人教版中考数学拓展题型二次函数综合题有答案.doc
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目录
拓展题型 二次函数综合题 1
拓展一 二次函数与线段和差问题 1
拓展二 二次函数与三角形面积问题 10
拓展三 二次函数与特殊四边形判定问题 23
拓展四 二次函数与特殊三角形判定问题 37
拓展题型 二次函数综合题
拓展一 二次函数与线段和差问题
针对演练
1.(2016贺州10分)如图,矩形OABC的边OA在x轴上,边OC在y轴上,点B的坐标为(10,8),沿直线OD折叠矩形,使点A正好落在BC上的E处,E点坐标为(6,8),抛物线y=ax2+bx+c经过O,A,E三点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)求AD的长;
(3)点P是抛物线对称轴上的一动点,当△PAD的周长最小时,求点P的坐标.
第1题图
2.(2016大连12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线
y=x2+与y轴相交于点A,点B与点O关于点A对称.
(1)填空,点B的坐标是________;
(2)过点B的直线y=kx+b(其中k<0)与x轴相交于点C,过点C作直线l平行于y轴,P是直线l上一点,且PB=PC.求线段PB的长(用含k的式子表示),并判断点P是否在抛物线上,说明理由;
(3)在
(2)的条件下,若点C关于直线BP的对称点C′恰好落在该抛物线的对称轴上,求此时点P的坐标.
第2题图
3.如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点O为坐标原点,点E在抛物线上,点F在x轴上,四边形OCEF为矩形,且OF=2,EF=3.
(1)求抛物线的解析式;
(2)连接CB交EF于点M,再连接AM交OC于点R,连接AC,求△ACR的周长;
(3)设G(4,-5)在该抛物线上,P是y轴上一动点,过点P作PH⊥EF于点H,连接AP,GH,问AP+PH+HG是否有最小值?
如果有,求出点P的坐标;如果没有,请说明理由.
第3题图备用图
【答案】
1.解:
(1)∵四边形OABC是矩形,B(10,8),
∴A(10,0).……………………………………………………(1分)
又∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A(10,0)、E(6,8)和O(0,0),
∴,解得,
∴抛物线的解析式为y=-x2+x;………………………(3分)
(2)由题意可知:
AD=ED,BE=10-6=4,AB=8,………(4分)
设AD为x,则ED=x,BD=AB-AD=8-x,
在Rt△BDE中,ED2=EB2+BD2,
即x2=42+(8-x)2,…………………………………………(5分)
解得x=5,
即AD=5;……………………………………………………(6分)
(3)由
(2)可知,D点的坐标是(10,5),
∴△PAD的周长l=PA+PD+AD=PA+PD+5,…………(7分)
∵抛物线的对称轴是线段OA的垂直平分线,点P是抛物线对称轴上的一动点,
∴PO=PA,
∵l=PA+PD+5=PO+PD+5,
∴当PO+PD最小时,△PAD的周长l最小,
即当点P移动到直线OD与抛物线对称轴的交点处时PO+PD最小,………………………………………………………………(8分)
设直线OD的解析式为y=kx,
将D点坐标(10,5)代入得:
5=10k,解得k=,
∴直线OD的解析式为y=x,………………………………(9分)
当x=5时,y=,
∴P点的坐标是(5,).……………………………………(10分)
2.解:
(1)(0,);……………………………………………(2分)
【解法提示】由y=x2+得:
A(0,),
∵点B、O关于点A对称,
∴B(0,).
(2)∵直线BC过点B(0,),
∴直线BC解析式为y=kx+,………………………………(3分)
∴C(,0),
又∵P是直线l上一点,
∴可设P(,a).
如解图①,过点P作PN⊥y轴,垂足为N,连接PB,
第2题解图①
则在Rt△PNB中,由勾股定理得:
PB2=PN2+NB2,
∵PB=PC=a,
∴a2=()2+(a-)2,……………………………………(5分)
解得a=,
∴PB=,
∴P点坐标为(,),……………………………(6分)
当x=时,y=,
∴点P在抛物线上;…………………………………………(7分)
(3)如解图②,由C′在y轴上,可知∠CBP=∠C′BP,
第2题解图②
∵PB=PC,
∴∠CBP=∠PCB,
∵PC∥C′B,
∴∠PCB=∠ABC,
∴∠C′BP=∠CBP=∠ABC=60°,
∴△PBC为等边三角形,
∵OB=,
∴BC=1,OC=,
∴PC=1,
∴P(,1).…………………………………………………(12分)
3.解:
(1)∵四边形OCEF为矩形,且OF=2,EF=3,
∴C(0,3),E(2,3),
将C(0,3),E(2,3)代入抛物线解析式y=-x2+bx+c得,
,解得,
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3;
(2)由
(1)得y=-x2+2x+3,
令y=0,得-x2+2x+3=0,
解得x1=-1,x2=3,
∴A(-1,0),B(3,0),
∴AO=1,BO=3,
又∵C(0,3),
∴OC=3,
在Rt△AOC中,由勾股定理,得AC=,
∵CO=BO=3,OF=2,
∴∠OBC=∠OCB=45°,AF=3,BF=1,
∴MF=BF=1,
∵RO∥MF,
∴△ARO∽△AMF,
∴,
∴,
解得RO=,
∴CR=3-=,
在Rt△AOR中,AR=,
∴△ACR的周长为++=;
(3)存在点P,使得AP+PH+HG的值最小.
