春季四年级奥数班讲义Word文档下载推荐.docx

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=189

1△﹙2△3﹚

=1△[﹙2+3﹚×

﹙3+4﹚]﹙a=2,b=3﹚

=1△[5×

7]

=1△35

=﹙1+3﹚×

﹙35+4﹚﹙a=1,b=35﹚

=4×

39

=156

1.对于两个数a和b,规定a○b=a+5b,试求①1○2○3②1○﹙2○3﹚注意:

5b表示5×

b或b×

5

2.对于两个数a和b,规定:

a□b=﹙a－2﹚×

﹙b÷

2﹚.试求:

3□﹙5□4﹚

例3:

如果2☆3=2+3+4,5☆2=5+6,4☆5=4+5+6+7+8,......照此规律,计算①3☆5②8☆3

简析:

本题是自找规律,通过观察,找到a和b之间的关系是关键.

①首数字是第一个数,每组数是递增的,个数的多少受第二个数的限制,第二数是几,加数就是几个

②加数较多时可用配对法计算或等差数列求和公式计算.

3☆58☆3

=3+4+5+6+7=8+9+10

=25=27

注:

本组计算有技巧,你能发现吗?

1.如果5▽3=5×

6×

7,2▽4=2×

3×

4×

5,按此规律计算:

3▽4.

2.如果2▽4=24÷

﹙2+4﹚,3▽6=36÷

﹙3＋6﹚,按此规律计算:

8▽4

例4:

5C3=﹙5×

3﹚÷

﹙3×

2×

1﹚=10,6C2=﹙6×

5﹚÷

﹙2×

1﹚=15,10C4=﹙10×

9×

8×

7﹚÷

﹙4×

1﹚=210,按此规律计算:

7C4

本题是高二的排列组合问题,在小学属于“阅读与理解”的内容.在数图形和“解决问题的策略”中有比较广泛的用途.

①本题是例3的具体应用,难度较小.

②鼓励学生自主完成.解答过程:

略.

第二讲

一.阔步课堂

甲乙两数的乘积是60,如果甲数扩大5倍,乙数不变,乘积是多少?

如果甲数不变,乙数扩大5倍,乘积是多少?

如果甲乙都扩大5倍,乘积是多少?

扩大几倍,就是某数乘几.可通过具体算式探讨规律.再运用规律解决问题.

60×

5=30060×

5×

5=1500

二.盈亏问题

将一堆苹果分给小朋友,每人分9个,则少45个;

每人分7个,则多5个.有多少人,共有多少个苹果?

本题属典型的盈亏问题.多为“盈”,少为“亏”.重点在于理解“盈”与“亏”之间的关系.可借助线段图加以理解.苹果总数和人数是不变的,两次分配中的总数差异是因为两次中每人分得的个数差异造成的.

1总数相差多少?

借助线段图直观显示（图略）45+5=50（个）

2每人分配相差多少?

9－7=2（个）

3一共有几人?

50÷

2=25（人）

4一共有几个苹果?

9×

25－45=180（个）或者25×

7+5=180（个）

做完后体会线段图与例题中各数量的对应关系

答：

略

1某校有若干个学生寄宿学校.若每一间房住6人,则多40人;

若每间房住8人,则最后一间房少2人.有多少住宿学生和多少间房?

2数学兴趣小组同学做数学题,如果每人做6道题,则少4道;

如果每人做4道题,则多10道.有多少个学生和多少道题?

例2:

同学们去划船.每船坐4人,则少一条船;

如果每条船坐6人,则多出4条船.有多少条船和多少人?

本题是例1的升级.将盈与亏复杂化.少一条船,意味着多出:

4人此为盈;

多出4条船,意味着少:

4=24（人）,此为亏.然后借助例1的程式化解答方式求解.

1+4×

6=28（人）

2每条船坐的人数相差多少?

6-4=2（人）

3有几条船?

28÷

2=14（条）

4有多少人?

14×

4＋4=60（人）或者14×

6－4×

6=60（人）

1学校给新生分配宿舍,如果每间住8人,则少2间房;

如果每间住10人,则多出2间房.一共有几间房和多少人?

2一个学生从家到学校,如果以每分钟50米的速度行走,就要迟到8分钟;

如果以每分钟60米的速度行走,就可以提前5分钟到校.这个学生出发时离上学时间还有多少分钟?

