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复变函数的极限-定义1.10 设,为的聚点。
若存在一复数,使,,只要,就有
则称沿于有极限,并记为。
连续函数-定义1.11 设子点集上有定义,为的聚点,且。
若
即对任给的,,只要,,就有
则称沿于连续。
复球面 复平面加上点后称为扩充复平面,与它对应的就是整个球面,称为复球面。
无穷远点 考虑平面上一个以原点为心的圆周,在球面上对应的也是一个圆周。
当圆周的半径越大时,圆周就越趋北极。
北极可以看成是与平面上的一个模为无穷大的假想点相对应,这个假想点称为无穷远点,并记为。
主要定理
约当定理-定理1.1 任一简单闭曲线将平面唯一地划分成三个点集且满足
(1)彼此不交
(2)是一个有界区域(称为的部)
(3)是一个无界区域(称为的外部)
(4)若简单折线的两个端点分属,则必与有交点。
极限的计算定理-定理1.2 设函数于点集上有定义,,则
的充要条件是
连续函数定理-定理1.3 设函数于点集上有定义,,则沿在点连续的充要条件是:
二元实变函数,沿于点连续。
一致连续定理-定理1.4设函数在有界闭集上连续,则
(1)在上有界,即,使。
(2)在上有最大值与最小值。
(3)在上一致连续。
即,使对上满足的任意两点及,均有
复变函数的导数-定义2.1 设函数在点的某邻域有定义,考虑比值
若当(或)时,上面比值的极限存在,则称此极限为函数在点的导数,记为。
即
。
(2.1)
此时称在点可导。
解析函数-定义2.2 如果函数在区域可微,则称微区域的解析函数,或称在区域解析。
奇点-定义2.3 若在点不解析,但在的任一邻域总有的解析点,则称为的奇点。
复指数函数-定义2.4 对于任何复数规定复指数函数为
易知,复指数函数有下列性质:
(1)它是实指数函数的自然推广
(2)。
(3)在平面上处处解析,且。
(4)加法定理成立,即。
(5)是以为基本周期的周期函数。
(6)极限不存在。
三角函数-定义2.5 称
分别为复数的正弦函数和余弦函数。
复正弦函数和余弦函数有以下性质:
(1)它们是实函数情形的推广
(2)均处处解析,且
事实上,
同理,可证另一个。
(3)是奇函数,是偶函数;
且遵从通常的三角恒等式,如
(4)均以为周期
(5)的零点为
的零点为
(6)不再是有界函数。
正切、余切-定义2.6 称
分别为的正切、余切、正割与余割函数。
这四个函数在其分母不为零的点处解析且
双曲函数-定义2.7 规定
并分别称为的双曲正弦、双曲余弦、双曲正切、双曲余切、双曲正割及双曲余割函数。
根式函数-定义2.8 规定根式函数为幂函数的反函数。
对数函数-定义2.9 规定对数函数是指数函数的反函数。
即若
则复数称为复数的对数,记为。
可微的必要条件-定理2.1(可微的必要条件)设是定义在区域上的函数;
且在一点可微,则必有:
偏导数在点存在;
且满足柯西-黎曼条件,即
可微的充要条件-定理2.2(可微的充要条件) 设是定义在区域上的函数。
则在一点可微的充要条件是:
(1)在点可微;
(2)在点满足柯西-黎曼条件。
此时,有:
(2.7)
复积分-定义3.1 设有向曲线:
以为起点,为终点,沿有定义,顺着从到的方向在上取分点:
把曲线分成若干个弧段(图3.1*9)。
在从到的每一弧段上任意取一点。
作成和数
其中当分点无限增多,而这些弧段长度的最大值趋于零时,如果和数的极限存在且等于,则称沿(从到)的可积,而称为沿(从到)的积分,并以记号表示
称为积分路径。
表示沿的正方向的积分,表示沿的负方向的积分。
不定积分-定义3.2 在区域,如果连续,则称合条件
的函数的一个不定积分或原函数。
复围线-定义3.3 考虑条围线其中中每一条都在其余各条的外部,而它们又全都在的部。
在的部同时又在外部的点集构成一个有界的多连通区域,以为它的边界。
在这种情况下,我们称区域的边界是一条复围线,它包括取正方向的,以及取负方向的换句话说,假如观察者沿复围线的正方向绕行时,区域的点总在它的左手边(图3.10是的情形)。
调和函数-定义3.5 如果二元实函数在区域有二阶连续偏导数,且满足拉普拉斯方程,则称为区域的调和函数。
共轭调和函数-定义3.6 在区域满足条件
