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00w4L’4cosθ4-w1sinθ1
00w4L’4sinθ4-w1cosθ1
w2w1L1cosθ1
w3w1L1sinθ1
w4+w1w1L’1cosθ1+vsinθ1
L’1w1L’1sinθ1+vcosθ1
acx=w12L1cosθ1-w22L2cosθ2-a2L2sinθ2
acy=w12L1sinθ1-w22L2sinθ2+a2L2cosθ2
注意到,关于位置的四个方程组成的方程组是关于三角函数的非线性超越方程。
这里用牛顿——辛普森方法来求解。
第一步对位置方程进行求解:
用SolidWorks建模对机构中AF杆的极限位置进行分析,如图:
得出AF杆的运动范围是-57.91°
~59°
根据位置方程式编制如下rrrposi.m函数:
functiony=rrrposi(x)
%
%scriptusedtoimplementNewton-Raphsonmechodfor
%solvingnonlinearpositionofRRRbargroup
%Inputparameters
%x
(1)=theta-1
%x
(2)=theta-2guessvalue
%x(3)=theta-3guessvalue
%x(4)=theta-4guessvalue
%x(5)=l1
%x(6)=l2
%x(7)=l3
%x(8)=l4
%x(9)=l6
%x(10)=lAguessvalue
%x(11)=lB
%Outputparameters
%y
(1)=lA
%y
(2)=theta-2
%y(3)=theta-3
%y(4)=theta-4
theta2=x
(2);
theta3=x(3);
theta4=x(4);
lA=x(10)
epsilon=1.0E-6;
f=[x(6)*cos(theta2)-x(7)*cos(theta3)-x(8)*cos(pi+theta4)+x(5)...
*cos(x
(1)+pi)-x(9);
x(6)*sin(theta2)-x(7)*sin(theta3)-x(8)*sin(theta4+pi)+...
x(5)*sin(x
(1)+pi);
-x(11)*cos(theta4)+lA*cos(x
(1))-x(9);
-x(11)*sin(theta4)+lA*sin(x
(1))];
whilenorm(f)>
epsilon
J=[0-x(6)*sin(theta2)x(7)*sin(theta3)-x(8)*sin(theta4);
0x(6)*cos(theta2)-x(7)*cos(theta3)x(8)*cos(theta4);
cos(x
(1))00x(11)*sin(theta4);
sin(x
(1))00-x(11)*cos(theta4)];
dth=inv(J)*(-1.0*f);
lA=lA+dth
(1);
theta2=theta2+dth
(2);
theta3=theta3+dth(3);
theta4=theta4+dth(4);
f=[x(6)*cos(theta2)-x(7)*cos(theta3)-x(8)*cos(pi+theta4)+x(5)...
norm(f);
end;
y
(1)=lA;
y
(2)=theta2;
y(3)=theta3;
y(4)=theta4;
再进行数据输入,运行程序进行运算。
这里我们根据上面分析的θ1的极限位置取θ1的范围为40°
~55°
并均分成15个元素:
clc
clear
x1=linspace(40*pi/180,55*pi/180,15);
x=zeros(length(x1),11);
forn=1:
15
x(n,:
)=[x1(:
n)pi/68*pi/92*pi/340507535707560];
end
p=zeros(length(x1),4);
fork=1:
y=rrrposi(x(k,:
));
p(k,:
)=y;
>
p
p=
93.31490.71632.54551.5461
91.30710.70452.56171.5902
89.23870.69292.57861.6347
87.10760.68152.59631.6796
84.91130.67032.61471.7250
82.64630.65922.63391.7709
80.30860.64822.65391.8174
77.89310.63722.67471.8646
75.39300.62632.69651.9126
72.79980.61542.71921.9616
70.10190.60432.74312.0118
67.28330.59302.76832.0635
64.32170.58122.79502.1169
61.18350.56872.82372.1728
57.81530.55512.85492.2319
输出的P、矩阵的第二列到第四列分别是θ2、θ3、θ4的值,第一列是AF杆的长度L1’。
第二步进行速度计算:
根据速度方程式编写如下rrrvel.m函数:
functiony=rrrvel(x)
%x
(2)=theta-2
%x(3)=theta-3
%x(4)=theta-4
%x(5)=dtheta-1
%x(6)=l1
%x(7)=l2
%x(8)=l3
%x(9)=l4
%x(10)=l6
%x(11)=lA
%x(12)=lB
%Outoutparameters
%y
(1)=V
%y
(2)=dtheta-2
%y(3)=dtheta-3
%y(4)=dtheta-4
A=[-x(7)*sin(x
(2))x(8)*sin(x(3))x(9)*sin(pi+x(4))0;
x(7)*cos(x
(2))-x(8)*cos(x(3))-x(9)*cos(x(4)+pi)0;
00x(12)*sin(x(4))cos(x
(1));
00-x(12)*cos(x(4))sin(x
(1))];
B=[x(6)*sin(x
(1)+pi);
-x(6)*cos(x
(1)+pi);
x(11)*sin(x
(1));
-x(11)*cos(x
(1))]*x(5);
y=inv(A)*B;
根据第一步得到的数据进行数据输入,运行程序计算各速度值。
程序如下:
x2=[x1'
p(:
2)p(:
3)p(:
4)10*ones(15,1)40*ones(15,1)50*ones(15,1)...
