全国中考数学试题汇编与圆有关的位置关系.doc
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2018中考数学试题分类汇编:
考点29与圆有关的位置关系
一.选择题(共9小题)
1.(2018•宜宾)在△ABC中,若O为BC边的中点,则必有:
AB2+AC2=2AO2+2BO2成立.依据以上结论,解决如下问题:
如图,在矩形DEFG中,已知DE=4,EF=3,点P在以DE为直径的半圆上运动,则PF2+PG2的最小值为( )
A. B. C.34 D.10
【分析】设点M为DE的中点,点N为FG的中点,连接MN,则MN、PM的长度是定值,利用三角形的三边关系可得出NP的最小值,再利用PF2+PG2=2PN2+2FN2即可求出结论.
【解答】解:
设点M为DE的中点,点N为FG的中点,连接MN交半圆于点P,此时PN取最小值.
∵DE=4,四边形DEFG为矩形,
∴GF=DE,MN=EF,
∴MP=FN=DE=2,
∴NP=MN﹣MP=EF﹣MP=1,
∴PF2+PG2=2PN2+2FN2=2×12+2×22=10.
故选:
D.
2.(2018•泰安)如图,⊙M的半径为2,圆心M的坐标为(3,4),点P是⊙M上的任意一点,PA⊥PB,且PA、PB与x轴分别交于A、B两点,若点A、点B关于原点O对称,则AB的最小值为( )
A.3 B.4 C.6 D.8
【分析】由Rt△APB中AB=2OP知要使AB取得最小值,则PO需取得最小值,连接OM,交⊙M于点P′,当点P位于P′位置时,OP′取得最小值,据此求解可得.
【解答】解:
∵PA⊥PB,
∴∠APB=90°,
∵AO=BO,
∴AB=2PO,
若要使AB取得最小值,则PO需取得最小值,
连接OM,交⊙M于点P′,当点P位于P′位置时,OP′取得最小值,
过点M作MQ⊥x轴于点Q,
则OQ=3、MQ=4,
∴OM=5,
又∵MP′=2,
∴OP′=3,
∴AB=2OP′=6,
故选:
C.
3.(2018•滨州)已知半径为5的⊙O是△ABC的外接圆,若∠ABC=25°,则劣弧的长为( )
A. B. C. D.
【分析】根据圆周角定理和弧长公式解答即可.
【解答】解:
如图:
连接AO,CO,
∵∠ABC=25°,
∴∠AOC=50°,
∴劣弧的长=,
故选:
C.
4.(2018•自贡)如图,若△ABC内接于半径为R的⊙O,且∠A=60°,连接OB、OC,则边BC的长为( )
A. B. C. D.
【分析】延长BO交圆于D,连接CD,则∠BCD=90°,∠D=∠A=60°;又BD=2R,根据锐角三角函数的定义得BC=R.
【解答】解:
延长BO交⊙O于D,连接CD,
则∠BCD=90°,∠D=∠A=60°,
∴∠CBD=30°,
∵BD=2R,
∴DC=R,
∴BC=R,
故选:
D.
5.(2018•湘西州)已知⊙O的半径为5cm,圆心O到直线l的距离为5cm,则直线l与⊙O的位置关系为( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定
【分析】根据圆心到直线的距离5等于圆的半径5,则直线和圆相切.
【解答】解:
∵圆心到直线的距离5cm=5cm,
∴直线和圆相切.
故选:
B.
6.(2018•徐州)⊙O1和⊙O2的半径分别为5和2,O1O2=3,则⊙O1和⊙O2的位置关系是( )
A.内含 B.内切 C.相交 D.外切
【分析】根据两圆圆心距与半径之间的数量关系判断⊙O1与⊙O2的位置关系.
【解答】解:
∵⊙O1和⊙O2的半径分别为5和2,O1O2=3,
则5﹣2=3,
∴⊙O1和⊙O2内切.
故选:
B.
7.(2018•台湾)如图,两圆外切于P点,且通过P点的公切线为L,过P点作两直线,两直线与两圆的交点为A、B、C、D,其位置如图所示,若AP=10,CP=9,则下列角度关系何者正确?
