也叫差量,是单项数值与平均值之间的差。
一般计算离差平方和来表示数据分布的集中程度,反映了估计量与真实值之间的差距。
可能出现结果与平均预期的偏离程度,代表风险程度的大小。
[编辑本段]
离差(deviate)的概念
设ξ是一个随机变量,令η=ξ-Eξ,则称η为ξ的离差.它反映了ξ与其数学期望Eξ的偏离程度.根据数学期望的性质
Eη=E(ξ-Eξ)=Eξ-Eξ=0
即随机变量的离差的数学期望恒为零.这是由于η的取值有正有负相互抵消的原因,故它不能在总体上描述随机变量ξ的取值在其数学期望周围的分散程度.
方差的概念
通常我们用随机变量ξ离差的平方的数学期望来描述随机变量ξ的分布的分散程度,并把其称为ξ的方差,记作Dξ:
Dξ=E(ξ-Eξ)^2
Dξ是一个非负的数,Dξ较小时,表示ξ的取值比较集中在Eξ的附近.反之,Dξ较大时,表示ξ的取值比较分散.
由来
离差是由每个项目的5名专家评分计算该项目的平均分,某专家对该项目的评分与该项目的平均分之差称为离差,离差反映了该专家在该项目上与全体专家间的差异.该专家在其所有评审项目上离差的均数称为平均离差,平均离差反映了该专家的平均非共识程度
协方差
一、定义
协方差分析是建立在方差分析和回归分析基础之上的一种统计分析方法。
方差分析是从质量因子的角度探讨因素不同水平对实验指标影响的差异。
一般说来,质量因子是可以人为控制的。
回归分析是从数量因子的角度出发,通过建立回归方程来研究实验指标与一个(或几个)因子之间的数量关系。
但大多数情况下,数量因子是不可以人为加以控制的。
方差知道吧。
。
两个不同参数之间的方差就是协方差
若两个随机变量X和Y相互独立,则E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=0,因而若上述数学期望不为零,则X和Y必不是相互独立的,亦即它们之间存在着一定的关系。
E[(X-E(X))(Y-E(Y))]称为随机变量X和Y的协方差,记作COV(X,Y),即COV(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]。
协方差与方差之间有如下关系:
D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2COV(X,Y)
D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2COV(X,Y)
因此,COV(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)。
协方差的性质:
(1)COV(X,Y)=COV(Y,X);
(2)COV(aX,bY)=abCOV(X,Y),(a,b是常数);
(3)COV(X1+X2,Y)=COV(X1,Y)+COV(X2,Y)。
由协方差定义,可以看出COV(X,X)=D(X),COV(Y,Y)=D(Y)。
协方差作为描述X和Y相关程度的量,在同一物理量纲之下有一定的作用,但同样的两个量采用不同的量纲使它们的协方差在数值上表现出很大的差异。
为此引入如下概念:
ρXY=COV(X,Y)/√D(X)√D(Y),称为随机变量X和Y的相关系数。
若ρXY=0,则称X与Y不相关。
即ρXY=0的充分必要条件是COV(X,Y)=0,亦即不相关和协方差为零是等价的。
定理
设ρXY是随机变量X和Y的相关系数,则有
(1)∣ρXY∣≤1;
(2)∣ρXY∣=1充分必要条件为P{Y=aX+b}=1,(a,b为常数,a≠0)
设X和Y是随机变量,若E(X^k),k=1,2,...存在,则称它为X的k阶原点矩,简称k阶矩。
若E{[X-E(X)]^k},k=1,2,...存在,则称它为X的k阶中心矩。
若E(X^kY^l),k、l=1,2,...存在,则称它为X和Y的k+l阶混合原点矩。
若E{[X-E(X)]^k[Y-E(Y)]^l},k、l=1,2,...存在,则称它为X和Y的k+l阶混合中心矩。
显然,X的数学期望E(X)是X的一阶原点矩,方差D(X)是X的二阶中心矩,协方差COV(X,Y)是X和Y的二阶混合中心矩。
二、协方差在农业上的应用
农业科学实验中,经常会出现可以控制的质量因子和不可以控制的数量因子同时影响实验结果的情况,这时就需要采用协方差分析的统计处理方法,将质量因子与数量因子(也称协变量)综合起来加以考虑。
比如,要研究3种肥料对苹果产量的实际效应,而各棵苹果树头年的“基础产量”不一致,但对试验结果又有一定的影响。
要消除这一因素带来的影响,就需将各棵苹果树第1年年产量这一因素作为协变量进行协方差分析,才能得到正确的实验结果。
正态分布
正态分布
normaldistribution
一种概率分布。
正态分布是具有两个参数μ和σ2的连续型随机变量的分布,第一参数μ是服从正态分布的随机变量的均值,第二个参数σ2是此随机变量的方差,所以正态分布记作N(μ,σ2)。
服从正态分布的随机变量的概率规律为取与μ邻近的值的概率大,而取离μ越远的值的概率越小;
σ越小,分布越集中在μ附近,σ越大,分布越分散。
正态分布的密度函数的特点是:
关于μ对称,在μ处达到最大值,在正(负)无穷远处取值为0,在μ±
σ处有拐点。
它的形状是中间高两边低,图像是一条位于x轴上方的钟形曲线。
