人教版八年级上册期末复习考点突破全等三角形的性质与判定三.docx
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人教版八年级上册期末复习考点突破全等三角形的性质与判定三
人教版八年级上册期末复习考点突破:
全等三角形的性质与判定(三)
1.已知,在△ABC中,AC=BC.分别过A,B点作互相平行的直线AM和BN.过点C的直线分别交直线AM,BN于点D,E.
(1)如图1.若CD=CE.求∠ABE的大小;
(2)如图2.∠ABC=∠DEB=60°.求证:
AD+DC=BE.
2.如图
(1),AB=4cm,AC⊥AB,BD⊥AB,AC=BD=3cm.点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动,同时,点Q在线段BD上由点B向点D运动.它们运动的时间为t(s).
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,当t=1时,△ACP与△BPQ是否全等,请说明理由,并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系;
(2)如图
(2),将图
(1)中的“AC⊥AB,BD⊥AB”为改“∠CAB=∠DBA=60°”,其他条件不变.设点Q的运动速度为xcm/s,是否存在实数x,使得△ACP与△BPQ全等?
若存在,求出相应的x、t的值;若不存在,请说明理由.
3.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线DE交AC于点E,垂足是D,F是BC上一点,EF平分∠AFC,EG⊥AF于点G.
(1)试判断EC与EG,CF与GF是否相等;(直接写出结果,不要求证明)
(2)求证:
AG=BC;
(3)若AB=10,AF+BF=12,求EG的长.
4.如图,△ABC是边长为6的等边三角形,P是AC边上一动点,由A向C运动(与A、C不重合),Q是CB延长线上一点,与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动(Q不与B重合),过P作PE⊥AB于E,连接PQ交AB于D.
(Ⅰ)若设AP=x,则PC= ,QC= ;(用含x的代数式表示)
(Ⅱ)当∠BQD=30°时,求AP的长;
(Ⅲ)在运动过程中线段ED的长是否发生变化?
如果不变,求出线段ED的长;如果变化请说明理由.
5.如图,△ABC为等腰三角形,AB=AC,AD⊥BC于点D;EF为腰AC的中垂线,且交AD于点F,连接BF.
(1)如图1,若AB=10,BC=12,求BF的长.
(2)如图2,延长BF交AC于点H连接DE,当BF、DE的延长线交于点Q时,作DN⊥BF于点M,交AB于点N,求证:
BN+DQ=AC.
6.如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=6cm,AC=8cm,过点A(与BC在AC同侧)作射线AN⊥AC,动点M从点C出发,向点A以1cm/秒的速度运动;动点P从点A出发,沿射线AN以4cm/秒的速度运动,连接PM交AB于点O.设点P的运动时间为t秒.
(1)当t=2秒时,求证:
AB⊥PM;
(2)当点P在线段AB的垂直平分线上时,求t的值.
7.如图,在△ABC中,∠BAC为钝角,边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E.
(1)若BD2+CE2=DE2,则∠BAC的度数;
(2)若∠ABC的平分线BF和边AC的垂直平分线EF相交于点F,过点F作FG垂直于BA的延长线于点G.求证:
BC﹣AB=2AG.
8.如图,平面直角坐标系中,点A、B分别在x、y轴上,点B的坐标为(0,1),∠BAO=30°.
(1)求AB的长度;
(2)以AB为一边作等边△ABE,作OA的垂直平分线MN交AB的垂线AD于点D.求证:
BD=OE;
(3)在
(2)的条件下,连接DE交AB于F.求证:
F为DE的中点.
9.问题情境:
如图①,在△ABD与△CAE中,BD=AE,∠DBA=∠EAC,AB=AC,易证:
△ABD≌△CAE.(不需要证明)
特例探究:
如图②,在等边△ABC中,点D、E分别在边BC、AB上,且BD=AE,AD与CE交于点F.求证:
△ABD≌△CAE.
归纳证明:
如图③,在等边△ABC中,点D、E分别在边CB、BA的延长线上,且BD=AE.△ABD与△CAE是否全等?
如果全等,请证明;如果不全等,请说明理由.
