指数函数习题精选精讲.doc
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习题精选精讲
指数函数
指数函数是高中数学中的一个基本初等函数,有关指数函数的图象与性质的题目类型较多,同时也是学习后续数学内容的基础和高考考查的重点,本文对此部分题目类型作了初步总结,与大家共同探讨.
1.比较大小
例1 已知函数满足,且,则与的大小关系是_____.
分析:
先求的值再比较大小,要注意的取值是否在同一单调区间内.
解:
∵,
∴函数的对称轴是.
故,又,∴.
∴函数在上递减,在上递增.
若,则,∴;
若,则,∴.
综上可得,即.
评注:
①比较大小的常用方法有:
作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等.②对于含有参数的大小比较问题,有时需要对参数进行讨论.
2.求解有关指数不等式
例2 已知,则x的取值范围是___________.
分析:
利用指数函数的单调性求解,注意底数的取值范围.
解:
∵,
∴函数在上是增函数,
∴,解得.∴x的取值范围是.
评注:
利用指数函数的单调性解不等式,需将不等式两边都凑成底数相同的指数式,并判断底数与1的大小,对于含有参数的要注意对参数进行讨论.
3.求定义域及值域问题
例3 求函数的定义域和值域.
解:
由题意可得,即,
∴,故.∴函数的定义域是.
令,则,
又∵,∴.∴,即.
∴,即.
∴函数的值域是.
评注:
利用指数函数的单调性求值域时,要注意定义域对它的影响.
4.最值问题
例4 函数在区间上有最大值14,则a的值是_______.
分析:
令可将问题转化成二次函数的最值问题,需注意换元后的取值范围.
解:
令,则,函数可化为,其对称轴为.
∴当时,∵,
∴,即.
∴当时,.
解得或(舍去);
当时,∵,
∴,即,
∴时,,
解得或(舍去),∴a的值是3或.
评注:
利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用,比如:
换元法,整体代入等.
5.解指数方程
例5 解方程.
解:
原方程可化为,令,上述方程可化为,解得或(舍去),∴,∴,经检验原方程的解是.
评注:
解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解,要注意验根.
6.图象变换及应用问题
例6 为了得到函数的图象,可以把函数的图象( ).
A.向左平移9个单位长度,再向上平移5个单位长度
B.向右平移9个单位长度,再向下平移5个单位长度
C.向左平移2个单位长度,再向上平移5个单位长度
D.向右平移2个单位长度,再向下平移5个单位长度
分析:
注意先将函数转化为,再利用图象的平移规律进行判断.
解:
∵,∴把函数的图象向左平移2个单位长度,再向上平移5个单位长度,可得到函数的图象,故选(C).
评注:
用函数图象解决问题是中学数学的重要方法,利用其直观性实现数形结合解题,所以要熟悉基本函数的图象,并掌握图象的变化规律,比如:
平移、伸缩、对称等.
习题
1、比较下列各组数的大小:
(1)若,比较与;
(2)若,比较与;
(3)若,比较与;
(4)若,且,比较a与b;
(5)若,且,比较a与b.
解:
(1)由,故,此时函数为减函数.由,故.
(2)由,故.又,故.从而.
(3)由,因,故.又,故.从而.
(4)应有.因若,则.又,故,这样.又因,故.从而,这与已知矛盾.
(5)应有.因若,则.又,故,这样有.又因,且,故.从而,这与已知矛盾.
小结:
比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解.
2曲线分别是指数函数,和的图象,则与1的大小关系是( ).
(
分析:
首先可以根据指数函数单调性,确定,在轴右侧令,对应的函数值由小到大依次为,故应选.
小结:
这种类型题目是比较典型的数形结合的题目,第
(1)题是由数到形的转化,第
(2)题则是由图到数的翻译,它的主要目的是提高学生识图,用图的意识.
求最值
3求下列函数的定义域与值域.
(1)y=2;
(2)y=4x+2x+1+1.
解:
(1)∵x-3≠0,∴y=2的定义域为{x|x∈R且x≠3}.又∵≠0,∴2≠1,
∴y=2的值域为{y|y>0且y≠1}.
(2)y=4x+2x+1+1的定义域为R.∵2x>0,∴y=4x+2x+1+1=(2x)2+2·2x+1=(2x+1)2>1.
∴y=4x+2x+1+1的值域为{y|y>1}.
4已知-1≤x≤2,求函数f(x)=3+2·3x+1-9x的最大值和最小值
解:
设t=3x,因为-1≤x≤2,所以,且f(x)=g(t)=-(t-3)2+12,故当t=3即x=1时,f(x)取最大值12,当t=9即x=2时f(x)取最小值-24。
5、设,求函数的最大值和最小值.
分析:
注意到,设,则原来的函数成为,利用闭区间上二次函数的值域的求法,可求得函数的最值.
解:
设,由知,
,函数成为,,对称轴,故函数最小值为,因端点较距对称轴远,故函数的最大值为.
6(9分)已知函数在区间[-1,1]上的最大值是14,求a的值.
.解:
,换元为,对称轴为.
当,,即x=1时取最大值,略
解得a=3(a=-5舍去)
7.已知函数(且)
(1)求的最小值;
(2)若,求的取值范围.
.解:
(1),当即时,有最小值为
(2),解得
当时,;
当时,.
8(10分)
(1)已知是奇函数,求常数m的值;
(2)画出函数的图象,并利用图象回答:
k为何值时,方程|3X-1|=k无
解?
有一解?
有两解?
解:
(1)常数m=1
(2)当k<0时,直线y=k与函数的图象无交点,即方程无解;
当k=0或k1时,直线y=k与函数的图象有唯一的交点,所以方程有一解;
当0 9.若函数是奇函数,求的值. .解: 为奇函数,, 即, 则, 10.已知9x-10.3x+9≤0,求函数y=()x-1-4·()x+2的最大值和最小值 解: 由已知得(3x)2-10·3x+9≤0得(3x-9)(3x-1)≤0 ∴1≤3x≤9故0≤x≤2 而y=()x-1-4·()x+2=4·()2x-4·()x+2 令t=()x() 则y=f(t)=4t2-4t+2=4(t-)2+1 当t=即x=1时,ymin=1 当t=1即x=0时,ymax=2 11.已知,求函数的值域. 解: 由得,即,解之得,于是,即,故所求函数的值域为 12.(9分)求函数的定义域,值域和单调区间 定义域为R值域(0,8〕。 (3)在(-∞,1〕上是增函数 在〔1,+∞)上是减函数。 13求函数y=的单调区间. 分析这是复合函数求单调区间的问题 可设y=,u=x2-3x+2,其中y=为减函数 ∴u=x2-3x+2的减区间就是原函数的增区间(即减减→增) u=x2-3x+2的增区间就是原函数的减区间(即减、增→减) 解: 设y=,u=x2-3x+2,y关于u递减, 当x∈(-∞,)时,u为减函数, ∴y关于x为增函数;当x∈[,+∞)时,u为增函数,y关于x为减函数. 14已知函数f(x)=(a>0且a≠1). (1)求f(x)的定义域和值域; (2)讨论f(x)的奇偶性;(3)讨论f(x)的单调性. 解: (1)易得f(x)的定义域为{x|x∈R}. 设y=,解得ax=-①∵ax>0当且仅当->0时,方程①有解.解->0得-1 ∴f(x)的值域为{y|-1<y<1. (2)∵f(-x)===-f(x)且定义域为R,∴f(x)是奇函数. (3)f(x)==1-. 1°当a>1时,∵ax+1为增函数,且ax+1>0.
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