当μ=0,σ2=1时,称为标准正态分布,记为N(0,1)。
μ维随机向量具有类似的概率规律时,称此随机向量遵从多维正态分布。
多元正态分布有很好的性质,例如,多元正态分布的边缘分布仍为正态分布,它经任何线性变换得到的随机向量仍为多维正态分布,特别它的线性组合为一元正态分布。
正态分布最早由A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。
C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。
P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。
生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。
例如,在生产条件不变的情况下,产品的强力、抗压强度、口径、长度等指标;
同一种生物体的身长、体重等指标;
同一种种子的重量;
测量同一物体的误差;
弹着点沿某一方向的偏差;
某个地区的年降水量;
以及理想气体分子的速度分量,等等。
一般来说,如果一个量是由许多微小的独立随机因素影响的结果,那么就可以认为这个量具有正态分布(见中心极限定理)。
从理论上看,正态分布具有很多良好的性质,许多概率分布可以用它来近似;
还有一些常用的概率分布是由它直接导出的,例如对数正态分布、t分布、F分布等。
正态分布应用最广泛的连续概率分布,其特征是“钟”形曲线。
from
(一)正态分布
1.正态分布
若的密度函数(频率曲线)为正态函数(曲线)
(3-1)
则称服从正态分布,记号~。
其中、是两个不确定常数,是正态分布的参数,不同的、不同的对应不同的正态分布。
正态曲线呈钟型,两头低,中间高,左右对称,曲线与横轴间的面积总等于1。
2.正态分布的特征
服从正态分布的变量的频数分布由、完全决定。
(1)是正态分布的位置参数,描述正态分布的集中趋势位置。
正态分布以为对称轴,左右完全对称。
正态分布的均数、中位数、众数相同,均等于。
(2)描述正态分布资料数据分布的离散程度,越大,数据分布越分散,越小,数据分布越集中。
也称为是正态分布的形状参数,越大,曲线越扁平,反之,越小,曲线越瘦高。
(二)标准正态分布
1.标准正态分布是一种特殊的正态分布,标准正态分布的μ和σ2为0和1,通常用(或Z)表示服从标准正态分布的变量,记为Z~N(0,1)。
2.标准化变换:
此变换有特性:
若原分布服从正态分布,则Z=(x-μ)/σ~N(0,1)就服从标准正态分布,通过查标准正态分布表就可以直接计算出原正态分布的概率值。
故该变换被称为标准化变换。
3.标准正态分布表
标准正态分布表中列出了标准正态曲线下从-∞到X(当前值)范围内的面积比例。
(三)正态曲线下面积分布
1.实际工作中,正态曲线下横轴上一定区间的面积反映该区间的例数占总例数的百分比,或变量值落在该区间的概率(概率分布)。
不同范围内正态曲线下的面积可用公式3-2计算。
(3-2)
。
2.几个重要的面积比例
轴与正态曲线之间的面积恒等于1。
正态曲线下,横轴区间(μ-σ,μ+σ)内的面积为68.27%,横轴区间(μ-1.96σ,μ+1.96σ)内的面积为95.00%,横轴区间(μ-2.58σ,μ+2.58σ)内的面积为99.00%。
(四)正态分布的应用
某些医学现象,如同质群体的身高、红细胞数、血红蛋白量,以及实验中的随机误差,呈现为正态或近似正态分布;
有些指标(变量)虽服从偏态分布,但经数据转换后的新变量可服从正态或近似正态分布,可按正态分布规律处理。
其中经对数转换后服从正态分布的指标,被称为服从对数正态分布。
1.估计频数分布一个服从正态分布的变量只要知道其均数与标准差就可根据公式(3-2)估计任意取值范围内频数比例。
2.制定参考值范围
(1)正态分布法适用于服从正态(或近似正态)分布指标以及可以通过转换后服从正态分布的指标。
(2)百分位数法常用于偏态分布的指标。
表3-1中两种方法的单双侧界值都应熟练掌握。
表3-1常用参考值范围的制定
概率
(%)正态分布法百分位数法
双侧单侧双侧单侧
下限上限下限上限
90
95
99
3.质量控制:
为了控制实验中的测量(或实验)误差,常以作为上、下警戒值,以作为上、下控制值。
这样做的依据是:
正常情况下测量(或实验)误差服从正态分布。
4.正态分布是许多统计方法的理论基础。
检验、方差分析、相关和回归分析等多种统计方法均要求分析的指标服从正态分布。
许多统计方法虽然不要求分析指标服从正态分布,但相应的统计量在大样本时近似正态分布,因而大样本时这些统计推断方法也是以正态分布为理论基础的。
一、正态分布的概念
由表1.1的频数表资料所绘制的直方图,图3.1
(1)可以看出,高峰位于中部,左右两侧大致对称。
我们设想,如果观察例数逐渐增多,组段不断分细,直方图顶端的连线就会逐渐形成一条高峰位于中央(均数所在处),两侧逐渐降低且左右对称,不与横轴相交的光滑曲线图3.1(3)。
这条曲线称为频数曲线或频率曲线,近似于数学上的正态分布(normaldistribution)。
由于频率的总和为100%或1,故该曲线下横轴上的面积为100%或1。
图3.1频数分布逐渐接近正态分布示意图
为
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