数学中考试题汇编圆的综合题.doc
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2013中考全国100份试卷分类汇编
圆的综合题
1、(2013•温州)在△ABC中,∠C为锐角,分别以AB,AC为直径作半圆,过点B,A,C作,如图所示.若AB=4,AC=2,S1﹣S2=,则S3﹣S4的值是( )
A.
B.
C.
D.
考点:
圆的认识
分析:
首先根据AB、AC的长求得S1+S3和S2+S4的值,然后两值相减即可求得结论.
解答:
解:
∵AB=4,AC=2,
∴S1+S3=2π,S2+S4=,
∵S1﹣S2=,
∴(S1+S3)﹣(S2+S4)=(S1﹣S2)+(S3﹣S4)=π
∴S3﹣S4=π,
故选D.
点评:
本题考查了圆的认识,解题的关键是正确的表示出S1+S3和S2+S4的值.
2、(2013•孝感)下列说法正确的是( )
A.
平分弦的直径垂直于弦
B.
半圆(或直径)所对的圆周角是直角
C.
相等的圆心角所对的弧相等
D.
若两个圆有公共点,则这两个圆相交
考点:
圆与圆的位置关系;垂径定理;圆心角、弧、弦的关系;圆周角定理.
分析:
利用圆与圆的位置关系、垂径定理、圆周角定理等有关圆的知识进行判断即可
解答:
解:
A、平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,故本选项错误;
B、半圆或直径所对的圆周角是直角,故本选项正确;
C、同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,故本选项错误;
D、两圆有两个公共点,两圆相交,故本选项错误,
故选B.
点评:
本题考查了圆与圆的位置关系、垂径定理、圆周角定理等有关圆的知识,牢记这些定理是解决本题的关键.
3、(2013•温州)一块矩形木板,它的右上角有一个圆洞,现设想将它改造成火锅餐桌桌面,要求木板大小不变,且使圆洞的圆心在矩形桌面的对角线上.木工师傅想了一个巧妙的办法,他测量了PQ与圆洞的切点K到点B的距离及相关数据(单位:
cm),从点N沿折线NF﹣FM(NF∥BC,FM∥AB)切割,如图1所示.图2中的矩形EFGH是切割后的两块木板拼接成符合要求的矩形桌面示意图(不重叠,无缝隙,不记损耗),则CN,AM的长分别是 18cm、31cm .
考点:
圆的综合题
分析:
如图,延长OK交线段AB于点M′,延长PQ交BC于点G,交FN于点N′,设圆孔半径为r.在Rt△KBG中,根据勾股定理,得r=16(cm).根据题意知,圆心O在矩形EFGH的对角线上,则KN′=AB=42cm,OM′=KM′+r=CB=65cm.则根据图中相关线段间的和差关系求得CN=QG﹣QN′=44﹣26=18(cm),AM=BC﹣PD﹣KM′=130﹣50﹣49=31(cm).
解答:
解:
如图,延长OK交线段AB于点M′,延长PQ交BC于点G,交FN于点N′.
设圆孔半径为r.
在Rt△KBG中,根据勾股定理,得
BG2+KG2=BK2,即(130﹣50)2+(44+r)2=1002,
解得,r=16(cm).
根据题意知,圆心O在矩形EFGH的对角线上,则
KN′=AB=42cm,OM′=KM′+r=CB=65cm.
∴QN′=KN′﹣KQ=42﹣16=26(cm),KM′=49(cm),
∴CN=QG﹣QN′=44﹣26=18(cm),
∴AM=BC﹣PD﹣KM′=130﹣50﹣49=31(cm),
综上所述,CN,AM的长分别是18cm、31cm.
故填:
18cm、31cm.
点评:
本题以改造矩形桌面为载体,让学生在问题解决过程中,考查了矩形、直角三角形及圆等相关知识,积累了将实际问题转化为数学问题经验,渗透了图形变换思想,体现了数学思想方法在现实问题中的应用价值.
