第四节二项式定理Word格式.docx

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[小题纠偏]

1．（2018·

宁波质检）二项式9展开式中，x3项的系数为（　　）

A．－B.

C．－D.

选C　二项式9展开式的通项为Tr＋1＝Cx9－rr＝Crx9－2r，

令9－2r＝3，得r＝3，

所以x3项的系数为C3＝－，故选C.

2．（2019·

嘉兴高三测试）（x＋2）（x＋1）6的展开式中，x3项的系数为________；

所有项系数的和为________．

（x＋1）6的展开式的通项Tr＋1＝Cx6－r，从而含x3的项为x·

Cx2＋2Cx3＝55x3，故x3项的系数为55；

所有项的系数之和为3×

（1＋1）6＝192.

55　192

[锁定考向]

二项式定理是高中数学中的一个重要知识点，也是高考命题的热点，多以选择题、填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题．

常见的命题角度有：

（1）求展开式中的某一项；

（2）求展开式中的项的系数或二项式系数；

（3）由已知条件求n的值或参数的值．　　　　

[题点全练]

角度一：

求展开式中的某一项

1．二项式6展开式中的第4项为（　　）

A．－1280x3　　　　　　　　B．－1280

C．240D．－240

选A　6展开式中的第4项为T3＋1＝C（4x2）33＝－1280x3，选A.

浙江名校联考）（1＋x－2）（－2）5的展开式中的常数项是（　　）

A．5B．－10

C．－32D．－42

选D　（－2）5的展开式的通项Tr＋1＝C（x）5－r·

（－2）r，令＝0，得r＝5；

令＋（－2）＝0，得r＝1，所以常数项是C（－2）1＋C（－2）5＝－42.

角度二：

求展开式中的项的系数或二项式系数

3．（2019·

湖州调研）在（1－x）5＋（1－x）6＋（1－x）7＋（1－x）8的展开式中，含x3的项的系数是（　　）

A．121B．－74

C．74D．－121

选D　法一：

（1－x）5＋（1－x）6＋（1－x）7＋（1－x）8

＝＝，

（1－x）5中x4的系数为C＝5，－（1－x）9中x4的系数为－C＝－126，得－126＋5＝－121.

法二：

由题意得含x3的项的系数是－C－C－C－C＝－10－20－35－56＝－121.

4．（2018·

天津高考）在5的展开式中，x2的系数为________．

5的展开式的通项为

Tr＋1＝Cx5－r·

r·

x－＝rCx5－.

令5－＝2，解得r＝2.

故展开式中x2的系数为2C＝.

角度三：

由已知条件求n的值或参数的值

5．（2019·

浙江考前冲刺）若二项式（2x＋a）n的展开式中所有项的二项式系数和为32，x3的系数是160，则n＝________，a＝________.

∵2n＝32，∴n＝5，二项展开式的通项Tr＋1＝C（2x）5－rarx＝C25－rarx5－，当5－＝3时，r＝4，∴C×

2×

a4＝160，解得a＝±

2.

5　±

2

[通法在握]

求二项展开式中的特定项的方法

求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项Tk＋1＝Can－kbk的特点，一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解，注意k的取值范围（k＝0,1,2，…，n）．

（1）第m项：

此时k＋1＝m，直接代入通项；

（2）常数项：

即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程；

（3）有理项：

令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程．

特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解．

[演练冲关]

1．（2019·

丽水、衢州、湖州三市质检）若6的展开式中x3的系数为－12，则a＝________；

常数项是________．

由于二项展开式的通项Tr＋1＝Cx6－rr＝（－a）rCx6－3r，令6－3r＝3，则r＝1，所以（－a）C＝－6a＝－12，a＝2；

令6－3r＝0，则r＝2，所以常数项是（－2）2C＝4×

15＝60.

2　60

温州十校联考）已知（1＋x＋x2）n（n∈N*）的展开式中没有常数项，且2≤n≤8，则n＝________.