,
的两个调和函数中,称为在区域的共轭调和函数。
(虚部是实部)
主要定理
积分估值定理-定理3.2(积分估值) 若沿曲线,连续,且有正数使,为之长,则
证 由不等式
取极限即得证。
柯西积分定理-定理3.3 设在平面上的单连通区域解析,为任一条围线,则
要证明这个定理是比较困难的。
牛顿-莱布尼兹公式-定理3.8 在定理3.6或定理3.7的条件下,如果是在单连通区域的任意一个原函数,则
复围线的柯西积分定理-定理3.10 设是由复围线所围成的有界多连通区域,在解析,在上连续,则
或写成(等号是加号)
,
或写成
柯西积分公式-定理3.11 设区域的边界是围线(或复围线),在解析,在上连续,
则有
(3.2)
这就是柯西积分公式。
它是解析函数的积分表达式,因而是今后我们研究解析函数的重要工具。
平均值定理-定理3.12 如果函数解析,在闭圆上连续,则
即在圆心的值等于它在圆周上的值的算术平均数。
证 设表圆周,则
或
由此 ,
根据柯西积分公式
。
无穷可微性定理-定理3.13 在定理3.11的条件下,函数在区域有各阶导数,并且有
(3.5)
解析函数的第二判据-定理3.15 函数在区域解析的充分必要条件是
(1)在连续;
(2)在满足条件。
维尔定理-定理3.16 维尔定理 有界整函数必为常数。
摩勒拉定理-定理3.17 若函数在单连通区域连续,且对的任一围线,有
,
则在解析,
解析函数的第三判据-定理3.18 在区域解析的充要条件是:
(1)在连续;
(2)对任一围线,只要及其部全含于,就有
定义
复数及级数-定义4.1对于复数项的无穷级数
, (4.1)
命(部分和)。
若复数列以有限复数为极限,即若
则称复数项无穷级数(4.1)收敛于,且称为级数(4.1)的和,写成
;
若复数列无有限极限,则称级数(4.1)为发散。
绝对收敛、条件收敛-定义4.2 若级数收敛,则原级数称为绝对收敛;
非绝对收敛的收敛级数,称为条件收敛。
复函数项级数-定义4.3 设复变函数项级数
(4.2)
的各项均在点集上有定义,且在上存在一个函数,对于上的每一个点,级数(4.2)均收敛于,则称为级数(4.2)的和函数,记为
一致收敛-定义4.4 对于级数(4.2),如果在点集上有一个函数,使对任意给定的,存在正整数,当时,对一切的均有
则称级数(4.2)在上一致收敛于。
闭一致收敛-定义4.5 设函数定义于区域,若级数(4.2)在任一有界闭集上一致收敛,则称此级数在闭一致收敛。
泰勒级数-定义4.6 定理中的级数称为在点的泰勒展式,(4.4)称为其泰勒系数。
零点-定义4.7 设在解析区域一点的值为零,则称为解析函数的零点。
复级数收敛的判据-定理4.1 设,及为实数,则复数级(4.1)收敛于的充要条件为:
实级数及分别收敛于及。
柯西收敛准则-定理4.2(柯西收敛准则) 复数级(4.1)收敛的充要条件为:
对任给,存在正整数,当且为任何正整数时
收敛的充分条件-定理4.3 复数级(4.1)收敛的一个充分条件为级数收敛。
柯西一致收敛准则-定理4.4(柯西一致收敛准则) 级数(4.2)在点集上一致收敛于某函数的充要条件是:
任给,存在正整数,使当时,对一切,均有
优级数准则-定理4.5(优级数准则) 若存在正数列,使对一切,有
而且正项级数收敛,则复函数项级数在集上绝对收敛且一致收敛。
级数连续定理-定理4.6 设级数的各项在点集上连续,且一致收敛于,则和函数
也在上连续。
逐项积分定理-定理4.7 设级数的各项在曲线上连续,并且在上一致收敛于,则沿可以逐项积分:
闭一致收敛判据-定理4.8 级数(4.2)在圆闭一致收敛的充要条件为:
对任意正数,只要,级数(4.2)在闭圆上一致收敛。
维尔斯特拉斯定理-定理4.9 设
(1)在区域解析,
(2)在闭一致收敛于函数:
则
(1)在区域解析。
(2) 。
阿贝尔(Abel)定理-定理4.10 如果幂级数(4.3)在某点收敛,则它必在圆(即以为心,圆周通过的圆)绝对收敛且闭一致收敛。
收敛半径的计算公式-定理4.12 如果幂级数的系数合于
,(达朗贝尔(D’Alembert)
或 ,(柯西)
或 ,(柯西-阿达玛)
则幂级数的收敛半径
幂级数和的解析性-定理4.13
