学年鲁教版五四制七年级数学下册第十章测试题含答案Word下载.docx

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（C）组成∠E的平分线

（D）组成∠E的平分线所在的直线（E点除外）

7.如图,△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,AC的垂直平分线分别交AC,AD,AB于点E,O,F,则图中全等三角形的对数是（　　）

（A）1对（B）2对（C）3对（D）4对

8.如图,∠AOB=120°

OP平分∠AOB,且OP=2.若点M,N分别在OA,OB上,且△PMN为等边三角形,则满足上述条件的△PMN有（　　）

（A）1个（B）2个（C）3个（D）无数个

二、填空题（每小题4分,共24分）

9.用反证法证明“若a⊥c,b⊥c,则a∥b”时,第一步应先假设　　. 

10.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°

D为AB的中点,DE⊥AC于点E,∠A=30°

AB=8,则DE的长度是　　. 

11.如图,在△ABC中,∠A=36°

AB=AC,BD平分∠ABC,则图中等腰三角形的个数是　　. 

12.如图,依据尺规作图的痕迹,计算∠α=　　°

. 

13.如图,在△ABC中,CD是∠ACB的平分线,BE⊥CD,垂足为E,若△ABC的面积为6,则△AEC的面积为　　. 

14.如图,一张三角形纸片ABC,∠C=90°

AC=8cm,BC=6cm,现将纸片折叠,使点A与点B重合,那么折痕长等于　　cm. 

三、解答题（共44分）

15.（7分）已知△ABC中,∠ABC=∠ACB,点D,E分别为边AB,AC的中点,求证:

BE=CD.

16.（7分）已知:

如图,Rt△ABC≌Rt△ADE,∠ABC=∠ADE=90°

试以图中标有字母的点为端点,连接两条线段,如果你所连接的两条线段满足相等、垂直或平行关系中的一种,那么请你把它写出来并证明.

17.（7分）如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°

AB的垂直平分线交BC于点D,垂足为点E.

（1）求∠BAD的度数;

（2）若BD=2cm,试求DC的长度.

18.（7分）如图,已知∠AOB=60°

点P在边OA上,OP=12,点M,N在边OB上,PM=PN,若MN=5,求OM的长度.

19.（8分）如图所示,在等边三角形ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线交于点O,OB和OC的垂直平分线分别交BC于E,F.试探索BE,EF,FC的大小关系,并说明理由.

20.（8分）在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,求△ABC的面积.

某学习小组经过合作交流,给出了下面的解题思路,请你按照他们的解题思路完成解答过程.

作AD⊥BC于D,设BD=x,用含x的代数式表示CD→根据勾股定理,利用AD作“桥梁”,建立方程模型求出x→利用勾股定理求出AD的长,再计算三角形面积

附加题（共20分）

21.（10分）如图1,已知AB=AC,∠BAC=90°

AE是过点A的一条直线,且点B,C在DE的两侧,BD⊥AE于点D,CE⊥AE于点E.

（1）求证:

BD=DE+CE;

（2）如图2,若直线AE绕点A旋转到图2所示的位置（BD<

CE）时,其余条件不变,则BD与DE,CE的关系如何?

（直接写出结论）;

（3）如图3,若直线AE绕点A旋转到图3所示的位置（BD>

（直接写出结论）.

22.（10分）在△ABC中,BC=AC,∠BCA=90°

P为直线AC上一点,过点A作AD⊥BP于点D,交直线BC于点Q.

（1）如图1,当P在线段AC上时,求证:

AQ=BP;

（2）当点P在线段AC的延长线上时,请在图2中画出图形,并求∠CPQ的度数;

（3）如图3,当点P在线段CA的延长线上时,∠DBA=∠　　　时,AQ=2BD,并说明理由. 

1.下列命题中,其逆命题错误的是（　C　）

解析:

若a2=b2,那么a=b或a=-b,

所以a3=b3不一定成立.故选C.

2.如图,E是等边△ABC中边AC上的点,∠1=∠2,BE=CD,则对△ADE的形状判断正确的是（　B　）

因为△ABC为等边三角形,所以AB=AC.

因为∠1=∠2,BE=CD,所以△ABE≌△ACD,

所以AE=AD,∠BAE=∠CAD=60°

所以△ADE是等边三角形.故选B.

3.已知一等腰三角形的腰长为5,底边长为4,底角为β.满足下列条件的三角形不一定与已知三角形全等的是（　D　）

选项A中给出的条件满足全等三角形的判定条件“SAS”,选项B中给出的条件满足全等三角形的判定条件“ASA”,选项C中给出的条件满足全等三角形的判定条件“SSS”,因此,它们都能确定该三角形与已知三角形全等.当两条边长是5,一个角是β时,所得到的三角形与原三角形不一定全等,故选项D不合题意.故选D.