拓展应用:
如图④,在等腰三角形中,AB=AC,点O是AB边的垂直平分线与AC的交点,点D、E分别在OB、BA的延长线上.若BD=AE,∠BAC=50°,∠AEC=32°,求∠BAD的度数.
10.如图1,在△ABC中,AB=AC,G为三角形外一点,且△GBC为等边三角形.
(1)求证:
直线AG垂直平分BC;
(2)以AB为一边作等边△ABE(如图2),连接EG、EC,试判断△EGC是否构成直角三角形?
请说明理由.
参考答案
1.
(1)解:
如图1,延长AC交BN于点F,
∵AM∥BN,
∴∠DAF=∠AFB,
在△ADC和△FEC中,,
∴△ADC≌△FEC(AAS),
∴AC=FC,
∵AC=BC,
∴BC=AC=FC=AF,
∴△ABF是直角三角形,
∴∠ABE=90°;
(2)证明:
如图2,在EB上截取EH=EC,连CH,
∵AC=BC,∠ABC=60°,
∴△ABC为等边三角形,
∵∠DEB=60°,
∴△CHE是等边三角形,
∴∠CHE=60°,∠HCE=60°,
∴∠BHC=120°,
∵AM∥BN,
∴∠ADC+∠BEC=180°,
∴∠ADC=120°,
∴∠DAC+∠DCA=60°,
又∵∠DCA+∠ACB+∠BCH+∠HCE=180°,
∴∠DCA+∠BCH=60°,
∴∠DAC=∠BCH,
在△DAC与△HCB中,,
∴△DAC≌△HCB(AAS),
∴AD=CH,DC=BH,
又∵CH=CE=HE,
∴BE=BH+HE=DC+AD,
即AD+DC=BE.
2.解:
(1)当t=1时,AP=BQ=1,BP=AC=3,
又∠A=∠B=90°,
在△ACP和△BPQ中,
∴△ACP≌△BPQ(SAS).
∴∠ACP=∠BPQ,
∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°.
∴∠CPQ=90°,
即线段PC与线段PQ垂直.
(2)①若△ACP≌△BPQ,
则AC=BP,AP=BQ,,
解得;
②若△ACP≌△BQP,
则AC=BQ,AP=BP,
,
解得;
综上所述,存在或使得△ACP与△BPQ全等.
3.
(1)解:
EC=EG,CF=GF,
理由是:
∵∠C=90°,EG⊥AF,EF平分∠AFC,
∴CE=EG,
∵EF=EF,
∴由勾股定理得:
CF=GF.
(2)证明:
连接BE,
∵AB的垂直平分线DE,
∴AE=BE,
在Rt△AGE和Rt△BCE中,
,
∴Rt△AGE≌Rt△BCE(HL),
∴AG=BC.
(3)解:
∵AG=BC=BF+GF,
∴AG=BC=(AF+BF)=×12=6,
在Rt△ABC中,由勾股定理得:
AC===8,
设EG=EC=x,则AE=8﹣x,在Rt△AGE中,由勾股定理得:
62+x2=(8﹣x)2,
解得:
x=1,
∴EG的长是1.
4.解:
(Ⅰ)∵△ABC是边长为6的等边三角形,
∴AB=BC=AC=6,
设AP=x,则PC=6﹣x,QB=x,
∴QC=QB+BC=6+x,
故答案为:
6﹣x,6+x;
(Ⅱ)
∵在Rt△QCP中,∠BQD=30°,
∴PC=QC,即6﹣x=(6+x),解得x=2,
∴AP=2;
(Ⅲ)当点P、Q运动时,线段DE的长度不会改变.理由如下:
作QF⊥AB,交直线AB的延长线于点F,连接QE,PF,
又∵PE⊥AB于E,
∴∠DFQ=∠AEP=90°,
∵点P、Q速度相同,
∴AP=BQ,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°,
在△APE和△BQF中,
∵∠AEP=∠BFQ=90°,
∴∠APE=∠BQF,
∴在△APE和△BQF中,
,
∴△APE≌△BQF(AAS),
∴AE=BF,PE=QF且PE∥QF,
∴四边形PEQF是平行四边形,
∴DE=EF,
∵EB+AE=BE+BF=AB,
∴DE=AB,
又∵等边△ABC的边长为6,
∴DE=3,
∴当点P、Q运动时,线段DE的长度不会改变.
