北师大版中考数学方程部分知识点总结.docx

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第二章方程（组）和不等式（组）

第一节整式方程

一、基础知识点

1、一元一次方程

（1）概念：

只含有一个（即“元”），并且未知数的为1（即“次”）的整式方程叫做一元一次方程。

（2）标准形式：

是ax+b=0（a，b为常数，x为未知数，且a≠0）。

其中ax2叫做，a叫做二次项；bx叫做；c叫做。

（3）求根公式：

x=-ba

2、一元二次方程

（1）概念：

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

（2）标准形式：

是ax²+bx+c=0（a，b，c为常数，x为未知数，且a≠0）。

（3）求根公式：

x=-b±b2-4ac2a

（4）一元二次方程有四种解法：

1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。

（5）直接开平方法适用于一次项系数为零的情况。

（6）配方法的方法一般不唯一，要具体问题具体分析，看题找到最合理的配法。

（7）公式法即用求根公式求解，公式法适用范围广，只要有解（b2-4ac≥0）的一元二次方程都可以用。

（8）因式分解法有两种情况：

一是常数项为零的情况，此时方程ax2+bx=0（a≠0），可化为x（ax+b）=0；二是方程各项系数都不为零的情况，此时方程要用十字相乘法【】将方程分解因式。

（9）一元二次方程根的判别式（△=b-4ac）判断方程的根的情况：

当时，方程有的实数根；

当时，方程有的实数根；

当时，方程实数根。

（10）韦达定理x1+x2=-ba，x1x2=ca（其中x1、x2为方程的两个实数根）

3、方程的解（根）的意义：

能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解（即能使方程等式成立的未知数的值）。

二、典型例题

1、下列方程中，是一元一次方程的是（）

（A）（B）（C）（D）

2、在①；②；③；④中，等式有_______，方程有_______．

3、已知等式，则下列等式中不一定成立的是（）

（A）（B）

（C）（D）

4、，则________.

5、解方程，去分母，得（）

（A）（B）

（C）（D）

6、两辆汽车从同一地点同时出发，沿着同一方向同速直线行驶，每车最多只能带24桶汽油，途中不能用别的油，每桶油可使一辆车前进60公里，两车都必须返回出发地点，但是可以不同时返回，两车相互可借用对方的油。

为了使其中一车尽可能地远离出发地点，另一辆车应当在离出发地点多少公里地方返回？

离出发地点最远的那辆车一共行驶了多少公里？

7、某开发商按照分期付款的形式售房，小明家购买了一套现价为12万元的新房，购房时需首付（第一年）款3万元，从第二年起，以后每年应付房款为5000元与上一年剩余欠款的利息之和。

已知剩余款的年利率为0.4%，问第几年小明家需交房款5200元？

4、某牛奶加工厂现有鲜奶9吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获利润500元，若制成酸奶销售，每吨可获利润1200元；若制成奶片销售，每吨可获利润2000元.

方案一：

尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶；

方案二：

将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成；

（1）你认为选择哪种方案获利最多，为什么？

（2）本题解出之后，你还能提出哪些问题？

若没解出，写出你存在的问题？

9、当＿＿＿时，代数式与的值互为相反数。

10、下列方程中不一定是一元二次方程的是（）

A.（a-3）x2=8（a≠3）B.ax2+bx+c=0

C.（x+3）（x-2）=x+5D.

11、关于的一元二次方程的一个根是0，则值为（）

A、B、C、或D、12

12、已知关于x的方程有两个相等的正实数根，则k的值是（）

A. B. C.2或 D.

13、对于任意实数m，关于x的方程一定（）

A.有两个正的实数根B.有两个负的实数根

C.有一个正实数根、一个负实数根D.没有实数根

14、用______法解方程3（x-2）2=2x-4比较简便.

15、已知是方程的两个根，则1x1+1x2等于__________.

16、关于的二次方程有两个相等实根，则符合条件的一组的实数值可以是，.