4.（2018玉林）如图,∠AOB=60°

OA=OB,动点C从点O出发,沿射线OB方向移动,以AC为边在右侧作等边△ACD,连接BD,则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是（　A　）

如图,因为∠AOB=60°

OA=OB,所以△AOB是等边三角形,

所以AO=AB.

因为△ACD是等边三角形,

所以AC=AD.

又因为∠OAB=∠CAD=60°

所以∠1=∠2,所以△AOC≌△ABD（SAS）,

所以∠ABD=∠AOC=60°

所以∠ABD=∠OAB=60°

所以BD∥OA.故选A.

5.如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离为0.7米,顶端距离地面2.4米.如果保持梯子底端位置不变,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面2米.则小巷的宽度为（　C　）

梯子斜靠在左墙时,根据勾股定理得梯子的长为

=2.5米,梯子斜靠在右墙时,梯子底端到右墙角的距离为

=1.5米,所以小巷的宽度为0.7+1.5=2.2米.故选C.

6.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,BA和CD的延长线交于点E,若点P使得S△PAB=S△PCD,则满足此条件的点P（　D　）

因为AB=CD,若S△PAB=S△PCD,则AB,CD边上的高必须相等,因此考虑点P所在的位置到AB,CD的距离相等,即点P在∠E的平分线上;

若反向延长∠E的平分线,则其上面的点到AB,CD的距离也相等,同时考虑到点E在AB和CD的延长线上,因此点P位于点E时不能构成三角形,所以点P组成∠E的平分线所在的直线（E点除外）.故选D.

7.如图,△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,AC的垂直平分线分别交AC,AD,AB于点E,O,F,则图中全等三角形的对数是（　D　）

因为EF是AC的垂直平分线,

所以OA=OC.

又因为OE=OE,

所以Rt△AOE≌Rt△COE.

因为AB=AC,D是BC的中点,

所以AD⊥BC,

所以△ABC关于直线AD轴对称.

所以△AOC≌△AOB,△BOD≌△COD,

△ABD≌△ACD.

综上所述,全等三角形共有4对.故选D.

OP平分∠AOB,且OP=2.若点M,N分别在OA,OB上,且△PMN为等边三角形,则满足上述条件的△PMN有（　D　）

如图,在OA上截取OC=OP=2,因为∠AOP=60°

所以△OCP是等边三角形,所以CP=OP,∠OCP=∠CPO=60°

.在线段OC上任取一点M,在OB上截取ON,使ON+OM=2,

连接MN,PM,PN.因为MC+OM=2,

所以CM=ON.在△MCP和△NOP中,

因为CM=ON,∠MCP=∠NOP=60°

CP=OP,所以△MCP≌△NOP（SAS）,

所以PM=PN,∠MPC=∠NPO,

所以∠MPC+∠MPO=∠NPO+∠MPO,

即∠CPO=∠MPN,所以∠MPN=60°

所以△PMN是等边三角形.

故满足条件的△PMN有无数个,故选D.

9.用反证法证明“若a⊥c,b⊥c,则a∥b”时,第一步应先假设　a不平行b　. 

AB=8,则DE的长度是　2　. 

因为D为AB的中点,AB=8,

所以AD=4.

因为DE⊥AC,∠A=30°

所以DE=

AD=2.

11.（2018桂林）如图,在△ABC中,∠A=36°

AB=AC,BD平分∠ABC,则图中等腰三角形的个数是　3　. 

因为AB=AC,

所以△ABC是等腰三角形.

因为∠A=36°

所以∠C=∠ABC=72°

.

因为BD平分∠ABC,

所以∠ABD=∠DBC=36°

所以∠A=∠ABD.

所以AD=BD.

所以△ABD是等腰三角形.

因为∠BDC=∠A+∠ABD=36°

+36°

=72°

所以∠BDC=∠C,

所以BD=BC.

所以△BDC是等腰三角形.

所以共有3个等腰三角形.

12.如图,依据尺规作图的痕迹,计算∠α=　56　°

∠α=90°

-

×

68°

=56°

13.如图,在△ABC中,CD是∠ACB的平分线,BE⊥CD,垂足为E,若△ABC的面积为6,则△AEC的面积为　3　. 

延长BE交AC于点F,易证△BCE≌△FCE（ASA）,

所以BE=FE,则△BCE与△FCE面积相等,△ABE与△AFE面积相等,故△AEC的面积为△ABC面积的一半.

所以S△AEC=3.

AC=8cm,BC=6cm,现将纸片折叠,使点A与点B重合,那么折痕长等于　

　cm. 

如图,在Rt△ABC中,

因为AC=8cm,BC=6cm,

根据勾股定理,得AB=10cm.