75*ones(15,1)35*ones(15,1)70*ones(15,1)p(:
1)60*ones(15,1)];
q=zeros(4,15);
form=1:
y2=rrrvel(x2(m,:
q(:
m)=y2;
q
q=
1.0e+003*
Columns1through8
-0.0064-0.0062-0.0061-0.0061-0.0060-0.0059-0.0059-0.0058
0.00850.00890.00920.00960.01010.01050.01090.0114
0.02350.02370.02390.02410.02440.02470.02500.0255
-1.0578-1.0897-1.1226-1.1568-1.1926-1.2302-1.2704-1.3137
Columns9through15
-0.0058-0.0059-0.0060-0.0062-0.0065-0.0069-0.0078
0.01190.01250.01310.01390.01480.01590.0175
0.02590.02650.02720.02810.02920.03060.0327
-1.3610-1.4136-1.4734-1.5431-1.6273-1.7337-1.8767
程序运行得到q矩阵,第一行到第三行分别是a2、a3、a4的值,第四行是杆AF上滑块运动的速度,即F点的速度。
第三步进行加速度计算:
编写加速度计算函数rrra.m:
functiony=rrra(x)
%x
(1)=th1
%x
(2)=th2
%x(3)=th3
%x(4)=th4
%x(5)=dth1
%x(6)=dth2
%x(7)=dth3
%x(8)=dth4
%x(9)=r1
%x(11)=r3
%x(12)=r4
%x(13)=r6
%x(14)=lA
%x(15)=lB
%x(16)=V
%y
(1)=ddth2
%y
(2)=ddth3
%y(3)=ddth4
%y(4)=a
A=[-x(10)*sin(x
(2))x(11)*sin(x(3))-x(14)*sin(x(4))0;
x(10)*cos(x
(2))-x(11)*cos(x(3))x(14)*cos(x(4))0;
00x(15)*sin(x(4))cos(x
(1));
00-x(15)*cos(x(4))sin(x
(1))];
B=[-x(10)*x(6)*cos(x
(2))x(11)*x(7)*cos(x(3))-x(12)*x(8)*cos(x(4))0;
-x(10)*x(6)*sin(x
(2))-x(11)*x(7)*sin(x(3))-x(12)*x(8)*sin(x(4))0;
00x(15)*x(8)*cos(x(4))-x(5)*sin(x
(1));
00x(15)*x(8)*sin(x(4))x(5)*cos(x
(1))];
C=[x(6);
x(7);
x(8);
x(16)];
D=[x(9)*x(5)*cos(x
(1));
x(9)*x(5)*sin(x
(1));
x(14)*x(5)*cos(x
(1))+x(16)*sin(x
(1));
x(14)*x(5)*sin(x
(1))-x(16)*cos(x
(1))];
y=inv(A)*D-inv(A)*B*C;
根据第一步和第二步输入数据,运行程序得到各加速度的值:
x3=[x1'
4)10*ones(15,1)q(1,:
)'
q(2,:
q(3,:
...
40*ones(15,1)50*ones(15,1)75*ones(15,1)35*ones(15,1)70*ones(15,1)p(:
1)...