（1＋x＋x2）n的展开式中没有常数项即n中没有常数项，不含x－1，x－2项，因为n的通项公式为Tr＋1＝Cxn－4r，所以经验证得n＝5.

5

[典例引领]

1．在二项式（1－2x）n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为（　　）

A．－960　　　　　　　　　　B．960

C．1120D．1680

选C　根据题意，奇数项的二项式系数之和也应为128，所以在（1－2x）n的展开式中，二项式系数之和为256，即2n＝256，n＝8，则（1－2x）8的展开式的中间项为第5项，且T5＝C（－2）4x4＝1120x4，即展开式的中间项的系数为1120，故选C.

2．若x9＝a0＋a1（x－1）＋a2（x－1）2＋…＋a9（x－1）9，则的值为________．

令x＝2，得29＝a0＋a1＋a2＋…＋a8＋a9，

令x＝0，得0＝a0－a1＋a2－…＋a8－a9，

所以a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝28.

又x9＝[1＋（x－1）]9，其中T8＝C（x－1）7，

所以a7＝C＝36，故＝＝.

[由题悟法]

1．赋值法研究二项式的系数和问题

“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如（ax＋b）n、（ax2＋bx＋c）m（a，b∈R）的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；

对形如（ax＋by）n（a，b∈R）的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．

2．二项式系数最大项的确定方法

（1）如果n是偶数，则中间一项的二项式系数最大；

（2）如果n是奇数，则中间两项的二项式系数相等并最大．

[即时应用]

1．已知n的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则展开式中系数最大的项为（　　）

A．第5项B．第4项

C．第4项或第5项D．第5项或第6项

选A　∵n的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，∴C＝C，得n＝7.又展开式中第r＋1项的系数为Cr，当r＝4时，C（－1）r最大，∴展开式中系数最大的项为第5项．

2．设n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240，则展开式中二项式系数最大的项为__________．

依题意得，M＝4n＝（2n）2，N＝2n，

于是有（2n）2－2n＝240，（2n＋15）（2n－16）＝0，

∴2n＝16＝24，解得n＝4.

要使二项式系数C最大，只有k＝2，

故展开式中二项式系数最大的项为

T3＝C（5x）2·

（－）2＝150x3.

150x3

设a∈Z，且0≤a＜13，若512016＋a能被13整除，则a＝（　　）

A．0　　　　　　　　　　　B．1

C．11D．12

选D　由于51＝52－1，

（52－1）2016＝C522016－C522015＋…－C521＋1，

又由于13整除52，

所以只需13整除1＋a，

0≤a＜13，

a∈Z，

所以a＝12.

利用二项式定理解决整除问题的思路

（1）观察除式与被除式间的关系．

（2）将被除式拆成二项式．

（3）结合二项式定理得出结论．

求1－90C＋902C－903C＋…＋（－1）k90kC＋…＋9010C除以88的余数．

解：

∵1－90C＋902C＋…＋（－1）k90kC＋…＋9010C＝（1－90）10＝8910，∴8910＝（88＋1）10＝8810＋C889＋…＋C88＋1，∵前10项均能被88整除，∴余数是1.

一抓基础，多练小题做到眼疾手快

温州模拟）在9的展开式中，常数项是（　　）

A．C　　　　　　　　　B．－C

C．8CD．－8C

选D　9展开式的通项公式为Tr＋1＝C9－r（－2x）r＝C（－2）rx，令＝0，解得r＝3.所以常数项是－8C.

杭州名校协作体联考）（1－x）4展开式中x2的系数为（　　）

A．16B．12

C．8D．4

选C　（1－x）4展开式的通项公式为Tr＋1＝C4（－1）rxr.所以（1－x）4展开式中x2的系数为C（－1）3＋2C（－1）2＝8.