学校派一些学生搬一批树苗.如果每人搬6棵,则差4棵;

如果每人搬8棵,则差18棵.学生有多少人?

有多少棵树?

本题属双亏问题.重点在于理解总数相差多少.仍然借助线段图解决问题（图略）.

18-4=14（棵）

2每人搬的树苗相差多少?

8－6=2（棵）

3有多少人?

14÷

2=7（人）

4有多少棵树?

7×

6—4=38（棵）

1科学课堂上,老师给同学们发树叶.如果每人分6片,少7片;

如果每人分8片,则少17片.有多少片树叶?

2一堆苹果分给同学们.每人4个,多8个;

若每人2个,多18个.学生有多少人?

第三讲

一.阔步课堂

有两桶水,如果从第一桶倒10升给第二桶,那么两桶水一样多.已知两桶水一共有120升,这两桶水各有多少升?

本题属和差问题.可以用线段图帮助理解.也可用公式解决.

①方法一:

倒着做.从总重入手,倒推各有多少升:

120÷

2=60（升）第一桶有:

60+10=70（升）,第二桶有60-10=50（升）

3方法二:

画线段图.变不平均分为平均分.

A方法一:

都与第二桶同样多:

120-10×

2=100（升）

100÷

2=50（升）……第二桶第一桶:

120-50=70（升）

B方法二:

都与第一桶同样多:

120+10×

2=140（升）140÷

2=70（升）……第一桶第二桶120-70=50（升）

4直接用公式（略）

二.替换法

例1.□＋□＋○＋○＋○=200,□=○＋5则□=（）○=（）

这是符号化的替换,比较直观.有两种替换方式.

1替换成□:

每个○加5,正好可将○换成□.3个○加5×

3=15,现在的总和是200+15=215,正好是5个□的总和,所以每个□是:

215÷

5=43,因此○是:

43-5=38

2替换成○:

每个□减去5,正好可以替换成○.每个□减少5,一共减少:

2=10,现在总和是200-10=190,这是5个○的总和.每个○为:

190÷

5=38,每个□为:

38+5=43

1.◎＋◎＋◎＋□＋□＋□＋□=300,□－◎=5,则◎是几?

□是几?

2.甲乙共有600元,甲比乙多10元.甲乙各有多少元?

学生做完后思考:

本题与和差问题有什么相通之处?

◎＋◎＋□=210,◎÷

□=3,则◎=（）,□=（）

本题是例1的变式.本质相同.区别在于替换条件有所变化.因计算条件限制,替换只能以大换小.

第二个条件是替换根据.一个◎可换3个□.◎一共可换3×

2=6（个）□,现在共有6+1=7（个）□,所以每个□为:

210÷

7=30,每个◎为:

30×

3=90

1.长方形周长80厘米,长比宽长2厘米.求长方形的长与宽各是多少.

2.甲乙共有600元.甲的钱是乙的2倍.甲乙各有多少元?

做完后思考:

本题与和倍问题有什么相通之处?

等腰三角形的顶角比底角大18º

.求它的顶角与底角度数.

本题是替换法的实际应用.如何替换是关键,弄清底角与顶角概念也很重要.

等腰三角形两腰的夹角是顶角,底与腰的夹角是底角.等腰三角形有两个相等的底角.

1全替换成底角:

顶角去掉18º

变成底角,三底角之和是:

180º

-18º

=162º

每个底角度数为:

162º

÷

3=54º

则顶角为:

54º

＋18º

=72º

2全替换为顶角:

每个底角增加18º

一共增加18º

×

2=36º

.此时三个顶角之和为:

+36º

=216º

每个顶角度数为:

216º

3=72º

则底角为:

72º

=54º

1.等腰三角形的底角比顶角大18º

则底角与顶角各是多少度?

2.等腰三角形的底角度数是顶角的2倍,则底角与顶角各是多少度?

甲乙共有210元.甲的钱比乙的3倍多10元.甲乙各有多少元?

本题属“不完整倍数问题”,关键是变“不完整”为“完整”.基本思想是:

多退少补

1从甲的钱数里去掉多出的10元,此时甲乙共有210-10=200（元）,甲的钱正好是乙的3倍.

2画线段图,弄清200元与倍数间的关系.顺利解答:

200÷

（3+1）=50（元）,从而甲的钱数为50×

3+10=160（元）或者210-50=160（元）

3完成后思考:

本题与“和倍问题”有何相通之处?