( )
A.∠PBD>∠PAC B.∠PBD<∠PAC C.∠PBD>∠PDB D.∠PBD<∠PDB
【分析】根据大边对大角,平行线的判定和性质即可判断;
【解答】解:
如图,∵直线l是公切线
∴∠1=∠B,∠2=∠A,
∵∠1=∠2,
∴∠A=∠B,
∴AC∥BD,
∴∠C=∠D,
∵PA=10,PC=9,
∴PA>PC,
∴∠C>∠A,
∴∠D>∠B.
故选:
D.
8.(2018•内江)已知⊙O1的半径为3cm,⊙O2的半径为2cm,圆心距O1O2=4cm,则⊙O1与⊙O2的位置关系是( )
A.外高 B.外切 C.相交 D.内切
【分析】由⊙O1的半径为3cm,⊙O2的半径为2cm,圆心距O1O2为4cm,根据两圆位置关系与圆心距d,两圆半径R,r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系.
【解答】解:
∵⊙O1的半径为3cm,⊙O2的半径为2cm,圆心距O1O2为4cm,
又∵2+3=5,3﹣2=1,1<4<5,
∴⊙O1与⊙O2的位置关系是相交.
故选:
C.
9.(2018•上海)如图,已知∠POQ=30°,点A、B在射线OQ上(点A在点O、B之间),半径长为2的⊙A与直线OP相切,半径长为3的⊙B与⊙A相交,那么OB的取值范围是( )
A.5<OB<9 B.4<OB<9 C.3<OB<7 D.2<OB<7
【分析】作半径AD,根据直角三角形30度角的性质得:
OA=4,再确认⊙B与⊙A相切时,OB的长,可得结论.
【解答】解:
设⊙A与直线OP相切时切点为D,连接AD,
∴AD⊥OP,
∵∠O=30°,AD=2,
∴OA=4,
当⊙B与⊙A相内切时,设切点为C,如图1,
∵BC=3,
∴OB=OA+AB=4+3﹣2=5;
当⊙A与⊙B相外切时,设切点为E,如图2,
∴OB=OA+AB=4+2+3=9,
∴半径长为3的⊙B与⊙A相交,那么OB的取值范围是:
5<OB<9,
故选:
A.
二.填空题(共7小题)
10.(2018•临沂)如图.在△ABC中,∠A=60°,BC=5cm.能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是 cm.
【分析】根据题意作出合适的辅助线,然后根据圆的相关知识即可求得△ABC外接圆的直径,本题得以解决.
【解答】解:
设圆的圆心为点O,能够将△ABC完全覆盖的最小圆是△ABC的外接圆,
∵在△ABC中,∠A=60°,BC=5cm,
∴∠BOC=120°,
作OD⊥BC于点D,则∠ODB=90°,∠BOD=60°,
∴BD=,∠OBD=30°,
∴OB=,得OB=,
∴2OB=,
即△ABC外接圆的直径是cm,
故答案为:
.
11.(2018•内江)已知△ABC的三边a,b,c,满足a+b2+|c﹣6|+28=4+10b,则△ABC的外接圆半径= .
【分析】根据题目中的式子可以求得a、b、c的值,从而可以求得△ABC的外接圆半径的长.
【解答】解:
∵a+b2+|c﹣6|+28=4+10b,
∴(a﹣1﹣4+4)+(b2﹣10b+25)+|c﹣6|=0,
∴(﹣2)2+(b﹣5)2+|c﹣6|=0,
∴,b﹣5=0,c﹣6=0,
解得,a=5,b=5,c=6,
∴AC=BC=5,AB=6,
作CD⊥AB于点D,
则AD=3,CD=4,
设△ABC的外接圆的半径为r,
则OC=r,OD=4﹣r,OA=r,
∴32+(4﹣r)2=r2,
解得,r=,
故答案为:
.
12.(2018•黄冈)如图,△ABC内接于⊙O,AB为⊙O的直径,∠CAB=60°,弦AD平分∠CAB,若AD=6,则AC= 2 .
【分析】连接BD.在Rt△ADB中,求出AB,再在Rt△ACB中求出AC即可解决问题;
【解答】解:
连接BD.