丽水模拟）若7展开式中含x的项的系数为280，则a＝（　　）

A．－2B．2

选C　该二项式展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx7－r·

r＝C（－1）ra－rx7－2r.令7－2r＝1，解得r＝3.所以－Ca－3＝280，解得a－3＝－8，所以a＝－.

4．（2019·

绿色联盟适应性考试）若（x＋1）6的展开式中常数项为60，则实数a的值是________．

6展开式的通项公式为

Tr＋1＝C6－rr＝C6－r（－a）rx6－，

令6－＝0，得r＝4；

令6－＝－1，得r＝（舍去）．

所以（x＋1）6的展开式中常数项为

C2（－a）4＝a4＝60，

解得a＝±

±

绍兴质检）若（1＋2x）5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a0＋a2＋a4＝________.

令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝35；

令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1，

所以a0＋a2＋a4＝＝121.

121

二保高考，全练题型做到高考达标

武汉调研）n的展开式中所有项系数的绝对值之和为1024，则该展开式中的常数项是（　　）

A．－270B．270

C．－90D．90

选C　在n的展开式中，令x＝1，可得n展开式的各项系数绝对值之和为4n＝22n＝1024＝210，解得n＝5，

故5展开式的通项公式为Tr＋1＝C·

35－r·

（－1）r·

x.

令＝0，得r＝3，故展开式中的常数项为－32C＝－90.

金华十校联考）在（1－x）n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn中，若2a2＋an－5＝0，则自然数n的值是（　　）

A．7B．8

C．9D．10

选B　由题意得，该二项展开式的通项Tr＋1＝C·

（－1）rxr，

∴该项的系数ar＝（－1）r·

C，

∵2a2＋an－5＝0，

∴2（－1）2C＋（－1）n－5C＝0，

即2C＋（－1）n－5·

C＝0，

∴n－5为奇数，

∴2C＝C＝C，

∴2×

＝，

∴（n－2）（n－3）（n－4）＝120，解得n＝8.

湖州五校高三模拟）已知f（x）＝（x－1）3（x－2）4＝x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a6＝（　　）

A．11B．－11

C．24D．－24

选B　由a6x6＝Cx2（－1）1·

Cx4（－2）0＋Cx3·

（－1）0·

Cx3（－2）1＝－11x6，故a6＝－11.

4．若（2x－3）5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5等于（　　）

A．32B．－1

C．10D．1

选C　在已知等式两边对x求导，得5（2x－3）4×

2＝a1＋2a2x＋3a3x2＋4a4x3＋5a5x4，令x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝5×

（2×

1－3）4×

2＝10.故选C.

杭州高级中学月考）已知函数f（x）＝－x3＋2f′

（2）x，n＝f′

（2），则二项式n的展开式中的常数项是（　　）

A．第7项B．第8项

C．第9项D．第10项

选C　根据题意，f′（x）＝－3x2＋2f′

（2），

令x＝2，得f′

（2）＝－12＋2f′

（2），所以n＝f′

（2）＝12，

则12的二项展开式为Tr＋1＝Cx12－rr＝C·

2r·

x12－r，

令12－r＝0，得r＝8，此时为展开式的第9项．

6．（2019·

杭师大附中模拟）已知（1＋2x）n展开式中只有第4项的二项式系数最大，则n＝________；

（1＋2x）n展开式中常数项为________．

因为展开式中只有第4项的二项式系数最大，即C最大，所以n＝6.（1＋2x）6展开式的通项公式为Tr＋1＝C2rxr.所以常数项为1＋C22＝61.

6　61

7．（2019·

义乌期末）若（1＋x）＋（1＋x）2＋（1＋x）3＋…＋（1＋x）n＝a0＋a1x＋…＋anxn,且a0＋a1＋a2＋…＋an＝126，则n的值为________；

a2＝________.

令x＝1，得2＋22＋23＋…＋2n＝＝2n＋1－2＝126，解得n＝6.所以a2＝C＋C＋C＋C＋C＝1＋3＋6＋10＋15＝35.