4、(2013四川宜宾)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点G,点F是CD上一点,且满足=,连接AF并延长交⊙O于点E,连接AD、DE,若CF=2,AF=3.给出下列结论:
①△ADF∽△AED;②FG=2;③tan∠E=;④S△DEF=4.
其中正确的是 ①②④ (写出所有正确结论的序号).
考点:
相似三角形的判定与性质;垂径定理;圆周角定理.
分析:
①由AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,根据垂径定理可得:
=,DG=CG,继而证得△ADF∽△AED;
②由=,CF=2,可求得DF的长,继而求得CG=DG=4,则可求得FG=2;
③由勾股定理可求得AG的长,即可求得tan∠ADF的值,继而求得tan∠E=;
④首先求得△ADF的面积,由相似三角形面积的比等于相似比,即可求得△ADE的面积,继而求得S△DEF=4.
解答:
解:
①∵AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,
∴=,DG=CG,
∴∠ADF=∠AED,
∵∠FAD=∠DAE(公共角),
∴△ADF∽△AED;
故①正确;
②∵=,CF=2,
∴FD=6,
∴CD=DF+CF=8,
∴CG=DG=4,
∴FG=CG﹣CF=2;
故②正确;
③∵AF=3,FG=2,
∴AG==,
∴在Rt△AGD中,tan∠ADG==,
∴tan∠E=;
故③错误;
④∵DF=DG+FG=6,AD==,
∴S△ADF=DF•AG=×6×=3,
∵△ADF∽△AED,
∴=()2,
∴=,
∴S△AED=7,
∴S△DEF=S△AED﹣S△ADF=4;
故④正确.
故答案为:
①②④.
点评:
此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角函数等知识.此题综合性较强,难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.
5、(2013年武汉)如图,在平面直角坐标系中,△ABC是⊙O的内接三角形,AB=AC,点P是的中点,连接PA,PB,PC.
(1)如图①,若∠BPC=60°,求证:
;
(2)如图②,若,求的值.
解析:
(1)证明:
∵弧BC=弧BC,∴∠BAC=∠BPC=60°.
又∵AB=AC,∴△ABC为等边三角形
∴∠ACB=60°,∵点P是弧AB的中点,∴∠ACP=30°,
又∠APC=∠ABC=60°,∴AC=AP.
(2)解:
连接AO并延长交PC于F,过点E作EG⊥AC于G,连接OC.
∵AB=AC,∴AF⊥BC,BF=CF.
∵点P是弧AB中点,∴∠ACP=∠PCB,∴EG=EF.
∵∠BPC=∠FOC,
∴sin∠FOC=sin∠BPC=.
设FC=24a,则OC=OA=25a,
∴OF=7a,AF=32a.
在Rt△AFC中,AC2=AF2+FC2,∴AC=40a.
在Rt△AGE和Rt△AFC中,sin∠FAC=,
∴,∴EG=12a.
∴tan∠PAB=tan∠PCB=.
6、(2013•常州)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(6,0),点B(0,6),动点C在以半径为3的⊙O上,连接OC,过O点作OD⊥OC,OD与⊙O相交于点D(其中点C、O、D按逆时针方向排列),连接AB.
(1)当OC∥AB时,∠BOC的度数为 45°或135° ;
(2)连接AC,BC,当点C在⊙O上运动到什么位置时,△ABC的面积最大?
并求出△ABC的面积的最大值.
(3)连接AD,当OC∥AD时,
①求出点C的坐标;②直线BC是否为⊙O的切线?
请作出判断,并说明理由.
考点:
圆的综合题.3718684
专题:
综合题.