17、如图所示，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，（互相垂直），把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的面积为570m2，道路应为多宽？

18.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。

求：

（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？

（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？

19、用适当的方法解下列一元二次方程

（1）

（2）（3）

（4）（5）（6）

（7）（8）（9）

20、已知关于x的一元二次方程

求证：

对于任意非零实数a，该方程恒有两个异号的实数根；

第二节分式方程

一、基础知识点

1、分式方程的概念：

里含有未知数的方程叫做分式方程。

2、分式方程的解法：

①去分母（方程两边同时乘以，将分式方程化为整式方程）;按解整式方程的步骤求出未知数的值；③验根（求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根）。

3、增根：

把分式方程化为整式方程后解得的的根全部代入最简公分母，如果最简公分母等于，这个根就是增根。

4、若解出的根都是增根，则原方程无解。

二、典型例题

1、下列方程是分式方程的是（　　）

（A） （B）（C） （D）

2、对于分式方程,有以下说法:

①最简公分母为（x－3）2；②转化为整式方程x＝2＋3，解得x＝5；③原方程的解为x＝3；④原方程无解，其中，正确说法的个数为（）

A．4B．3C．2D．1

3、用换元法把方程化为关于的方程，那么下列换元正确的是（　　）

（Ａ）．（Ｂ）．（Ｃ）．（Ｄ）．

4、若关于的分式方程的增根，那么增根是　　　，这时　　　　　．

5、=　　　　时，关于的方程会产生增根．

6、解方程

（1）

（2）

（3）（4）

7、近几年高速公路建设有较大的发展，有力地促进了经济建设．欲修建的某高速公路要招标．现有甲、乙两个工程队，若甲、乙两队合作，24天可以完成，费用为120万元；若甲单独做20天后剩下的工程由乙做，还需40天才能完成，这样所需费用110万元，问：

（1）甲、乙两队单独完成此项工程，各需多少天？

（2）甲、乙两队单独完成此项工程，各需多少万元？

8、某房地产开发公司原计划建商业场所50000m，住宅100000m，由于销售市场发生变化，就将一部分商业场所改建为住宅销售，使两部分面积之比为．那么该公司将多少面积的商业场所改建为住宅销售？

请分析题中的等量关系，并列出符合题意的方程．

9、为了过一个有意义的“六、一”儿童节，实验小学发起了向某希望小学捐赠图书的活动．在活动中，五年级一班捐赠图书100册，五年级二班捐赠图书180册，二班的人数是一班人数的1.2倍，二班平均每人比一班多捐1本书，求两个班各有多少名同学？

第三节二元一次方程（组）

一、基础知识点

1、二元一次方程：

一个方程含有未知数，并且未知数的指数都是的整式方程，叫二元一次方程。

2、二元一次方程组定义：

共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。

3、二元一次方程的解：

适合一个二元一次方程的未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。

4、二元一次方程组的解：

二元一次方程组中方程的，叫做这个二元一次方程组的解。

5、解方程组的基本思想是，常用方法是代入消元和加减消元。

6、一般来说，一个二元一次方程有无数个解，而二元一次方程组的解有以下三种情况：

（1）有唯一解；

（2）无解；（3）有无穷解。

7、二元一次方程与一次函数的关系：

以二元一次方程的解为坐标的点都在相应一次函数图像上；一次函数图像上的点都满足相应的二元一次方程。

（自己想想两个一次函数图像交点与二元一次方程组的关系）

二、典型例题

1、下列不是二元一次方程组的是（）

A．B．

C．D．

2、由，可以得到用表示的式子是（）

A．B．

C．D．

3、在等式中，当时，，当时，，则这个等式是（）.

（A）（B）（C）（D）

4、若同时满足方程和方程，则·_________.

5、已知方程组与的解相同，那么_______.

6、若一个二元一次方程的一个解为，则这个方程可以是：

　　　　　　　　　　　　　（只要求写出一个）

7、福建欣欣电子有限公司向工商银行申请了甲、乙两种贷款，共计68万元，每年需付出利息8.42万元．甲种贷款每年的利率是12％，乙种贷款每年的利率是13％，求这两种贷款的数额各是多少？

8、上杭教育服装厂要生产一批某种型号的学生服装，已知3米长的布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用600米长的这种布料生产，应分别用多少布料生产上衣和裤子才能恰好配套？

共能生产多少套？

9、如图，8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是多少？

10、已知某电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其价格分别为A型每台6000元，B型每台4000元，C型每台2500元.我市东坡中学计划将100500元钱全部用于从该公司购进其中两种不同型号的电脑共36台，请你设计出几种不同的购买方案供该校选择，并说明理由.

第四节不等式（组）

一、基础知识点

1、能使不等式成立的未知数的叫做不等式的解的集合，简称解集。

2、不等式及其基本性质

（1）若a>b，则a±cb±c；

（2）若a>b，c>0，则acbc，acbc；

（3）若a>b，c<0，则acbc，acbc；

3、解一元一次不等式和解一元一次方程有相似的步骤，但主要区别是。

4、不等式（组）的解集

（1）使不等式成立的叫做不等式的解集。

（2）不等式组的解集是指不等式组中每个不等式的解集的部分。

（3）不等式的解集在数轴上的表示

x>a：

；x

；