60*ones(15,1)q(4,:
];
f=zeros(4,15);
y3=rrra(x3(m,:
f(:
m)=y3;
f
f=
1.0e+005*
Columns1through8
-0.0038-0.0040-0.0042-0.0044-0.0047-0.0050-0.0054-0.0058
0.00600.00640.00680.00720.00770.00830.00890.0097
0.00330.00360.00390.00420.00460.00500.00560.0062
-0.3601-0.3723-0.3866-0.4033-0.4231-0.4468-0.4755-0.5107
Columns9through15
-0.0064-0.0071-0.0081-0.0094-0.0112-0.0139-0.0185
0.01060.01170.01310.01500.01760.02140.0276
0.00700.00800.00930.01100.01340.01710.0231
-0.5548-0.6111-0.6851-0.7857-0.9290-1.1462-1.5071
接下来计算C点在θ1=55°
,w1=10rad/s时的速度,加速度:
Vx=40*10*sin(55)-50*q(1,10)*sin(p(10,2));
Vy=40*10*cos(55)+50*q(1,10)*cos(p(10,2));
ax=100*40*cos(50)-q(1,10)^2*50*cos(p(10,2))-f(1,10)*50*sin(p(10,2));
ay=100*40*cos(50)-q(1,10)^2*50*cos(p(10,2))-f(1,10)*50*sin(p(10,2));
输出结果:
Vx=-230.2208;
Vy=-231.1533;
ax=2.3069e+004;
ay=2.3069e+004;
θ1
θ2
θ3
θ4
L1’
W2
W3
W4
V
a2
al
rad
mm
rad/s
mm/s
x10^3
rad/s^2
x10^3
mm/s^2
x10^5
0.6981
0.7168
0.7355
0.7542
0.7729
0.7916
0.8103
0.8290
0.8477
0.8664
0.8851
0.9038
0.9225
0.9412
0.9599
0.7163
0.7045
0.6929
0.6815
0.6703
0.6592
0.6482
0.6372
0.6263
0.6154
0.6043
0.5930
0.5812
0.5687
0.5551
2.5455
2.5617
2.5786
2.5963
2.6147
2.6339
2.6539
2.6747
2.6965
2.7192
2.7431
2.7683
2.7950
2.8237
2.8549
1.5461
1.5902
1.6347
1.6796
1.7250
1.7709
1.8174
1.8646
1.9126
1.9616
2.0118
2.0635
2.1169
2.1728
2.2319
93.3149
91.3071
89.2387
87.1076
84.9113
82.6463
80.3086
77.8931
75.3930
72.7998
70.1019
67.2833
64.3217
61.1835
57.8153
-6.3578
-6.2487
-6.1469
-6.0541
-5.9726
-5.9054
-5.8561
-5.8299
-5.8340
-5.8786
-5.9789
-6.1587
-6.4572
-6.9440
-7.7555
8.4725
8.8575
9.2469
9.6433
10.0502
10.4720
10.9145
11.3856
11.8957
12.4601
13.1005
13.8507
14.7646
15.9364
17.5470
23.5099
23.6948
23.9018
24.1350
24.3994
24.7013
25.0491
25.4538
25.9305
26.5003
27.1937
28.0569
29.1637
30.6408
32.7288
-1.0578
-1.0897
-1.1226
-1.1568
-1.1926
-1.2302
-1.2704
-1.3137
-1.3610
-1.4136
-1.4734
-1.5431
-1.6273
-1.7337
-1.8767
-0.3790
-0.3960
-0.4156
-0.4386
-0.4656
-0.4976
-0.5361
-0.5829
-0.6409
-0.7144
-0.8099
-0.9386
-1.1206
-1.3948
-1.8491
0.6037
0.6395
0.6788
0.7225
0.7715
0.8274
0.8919
0.9677
1.0587
1.1707
1.3128
1.4999
1.7586
2.1406
2.7600
0.3334
0.3590
0.3879
0.4210
0.4592
0.5038
0.5567
0.6205
0.6989
0.7976
0.9255
1.0976
1.3402
1.7052
2.3084
-0.3601
-0.3723
-0.3866
-0.4033
-0.4231
-0.4468
-0.4755
-0.5107
-0.5548
-0.6111
-0.6851
-0.7857
-0.9290
-1.1462
-1.5071
表1各构件的位置、速度和加速度
接下来输出图像:
角位置图像,程序如下
plot(x1,p(:
2),'
--'
x1,p(:
3),'
:
'
4),'
*'
title('
角位置'
);
xlabel('
\theta1/rad'
ylabel('
\theta2、\theta3、\theta4/rad'
输出图像如图:
AF长度图像,程序如下:
1))
L1'
/mm'
输出图像如下:
角速度:
plot(x1,q(1,:
),'
x1,q(2,:
x1,q(3,:
W1rad/s'
W2、W3、W4rad/S'
角速度'
F点速度:
plot(x1,q(4,:
))
Vmm/s'
F点速度'
角加速度:
plot(x1,f(1,:
x1,f(2,:
x1,f(3,:
\alpha2、\alpha3、\alpha4rad/S^2'
角加速度'
F点的加速度:
plot(x1,f(4,:
amm/s^2'
F点的加速度'
参考文献
【1】孙恒,陈作模.机械原理【M】.7版.北京:
高等教育出版社,2006
【2】XX文库
题目4-23
在下图所示的正弦机构中,已知lAB=100mm,h1=120mm,h2=80mm,W1=10rad/s(常数),滑块2和构件3的重量分别为G2=40N和G3=100N,质心S2和S3的位置如图所示,加于构件3上的生产阻力Fr=400N,构件1的重力和惯性力略去不计。
试用解析法求机构在Φ1=60°
、150°
、220°
位置时各运动副反力和需加于构件1上的平衡力偶M
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