1.甲有200元,比乙的4倍多40元.乙有多少元?

2.甲乙共有300元.甲比乙的3倍少60元.甲乙各有多少元?

第四讲

三角形的周长是20厘米.则三角形的最长边长度小于（10）厘米.

本题属于三角形三边关系的内容.重点在于：

三角形任意两边之和大于第三边.最短的两边之和也大于第三边,从而最长边小于20÷

2=10（厘米）

把一根16厘米长的吸管剪成三段（每段都是整厘米）,围成一个三角形,可能围成多少种不同的三角形?

本题是例1的发展,根据同样的道理求解.可先确定最长边的范围.

1最长边的范围:

最长边小于16÷

2=8（厘米）

2小于8,且另两边都不大于8,则16=7+7+2=7+6+3=7+5+4=6+6+4=6+5+5,共有5种

配套练习：

用12根火柴棒拼三角形，可以拼出多少种不同的三角形？

（不许弯折）

二.还原问题

一个数的7倍减去5再加上2,然后除以3得20.求这个数.

本题从最后的条件入手解答,也叫“倒着做”.一般用分步式解答.

120×

3=60

260-2=58

358+5=63

463÷

7=9

1.甲,乙,丙三人各有人民币若干元.甲给乙125元,乙给丙135元,丙给甲40元.这时三个人的钱数都是365元.甲,乙,丙三人原来各有多少元?

2.一个数乘9,加上19,再乘2,最后除以2等于109,这个数是多少?

马大哈做减法计算时,把减数个位上的1看成7,把被减数十位上的6看成9,结果得到差为600.正确的差是多少?

本题属于“还原问题”的变式。

减数多了7-1=6，就是差少了6；

被减数多算了90-60=30，差增加了30.于是本题可转化为还原问题:

“某数减6，再加30，得600,求这个数”。

17-1=6，90-60=30

2600-30+6=576

1.粗心的王蕾在做加法试题时，把个位上的5看成看6，把十位上的8看成了3，结果得到和为123，正确的答案应该是多少？

2.小马虎甲在计算一道三位数乘两位数乘法时，把一个乘数个位上的5误写成3，乘得的积是4485；

小马虎乙却把这个5错写成8，乘得的积是5460.正确的积是多少？

例3：

袋子里有一些球，熊爱华每次拿出其中的一半再放回去1个球，这样共操作了4次，袋中还有5个球。

袋中原来有多少个球？

本题操作步骤较多，可以从第四次操作后袋中还有5个球往前倒推。

1第三次操作后还剩几个球？

（5-1）×

2=8（个）

2第二次操作后还剩多少个球？

（8-1）×

2=14（个）

3第一次操作后还剩多少个球？

（14-1）×

2=26（个）

4开始有多少个球？

（26-1）×

2=50（个）

袋中原来有50个球。

袋子里一共有若干个棋子，琪琪每次拿出其中的一半多2个，这样一共拿了5次，袋中正好没有棋子了。

原来袋中有多少个棋子

第五讲

一个房间,用边长6分米的方砖来铺,需要500块;

改用边长5分米的方砖来铺,需要多少块方砖?

本题属铺地问题.铺地并非只沿着边来铺,所以不能算周长,要算地面的大小即面积.

①原来一块砖的面积多大?

6×

6=36（平方分米）

②房间有多大?

36×

500=18000（平方分米）

③现在每块砖面积多大?

5×

5=25（平方分米）

④现在要多少块砖?

18000÷

25=720（块）

答:

（文字题）28与14的和除以它们的差,结果是多少?

文字题重点在于计算顺序,可以看做是小型化的应用题.可以运用“遇‘和’、‘差’、‘再’,括号自然来”辅助列式计算.

（28+14）÷

（28-14）

=42÷

14

=3

用边长4分米的方砖铺地,需要600块.改用面积30平方分米的方砖来铺,需要多少块?

二.数码问题

一个两位数,十位数字是个位数字的2倍.如果这个数加上4,所得的两位数的两个数字相同.求这个两位数.

本题属于“简单枚举”,可以把符合第一个条件的两位数列举出来,再根据后面的条件进行排除.