∵AB是直径,
∴∠C=∠D=90°,
∵∠CAB=60°,AD平分∠CAB,
∴∠DAB=30°,
∴AB=AD÷cos30°=4,
∴AC=AB•cos60°=2,
故答案为2.
13.(2018•新疆)如图,△ABC是⊙O的内接正三角形,⊙O的半径为2,则图中阴影部的面积是 .
【分析】根据等边三角形性质及圆周角定理可得扇形对应的圆心角度数,再根据扇形面积公式计算即可.
【解答】解:
∵△ABC是等边三角形,
∴∠C=60°,
根据圆周角定理可得∠AOB=2∠C=120°,
∴阴影部分的面积是=π,
故答案为:
14.(2018•扬州)如图,已知⊙O的半径为2,△ABC内接于⊙O,∠ACB=135°,则AB= 2 .
【分析】根据圆内接四边形对角互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍,可以求得∠AOB的度数,然后根据勾股定理即可求得AB的长.
【解答】解:
连接AD、AE、OA、OB,
∵⊙O的半径为2,△ABC内接于⊙O,∠ACB=135°,
∴∠ADB=45°,
∴∠AOB=90°,
∵OA=OB=2,
∴AB=2,
故答案为:
2.
15.(2018•泰安)如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠A=45°,BC=4,则⊙O的直径为 4 .
【分析】连接OB,OC,依据△BOC是等腰直角三角形,即可得到BO=CO=BC•cos45°=2,进而得出⊙O的直径为4.
【解答】解:
如图,连接OB,OC,
∵∠A=45°,
∴∠BOC=90°,
∴△BOC是等腰直角三角形,
又∵BC=4,
∴BO=CO=BC•cos45°=2,
∴⊙O的直径为4,
故答案为:
4.
16.(2018•大庆)已知直线y=kx(k≠0)经过点(12,﹣5),将直线向上平移m(m>0)个单位,若平移后得到的直线与半径为6的⊙O相交(点O为坐标原点),则m的取值范围为 m< .
【分析】利用待定系数法得出直线解析式,再得出平移后得到的直线,求与坐标轴交点的坐标,转化为直角三角形中的问题,再由直线与圆的位置关系的判定解答.
【解答】解:
把点(12,﹣5)代入直线y=kx得,
﹣5=12k,
∴k=﹣;
由y=﹣x平移平移m(m>0)个单位后得到的直线l所对应的函数关系式为y=﹣x+m(m>0),
设直线l与x轴、y轴分别交于点A、B,(如下图所示)
当x=0时,y=m;当y=0时,x=m,
∴A(m,0),B(0,m),
即OA=m,OB=m;
在Rt△OAB中,
AB=,
过点O作OD⊥AB于D,
∵S△ABO=OD•AB=OA•OB,
∴OD•=×,
∵m>0,解得OD=,
由直线与圆的位置关系可知<6,解得m<.
故答案为:
m<.
三.解答题(共4小题)
17.(2018•福建)如图,D是△ABC外接圆上的动点,且B,D位于AC的两侧,DE⊥AB,垂足为E,DE的延长线交此圆于点F.BG⊥AD,垂足为G,BG交DE于点H,DC,FB的延长线交于点P,且PC=PB.
(1)求证:
BG∥CD;
(2)设△ABC外接圆的圆心为O,若AB=DH,∠OHD=80°,求∠BDE的大小.
【分析】
(1)根据等边对等角得:
∠PCB=∠PBC,由四点共圆的性质得:
∠BAD+∠BCD=180°,从而得:
∠BFD=∠PCB=∠PBC,根据平行线的判定得:
BC∥DF,可得∠ABC=90°,AC是⊙O的直径,从而得:
∠ADC=∠AGB=90°,根据同位角相等可得结论;
(2)先证明四边形BCDH是平行四边形,得BC=DH,根据特殊的三角函数值得:
∠ACB=60°,∠BAC=30°,所以DH=AC,分两种情况:
①当点O在DE的左侧时,如图2,作辅助线,构建直角三角形,由同弧所对的圆周角相等和互余的性质得:
∠AMD=∠ABD,则∠ADM=∠BDE,并由DH=OD,可得结论;
②当点O在DE的右侧时,如图3,同理作辅助线,同理有∠ADE=∠BDN=20°,
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