设CE=xcm,

由折叠的性质得BD=AD=5cm,BE=AE=（8-x）cm,

在Rt△BCE中,根据勾股定理可知

BC2+CE2=BE2,即62+x2=（8-x）2,

解方程得x=

则AE=

在Rt△ADE中,由勾股定理解得DE=

证明:

因为∠ABC=∠ACB,

所以AB=AC,

因为点D,E分别为边AB,AC的中点,

所以BD=CE,

在△BDC和△CEB中,BD=CE,

∠ABC=∠ACB,BC=CB,

所以△BDC≌△CEB,所以BE=CD.

解:

答案不唯一,如CD=BE,AF⊥DB,AF⊥CE,DB∥CE等.选以下三种供参考:

第一种:

连接CD,BE;

得CD=BE.

因为Rt△ABC≌Rt△ADE,

所以AC=AE,AD=AB,∠BAC=∠DAE,

所以∠DAC=∠BAE,

所以△ADC≌△ABE（SAS）,

所以CD=BE.

第二种:

连接DB,AF;

得AF⊥DB.

因为△ABC≌△ADE,

所以AD=AB.

又因为∠ABC=∠ADE=90°

AF=AF,

所以△ADF≌△ABF（HL）,

所以∠DAF=∠BAF.

又因为AD=AB,

所以AF⊥DB.

第三种:

连接CE,AF;

得AF⊥CE.

所以AD=AB,AC=AE.

因为∠CAB=∠EAD,

所以∠CAD=∠EAB,

所以∠CAF=∠EAF,

所以AF⊥CE.

（1）因为AB=AC,

所以∠B=∠C=（180°

-120°

）÷

2=30°

因为DE垂直平分线段AB,

所以DB=DA.

所以∠BAD=∠B=30°

（2）因为∠BAC=120°

∠BAD=30°

所以∠DAC=90°

又因为∠C=30°

DB=DA,

所以DC=2DA=2DB=4cm.

作PH⊥MN于H,

因为∠AOB=60°

所以∠OPH=30°

所以OH=

OP=6.

因为PM=PN,PH⊥MN,

所以MH=NH=2.5,

所以OM=OH-MH=3.5.

结论:

BE=EF=FC.

理由:

因为△ABC是等边三角形,

所以∠ABC=∠ACB=60°

因为CO,BO平分∠ACB,∠ABC,

所以∠OBE=∠OCF=30°

因为EG,HF分别垂直平分OB,OC,

所以OE=BE,OF=FC,

所以∠BOE=∠OBE=30°

∠COF=∠OCF=30°

所以∠OEF=∠OFE=60°

则∠EOF=60°

所以△OEF是等边三角形,

所以OF=OE=EF,所以BE=EF=FC.

如图,在△ABC中,AB=15,

BC=14,AC=13,

作AD⊥BC于D,

设BD=x,

所以CD=14-x.

由勾股定理得AD2=AB2-BD2=152-x2,

AD2=AC2-CD2=132-（14-x）2,

所以152-x2=132-（14-x）2,

解得x=9.

所以AD=12.

所以S△ABC=

BC·

AD=

14×

12=84.

（1）证明:

因为∠BAC=90°

所以∠BAD+∠CAE=90°

因为CE⊥AE,所以∠ACE+∠CAE=90°

所以∠ACE=∠BAD.

又因为BD⊥AE,CE⊥AE,

所以∠ADB=∠CEA=90°

在△ABD和△CAE中,

因为∠ADB=∠CEA,∠ACE=∠BAD,

AB=AC,

所以△ABD≌△CAE（AAS）,

所以BD=AE,AD=CE.

因为AE=DE+AD,所以BD=DE+CE.

（2）解:

BD=DE-CE.

（3）解:

因为AD⊥BP,∠BCA=90°

所以∠ADB=∠BCA=90°

又因为∠APD=∠BPC,所以∠DAP=∠CBP.

在△ACQ和△BCP中,

因为∠QCA=∠PCB,CA=CB,

∠CAQ=∠CBP,

所以△ACQ≌△BCP,所以AQ=BP.

如图所示.

因为∠ACQ=∠BDQ=90°

∠AQC=∠BQD,

所以∠CAQ=∠DBQ.

在△AQC和△BPC中,

因为∠ACQ=∠BCP,CA=CB,

所以△AQC≌△BPC,

所以CQ=CP.

因为∠PCQ=90°

所以∠CPQ=∠CQP=45°

∠DBA=∠P时,AQ=2BD.

因为∠DBA=∠P,

所以AP=AB.

因为AD⊥BP,所以BD=DP.

因为∠ACQ=∠ADP=90°

∠PAD=∠QAC,

所以∠P=∠Q.

因为∠QCA=∠PCB,∠Q=∠P,CA=CB,

所以△ACQ≌△BCP,所以BP=AQ.

所以AQ=BP=2BD.