分析:
(1)根据点A和点B坐标易得△OAB为等腰直角三角形,则∠OBA=45°,由于OC∥AB,所以当C点在y轴左侧时,有∠BOC=∠OBA=45°;当C点在y轴右侧时,有∠BOC=180°﹣∠OBA=135°;
(2)由△OAB为等腰直角三角形得AB=OA=6,根据三角形面积公式得到当点C到AB的距离最大时,△ABC的面积最大,过O点作OE⊥AB于E,OE的反向延长线交⊙O于C,
此时C点到AB的距离的最大值为CE的长然后利用等腰直角三角形的性质计算出OE,然后计算△ABC的面积;
(3)①过C点作CF⊥x轴于F,易证Rt△OCF∽Rt△AOD,则=,即=,解得CF=,再利用勾股定理计算出OF=,则可得到C点坐标;
②由于OC=3,OF=,所以∠COF=30°,则可得到∴BOC=60°,∠AOD=60°,然后根据“SAS”判断△BOC≌△AOD,所以∠BCO=∠ADC=90°,再根据切线的判定定理可确定
直线BC为⊙O的切线.
解答:
解:
(1)∵点A(6,0),点B(0,6),
∴OA=OB=6,
∴△OAB为等腰直角三角形,
∴∠OBA=45°,
∵OC∥AB,
∴当C点在y轴左侧时,∠BOC=∠OBA=45°;当C点在y轴右侧时,∠BOC=180°﹣∠OBA=135°;
(2)∵△OAB为等腰直角三角形,
∴AB=OA=6,
∴当点C到AB的距离最大时,△ABC的面积最大,
过O点作OE⊥AB于E,OE的反向延长线交⊙O于C,如图,此时C点到AB的距离的最大值为CE的长,
∵△OAB为等腰直角三角形,
∴AB=OA=6,
∴OE=AB=3,
∴CE=OC+CE=3+3,△ABC的面积=CE•AB=×(3+3)×6=9+18.
∴当点C在⊙O上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时,△ABC的面积最大,最大值为9+18.
(3)①如图,过C点作CF⊥x轴于F,
∵OC∥AD,
∴∠ADO=∠COD=90°,
∴∠DOA+∠DAO=90°
而∠DOA+∠COF=90°,
∴∠COF=∠DAO,
∴Rt△OCF∽Rt△AOD,
∴=,即=,解得CF=,
在Rt△OCF中,OF==,
∴C点坐标为(﹣,);
②直线BC是⊙O的切线.理由如下:
在Rt△OCF中,OC=3,OF=,
∴∠COF=30°,
∴∠OAD=30°,
∴∠BOC=60°,∠AOD=60°,
∵在△BOC和△AOD中
,
∴△BOC≌△AOD(SAS),
∴∠BCO=∠ADC=90°,
∴OC⊥BC,
∴直线BC为⊙O的切线.
点评:
本题考查了圆的综合题:
掌握切线的判定定理、平行线的性质和等腰直角三角形的判定与性质;熟练运用勾股定理和相似比进行几何计算.
7、(2013•宜昌)半径为2cm的与⊙O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧,⊙O与l相切于点F,DC在l上.
(1)过点B作的一条切线BE,E为切点.
①填空:
如图1,当点A在⊙O上时,∠EBA的度数是 30° ;
②如图2,当E,A,D三点在同一直线上时,求线段OA的长;
(2)以正方形ABCD的边AD与OF重合的位置为初始位置,向左移动正方形(图3),至边BC与OF重合时结束移动,M,N分别是边BC,AD与⊙O的公共点,求扇形MON的面积的范围.
考点:
圆的综合题.
分析:
(1)①根据切线的性质以及直角三角形的性质得出∠EBA的度数即可;
②利用切线的性质以及矩形的性质和相似三角形的判定和性质得出=,进而求出OA即可;
(2)设∠MON=n°,得出S扇形MON=×22=n进而利用函数增减性分析①当N,M,A分别与D,B,O重合时,MN最大,②当MN=DC=2时,MN最小,分别求出即可.
解答:
解:
(1)①∵半径为2cm的与⊙O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧,当点A在⊙O上时,过点B作的一条切线BE,E为切点,
∴OB=4,EO=2,∠OEB=90°,
∴∠EBA的度数是:
30°;
②如图2,
∵直线l与⊙O相切于点F,
∴∠OFD=90°,
∵正方形ADCB中,∠ADC=90°,
∴OF∥AD,
∵OF=AD=2,
∴四边形OFDA为平行四边形,
∵
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