如解图,取OF中点A′,连接A′G交直线EF的延长线于点H,过点H作HP′⊥y轴于点P,连接AP,
此时,AP+PH+HG的值最小,
第3题解图
设直线A′G的解析式为y=kx+a,
将A′(1,0),G(4,-5)代入得,
,
解得,
∴直线A′G的解析式为y=-x+,
令x=2,得y=-+=-,
∴点H的坐标为(2,-),
∴符合题意的点P的坐标为(0,-).
拓展二 二次函数与三角形面积问题
针对演练
1.(2016永州12分)已知抛物线y=ax2+bx-3经过(-1,0),
(3,0)两点,与y轴交于点C,直线y=kx与抛物线交于A,B两点.
(1)写出点C的坐标并求出此抛物线的解析式;
(2)当原点O为线段AB的中点时,求k的值及A,B两点的坐标;
(3)是否存在实数k使得△ABC的面积为?
若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
第1题图
2.(2015攀枝花)如图,已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M,连接PB.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)在
(1)中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D,使得△BCD的面积最大?
若存在,求出D点坐标及△BCD面积的最大值;若不存在,请说明理由;
(3)在
(1)中的抛物线上是否存在点Q,使得△QMB与△PMB的面积相等?
若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
第2题图
3.(2015桂林)如图,已知抛物线y=-x2+bx+c与坐标轴分别交于点A(0,8)、B(8,0)和点E,动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动,动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动,动点C、D同时出发,当动点D到达原点O时,点C、D停止运动.
(1)直接写出抛物线的解析式:
____________________;
(2)求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式;当t为何值时,△CED的面积最大?
最大面积是多少?
(3)当△CED的面积最大时,在抛物线上是否存在点P(点E除外),使△PCD的面积等于△CED的最大面积,若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
第3题图
4.(2016常州10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=x与二次函数y=x2+bx的图象相交于O、A两点,点A(3,3),点M为抛物线的顶点.
(1)求二次函数的表达式;
(2)长度为2的线段PQ在线段OA(不包括端点)上滑动,分别过点P、Q作x轴的垂线交抛物线于点P1、Q1,求四边形PQQ1P1面积的最大值;
(3)直线OA上是否存在点E,使得点E关于直线MA的对称点F满足S△AOF=S△AOM?
若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.
第4题图
【答案】
1.解:
(1)令x=0,得y=-3,
∴C(0,-3),
把(-1,0)和(3,0)代入y=ax2+bx-3中,得
,解得,
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3;…………………………(3分)
(2)联立方程组,
解得,,
∵O是AB的中点,
∴x1+x2=0,即
解得k=-2,
∴或,
∴A(-,2),B(,-2);…………………………(7分);
(3)不存在实数k使得△ABC的面积为.理由如下:
假设存在实数k使得△ABC的面积为,
联立方程组,解得
,,
则A(),
B(),
∴S△ABC=OC(xB-xA)=,
∴×3×=,
∴k2+4k+16=10,即k2+4k+6=0,
∵b2-4ac=16-24<0,
∴此方程无解,
∴不存在实数k使得△ABC的面积为.………………(12分)
2.解:
(1)把点A(-1,0),B(3,0)代入y=-x2+bx+c,得,解得,
∴y=-x2+2x+3;
【一题多解】由题意可知点A(-1,0),点B(3,0)是抛物线与x轴的两个交点,∴抛物线解析式为y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3.
(2)存在点D,使得△BCD的面积最大.
设D(t,-t2+2t+3),如解图①,作DH⊥x轴于点H,C点坐标为(0,3),
第2题解图①
则S△BCD=S四边形DCOH+S△BDH-S△BOC=t(-t2+2t+3+3)+(3-t)(-t2+2t+3)-×3×3=-t2+t,
∵-<0,即抛物线开口向下,在对称轴处取得最大值,
∴当t=-=时,S△BCD=-×()2+×=,
即点D的坐标为(,)时,S△BCD有最大值,且最大面积为;
(3)存在点Q,使得△QMB与△PMB的面积相等.
如解图②,∵P(1,4),过点P且与BC平行的直线与抛物线的交点即为所求Q点之一,
第2题解图②
∵直线BC为y=-x+3,
∴过点P作BC的平行直线l1,设l1为y=-x+b,将P(1,4)代入即可得到直线l1的解析式为y=-x+5,
联立方程组,
解得,,
∴Q1(2,3);
∵直线PM为x=1,直线BC为y=-x+3,
∴M(1,2),
设PM与x轴交于点E,
∵PM=EM=2,
∴过点E作BC的平行直线l2,则过点E且与BC平行的直线l2与抛物线的交点也为所求Q点之一,即将直线BC向下平移2个单位得到直线l2,解析式为y=-x+1,
联立方程组,
解得,,
∴Q2(),Q3(),
∴满足条件的Q点为Q1(2,3),Q2(),Q3().
3.解:
(1)y=-x2+3x+8;
【解法提示】把点A(0,8)、B(8,0)代入y=-
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