(1)幂级数
的和函数在起收敛圆解析。
(2)在,幂级数(4.4)可以逐项求导至任意阶,即
(3)
泰勒公式-定理4.14(泰勒定理)设在区域解析,,只要含于,则在能展成幂级数
其中系数
(4.4)
且展式是唯一的。
解析函数的第四判据-定理4.15 在区域解析的充要条件为:
在任一点的邻域可展成的幂级数,即泰勒级数。
收敛圆周上的性质-定理4.16 如果幂级数的收敛半径,且
则在收敛圆周上至少有一奇点,即不可能有这样的函数存在,它在与恒等,而在上处处解析。
m级零点的判据-定理4.17 不恒为零的解析函数以为级零点的充要条件为:
其中在点的邻域解析,且。
零点的孤立性-定理4.18 如在的解析函数不恒为零,为其零点,则必有的一个邻域,使得在其中无异于的零点。
(简单说来就是:
不恒为零的解析函数的零点必是孤立的。
)
唯一性定理-定理4.20(唯一性定理) 设
(1)函数和在区域解析;
(2)有一个收敛于的点列,在其上和等值,则和在恒等。
最大模原理-定理4.23(最大模原理) 设在区域解析,则在任何点都不能达到最大值,除非在恒等于常数。
罗朗级数-定义5.1(5.2)称为在点的罗朗展式,(5.3)称为其罗朗系数,而(5.2)右边的级数则称为罗朗级数。
孤立奇点-定义5.2 若在奇点的某一去心邻域解析,则称为的一个孤立奇点。
若为的一个孤立奇点,则必存在函数,使在的去心邻域可展成罗朗级数。
可去奇点、极点、本性奇点-定义5.3 设是的孤立奇点,
(1)若主要部分为0,则称是的可去奇点。
(2)若主要部分为有限多项,则称是的极点,此时主要部分的系数必满足,,此处称为极点的级,亦称为级极点。
(3)若主要部分有无限多项,则称是的本性奇点。
无穷远点的孤立奇点性-定义5.4 设函数在无穷远点(去心)邻域解析,则称为的一个孤立奇点。
双边幂级数的解析性-定理5.1 设双边幂级数
的收敛圆环为
则
(1)(5.1)在绝对收敛且闭一致收敛于
(2)在解析
(3)级数在可逐项求导任意次。
罗朗定理-定理5.2(罗朗定理)在圆环解析的函数必可展开成双边幂函数
(5.2)
其中
(5.3)
且展式唯一。
可去奇点判据-定理5.3 设为的孤立奇点,则下述等价:
(1)在的主要部分为0;
(2)
(3)在点的某去心邻域有界。
极点判据-定理5.4 若以点为孤立奇点,则下述等价
(1)是级极点,即主要部分为
(2)在点的去心邻域有
且解析且
(3)以为级零点。
本性奇点判据-定理5.6 的孤立奇点为本性奇点的充分必要条件是
即不存在。
毕卡定理-定理5.8 若为的本性奇点,则对任意数(可以是),都有一个收敛于的点列,使
残数-定义6.1 设以为孤立奇点,即在的去心邻域解析,则称积分
为在点的残数(residue),记作
为罗朗展式中那项的系数
无穷远点的残数-定义6.2 设为的一个孤立奇点,则称
为在残数。
若在的罗朗展式为
则
柯西残数定理-定理6.1(柯西残数定理) 在围线或复围线所围的区域,除外解析,在闭域上除外连续,则
极点的残数计算-定理6.2 若为级极点,则,,则
极点的残数计算-定理6.3 若为一级极点,
则
极点的残数计算-定理6.4 若为二级极点
极点的残数计算-定理6.5 若为的一级极点,则
残数总和为零定理-定理6.6 若在扩充平面上只有有限个孤立奇点,设为,则残数总和为0
有理分式的广义积分定理-定理6.7 设为有理积分式,其中
为互质多项式,且满足:
(1)
(2)在实轴上(即无实根)
则有
上式中为的在上半平面的根。
广义积分计算定理-定理6.8 设,其中及是互质多项式,且满足
(1)的次数比高;
(2)在实轴上
(3)是
则有
辐角原理-定理6.9 设是一条围线,满足:
(1)在的部除可能有极点外是解析的。
(2)在上解析且不为零。
则有
其中与分别表示在部的零点与极点的个数(一个级零点,而一个级极点算作个极点)。
儒歇定理-定理6.10(儒歇定理)设是一条围线,函数及满足条件:
(1)它们在的部均解析,且连续到;
(2)在上,
则函数与在的部有同样多(几级算作几个)的零点,即
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- 函数 基本 定义