①符合第一个条件的两位数有:

21,42,63,84

②把每个数加4后进行排查:

21+4=25,两个数字不相同

42+4=46,两个数字不相同

63+4=67,两个数字不相同

84+4=88,两个数字相同,符合条件.

这个数是84.

一个两位数,个位数字是十位数字的3倍.如果把这个数加7,则这两个数字就相同.求这个数.

一个两位数,其数字之和是5,如果这个数减去9,则两个数字的位置互换.求原来的两位数.

本题属于例1的巩固与拓展.也采用列举法进行筛选.

14与41,23与32,50

②用后面的条件进行排查:

14-9=5,不符合条件

41-9=32,不符合条件

23-9=14,不符合条件

32-9=23,符合条件

50-9=41,不符合条件

这个数为32.

4个连续自然数之和为206.则这4个自然数各是多少?

本题属于“寻找规律,运用规律”的内容,可以先通过对任意4个连续自然数的观察研究,寻找规律:

等差.再进行计算

①以最小数为基准:

后面三个数分别比第一个数大1,2,3.所以从总和里去掉1,2,3后,四个数大小相等.

（206-1-2-3）÷

4=50,50+1=51,51+1=52,52+1=53.

四个数为50,51,52,53

②以最大数为基准:

前面的三个数分别比第一个数小1,2,3.因此,只要把总和增加1+2+3=6,四个数就大小相等了.

（206+1+2+3）÷

4=53,53-1=52,53-2=51,53-3=50

四个数为50,51,52,53

③以中间数为基准:

中间两个数的和是:

206÷

2=103

两数相差1,属于“和差问题”,较大数为:

（103+1）÷

2=52,较小数为:

（103-1）÷

2=51.则其余两个数为:

52+1=63,51-1=50

5个连续自然数之和为105,求这5个数各是多少.

一本书共有246页,求从第一页到最后一页,编这本书的页码一共用了多少个数字?

本题体现了分类思想,.要做到有条不紊,必须合理分类.

①1-9页,9个数,9个数字

②10-99页,90个数,共有90×

2=180（个）数字

③100-246页,共147个数,共有147×

3=441（个）数字

④一共用了多少个数字?

9+180+441=630（个）数字

一共用了630个数字.

第六讲

就大家提出的问题讲解一至两个:

二.容斥（重叠）问题

例1.某班40名同学参加书法或绘画活动.参加书法的有30人,参加绘画的有15人.两种都参加的有多少人?

本题是关于重叠的内容.获得基本解题模式是关键.其基本模式是A+B-C=不重复总数.

①画图（略）,用序号标清数量

②解答:

30+15-40=5（人）也可以借助图形分类计算（略）

五年级有200名学生参加语文、数学考试,每人至少有一门优秀.其中

语文优秀的有110人,数学优秀的150人.语文和数学都优秀的有多少

人?

某小学选出10人参加区级作文和书法比赛.结果人人获奖.其中3人两项比赛都获奖,作文比赛6人获奖,书法比赛几人获奖?

本题是例1的变式题.处理方法基本相同.作文获奖人数+书法获奖人数-都获奖人数=10人

①10+3-6=7（人）

②想一想:

下面的算式有什么道理?

10-6+3=7（人）

10-（6-3）=7（人）

一个班有50人,他们分别订了《数学大世界》和《中国少年报》,其

中订阅《数学大世界》的有30人,两种都订阅的有12人,订阅《中国

少年报》的有多少人?

某班56人,参加语文竞赛的有28人,参加绘画比赛的有27人,

两项都没有参加的有25人.那么同时参加比赛的有多少人?

本题增加了不参加比赛的人.既然没参加,那就从总人数里去掉这些人,剩下的就是至少参加一项的人了.

①参加比赛的有多少人?

56-25=31（人）

②两项都参加的有多少人?

28+27-31=24（人）

③下面的算式有什么道理?

28-（56-25-27）=24（人）

27-（56-25-28）=24（人）

同时参加比赛的有24人.

1.一个旅行社有36人,其中会英语的有24人,会法语的有18人,两样

都不会的有4人.两样都会的有多少人?

2.四年级参加合唱队的有40人,参加舞蹈队的有20人,两项都参加的

有14人,两项都没有参加的有10人,这个年级有多少人?

例4.光明小学举办书法展览.各个年级均有展品,其中24幅不是五年级的,有22幅不是六年级的,五六年级的参展作品共有10幅,其他年级参展的作品一共有多少幅?