5.解:
(1)连接CF,如图1,
∵AB=AC,AD⊥BC,BC=12,
∴BD=CD=6,
∴BF=CF,
∵EF是AC的垂直平分线,
∴AF=CF,
∵AD=,
设BF=AF=CF=x,则DF=8﹣x,
∵BF2﹣DF2=BD2,
∴x2﹣(8﹣x)2=62,解得x=,
∴BF=;
(2)连接CF,如图2,
由
(1)知AF=BF=CF,
∴∠BAF=∠ABF,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∵AD⊥BC,E是AC的中点,
∴CE=DE,
∴∠CDE=∠ACB=∠ABC,
∴DE∥AB,
∴∠ADE=∠BAD=∠ABF=∠DQB,
∵DM⊥BQ,
∴∠DBM+∠BDM=∠BDM+∠MDF=90°,
∴∠DBM=∠MDF,
∴∠DBM+∠ABF=∠MDF+∠ADE,即∠ABD=∠MDQ,
∵AB∥DE,
∴∠BND=∠MDQ,
∴∠BND=∠DBN=∠CDQ,
∴DN=BD,∠AND=∠BDQ,
在△ADN和△QDB中,
,
∴△ADN≌△QDB(AAS),
∴AN=DQ,
∴BN+DQ=BN+AN,
即BN+DQ=AB,
∵AB=AC,
∴BN+DQ=AC.
6.
(1)证明:
当t=2秒时,CM=2cm,AP=8cm,AM=8﹣2=6cm,
∴BC=AM,AC=AP,
∵∠C=∠PAM=90°,
∴△ABC≌△PMA(SAS),
∴∠ABC=∠PMA,
∵∠C=90°,
∴∠ABC+∠BAC=90°,
∴∠PMA+∠BAC=90°,
∴∠AOM=90°,
即AB⊥PM.
(2)如图,连接BP,过点B作BD⊥AN于点D.
∴AD=BC=6cm,BD=AC=8cm,AP=4tcm,PD=(4t﹣6)cm.
当BP=AP=4t时,点P在线段AB的垂直平分线上,
在Rt△BDP中,由勾股定理,得:
BP2=BD2+PD2,
即(4t)2=82+(4t﹣6)2,解得:
t=.
7.解:
(1)如图1中,连接AD、AE.
∵边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E,
∴BD=DA,EA=EC,
∴∠DBA=∠DAB,∠EAC=∠C,设∠DBA=∠DAB=x,∠EAC=∠C=y,
∵BD2+CE2=DE2,
∴AD2+AE2=DE2,
∴∠DAE=90°,
∴2x+90°+2y=180°,
∴x+y=45°,
∴∠BAC=x+y+90°=135°.
(2)证明:
如图2中,连接AF,FC,作FM⊥CB于M,
∵BF平分∠CBA,FG⊥BA,FM⊥CB,
∴FG=FM(角平分线上的点到角的两边距离相等),
在Rt△BFG和Rt△BFM中,
∴Rt△BFG≌Rt△CFM,
∴BG=BM,
∵EF垂直平分线AC,
∴FA=FC(垂直平分线上的点到线段两端点距离相等),
∵FG=FM,∠AFD=∠DMB=90°,
在Rt△AFG和Rt△CFM中,
,
∴Rt△AFG≌Rt△CFM,
∴CM=AG,
∵BC=BM+CM,BG=AB+AG,BG=BM,CM=AG,
∴BC=AB+2AG,
∴BC﹣AB=2AG.
8.
(1)解:
∵在Rt△ABO中,∠BAO=30°,
∴AB=2BO=2;
(2)证明:
连接OD,
∵△ABE为等边三角形,
∴AB=AE,∠EAB=60°,
∵∠BAO=30°,作OA的垂直平分线MN交AB的垂线AD于点D,
∴∠DAO=60°.
∴∠EAO=∠NAB
又∵DO=DA,
∴△ADO为等边三角形.
∴DA=AO.
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