6　35

8．（2019·

湖南东部六校联考）若n的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是________．

令x＝1，得n的展开式中各项系数之和为（3－1）n＝128＝27，故n＝7.则二项式的通项Tr＋1＝C（3x）7－r·

（－x－）r＝（－1）r·

37－rCx7－，令7－r＝－3，得r＝6，故展开式中的系数是（－1）6·

37－6C＝21.

21

9．已知函数f（x）＝（1＋x）＋（1＋x）2＋（1＋x）3＋…＋（1＋x）n（n≥3）．

（1）求展开式中x2的系数；

（2）求展开式中系数之和．

（1）展开式中x2的系数为C＋C＋C＋…＋C

＝C＋C＋C＋…＋C

＝C＋C＋…＋C

＝…＝C＝＝.

（2）展开式中的系数之和为

f

（1）＝2＋22＋23＋…＋2n＝＝2n＋1－2.

10．已知n的展开式中，前三项系数成等差数列．

（1）求n；

（2）求第三项的二项式系数及项的系数；

（3）求含x项的系数．

（1）∵前三项系数1，C，C成等差数列．

∴2·

C＝1＋C，

即n2－9n＋8＝0.

∴n＝8或n＝1（舍）．

（2）由n＝8知其通项为Tr＋1＝C·

（）8－r·

r＝r·

C·

x4－r，r＝0,1，…，8.

∴第三项的二项式系数为C＝28.

第三项的系数为2·

C＝7.

（3）令4－r＝1，得r＝4，

∴含x项的系数为4·

C＝.

三上台阶，自主选做志在冲刺名校

浙江考前冲刺卷）若（x＋1）a的展开式中所有项的系数和为192，则a＝________，展开式中的常数项为________．

（x＋1）a的展开式中所有项的系数和为192，令x＝1，则×

（1＋1）a＝192，解得a＝6，因为·

（x＋1）6＝（x＋1）6＝（1＋x）6＋（1＋x）6，其中（1＋x）6的展开式中的常数项为Cx＝12，（1＋x）6的展开式中的常数项为Cx2＝15，所以（x＋1）6的展开式中的常数项为12＋15＝27.

6　27

浙江考前冲刺卷）若对任意实数x，有x5＝a0＋a1（x－3）＋a2（x－3）2＋a3（x－3）3＋a4（x－3）4＋a5（x－3）5，则a3＝________，＝________.

x5＝（x－3＋3）5的展开式的通项Tr＋1＝C5（x－3）5－r3r，令5－r＝3，则r＝2，得a3＝C×

32＝90.将x＝4代入原等式中，得45＝a0＋a1×

（4－3）＋a2×

（4－3）2＋a3×

（4－3）3＋a4×

（4－3）4＋a5×

（4－3）5，即45＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5　①，将x＝2代入原等式中，得25＝a0＋a1×

（2－3）＋a2×

（2－3）2＋a3×

（2－3）3＋a4×

（2－3）4＋a5×

（2－3）5，即25＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝（a0＋a2＋a4）－（a1＋a3＋a5）　②，由①②可得＝＝.

90　

3．已知二项式n，

（1）若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；

（2）若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．

（1）由题意可得C＋C＝2C，整理得n2－21n＋98＝0，

解得n＝7或n＝14，

当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5，

∴T4的系数为C·

4·

23＝，

T5的系数为C·

3·

24＝70.

当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8，

∴T8的系数为C·

7·

27＝3432.

（2）由题意可得C＋C＋C＝79，整理得n2＋n－156＝0.

解得n＝12或n＝－13（舍去）．

设Tk＋1项的系数最大，

∵12＝12（1＋4x）12，

∴

解得9.4≤k≤10.4，∴k＝10.

∴展开式中系数最大的项为T11，

T11＝C·

2·

210·

x10＝16896x10.