简析

这是一道需要简单推理的学习内容.数量关系比较复杂,应该列举:

其他年级作品数+六年级作品数=24（幅）

其他年级作品数+五年级作品数=22（幅）

五年级作品数+六年级作品数=10（幅）

其它年级作品数（22+24-10）÷

2=18（幅）

其他年级参展的作品一共有18幅.

下面的解法有什么道理?

①（24+10+22）÷

2-10=18（幅）

②24-（24-22+10）÷

2=18（幅）

③22-[10-（24-22）]÷

注意:

“和差问题”没学好的同学抓紧复习公式.

第七讲

数平行四边形个数

本题属于技巧性学习内容.基本方法是一个个地数,这过于繁琐,而且容易重复与遗漏.其次是按照“一个一个地数,两个两个地数,…”,根据个数分类数,仍然费时费力.因此有必要简化,用数学的方法解决问题.本教材使用“横加×

竖加”的方法计算个数,快捷简便.

配套练习

求长方形个数.

一个梯形的上底长度是下底的3倍,如果将梯形的下底延长6厘米,这个梯形就变成了-平行四边形.这个梯形的上下底各是多少厘米?

本题属于与操作相关的学习内容.重点通过画图观察,找到解题突破口.是差倍问题的具体应用.

①画图

6÷

（3-1）=3（厘米）…….下底长度上底长度:

3×

3=9（厘米）

梯形的上底长度是下底的4倍.如果下底延长12厘米,就变成了平行四边形.则上底长度是多少?

二.假定法解题

今有鸡、兔共居一笼,已知鸡头和兔头共35个,鸡脚和兔脚共94只.鸡和兔各有多少只?

本题属于中国古代“鸡兔同笼”问题.有画图法,列表法,假定法等多种解题方法.用假定法解题需要把两个量看成同一个量,根据总量和单一量的变化求解.

①qq上流传的方法:

假定鸡和兔一起跳舞,第一节:

拎起一只脚,大家都做到,这时还有94-35=59只脚,第二节:

大家表现都不错,欢迎再拎一只脚,这时还有59-35=24只脚.只是鸡儿耐不住,扑通扑通全跌倒（偷笑:

鸡儿早已没有脚,只能屁股着地冷汗冒）.这时出来数一遍,一双脚来一只兔,数来数去不混淆.一个字:

妙!

②假定法:

假定全是兔:

共有几只脚?

35=140（只）

多算几只脚?

140-94=46（只）

每只鸡多算几只脚?

4-2=2（只）

有几只鸡?

46÷

2=23（只）

兔有几只?

35-23=12（只）

答:

鸡有23只,兔有12只.

假定全是鸡呢?

兔妈妈采蘑菇,晴天每天采32个,雨天每天采22个.兔妈妈一共采了390个,平均每天采26个,这些天有几天下雨?

本题是鸡兔同笼问题的变式.可以先求出采蘑菇的天数.然后合理假定.

①一共采了几天?

390÷

26=15（天）

②假定全是晴天

一共采大多少个?

32×

15=480（个）

多采多少个?

480-390=90（个）

每个雨天多采了多少个?

32-22=10（个）

雨天一共有多少天?

90÷

10=9（天）

③假定全是雨天呢?

这些天有9天下雨.

将问题改为“这些天有几天是晴天?

”

用两种方法解答.

某次数学竞赛一共有10题.答对一题得10分,答错一题或不答倒扣5分.小明参赛得分为70分.他做对了多少题?

本题的难点在于:

如何计算答对一题与答错一题的分数差异.可以借助线段图帮助理解.

①假定全答对:

10×

10=100（分）

100-70=30（分）

10+5=15（分）………难点所在

30÷

15=2（题）

10-2=8（题）

②假定全做错:

一个倒扣多少分?

10=50（分）

总共相差多少分?

70+50=120（分）………注意:

是加不是减,可以画图（略）

每道对题少算多少分?

10+5=15（分）

做对几题?

15=8（题）

他做对了8题.

第八讲

只能向下和向右,从A走到B,

一共有几种不同走法?

本题属于“找规律”的内容.一般采用色笔标注

的方法进行,但过于繁琐,有时无法进行.因此必须采用

科学的方法甲乙解决.

用对角标注数字的方法:

一共6种走法.

一共有6种不同走法.